아낌없이 주는 나무

또한 x의 증분에 대한 y의 증분의 비율​

위 식을 x값이 a에서 b로 변할 때의 함수 y=f(x)의 평균변화율이라고 한다.

함수 y=f(x)의 평균변화율은 두점 P(a, f(a)), Q (b,f(b))을 지나는 직선의 기울기와 같다.​

나. 미분계수 (순간변화율)

함수 y=f(x)에서 x의 값이 a 에서 a+△x (=b)까지 변할 때, 평균변화율은 다음과 같다.​

여기서 △x → 0 일 때 평균변화율의 극한값이​

함수 y=f(x)는 x=a에서 미분가능하다고 하고 이 극한값을 함수 y=f(x)의 x=a에서의 순간변화율 또는 미분계수라고 하며

기호로는 f'(a)와 같이 나타내고 f prime a라고 한다. 또한 함수가 어떤 구간에 속하는 모든 x의 값에서 미분가능할 때,

함수 y=f(x)는 그 구간에 서 미분가능하다고 한다. 특히 함수 y=f(x)가 정의역에 속하는 모든 x 의 값에서 미분가능할 때

함수 y=f(x)는 미분가능한 함수라고 한다. 한편, a+△x=x라고 하면 △x=x-a이고 △x →0일 때 x→a 이므로​

다음 함수는 미분이 가능할까 ?​

함수 f(x)=x2 은 x=2에서 미분가능하고 그 때의 미분계수는 f'(2)= 4 이다.

​

[정리하면]

함수 y = f(x)에 대하여

① x의 값이 a에서 b까지 변할 때의 평균변화율은​

② x = a 에서의 미분계수(순간변화율)은​

또한 미분계수(순간변화율)은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.​

다. 미분계수의 기하학적 의미

앞에서 x의 값이 a 에서 b까지 변할 때 함수 y=f(x)의 평균변화율​

따라서 함수 y=f(x)의 x = a 에서의 미분계수

곡선 y=f(x) 위의 점 P(a,f(a))에서의 접선 ℓ의 기울기와 같음을 알 수 있다.

[미분계수 f'(a)의 기하학적 의미

함수 y=f(x)에 대하여 x=a에서의 미분계수 f'(a)는 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a)에서의 접선의 기울기와 같다.

점 (a, f(a))에서의 접선이 x축의 양방향과 이루는 각을 θ 라 하면, 미분계수 f'(a)는 다음과 같다. f'(a) = tan θ

​

[평균변화율과 미분계수의 대소 관계]

평균변화율과 미분계수의 기하학적 의미를 이용하면 그 대소 관계를 알 수 있다.

함수 y=f(x)의 그래프가 위 그림과 같을 때, 다음 식의 값의 대소를 비교하여 보자.

다음 함수 y=f(x)의 그래프가 다음 그림과 같을 때

다음 식의 값의 크기를 비교해 보자.​

위 그래프는 아래로 볼록한 그래프로 위 식의 크기는 다음과 같다.​

2. 미분가능과 연속

앞에서 미분계수의 기하학적 의미는 곡선의 접선의 기울기와 같다고 했다. 그런데 불연속점

에서는 접선을 그릴 수 없으므로 미분이 가능하지 않다는 것을 예상할 수 있다.

그러면 연속인 점에서는 항상 접선을 그릴 수 있어 미분도 가능할까 ? 이에 대한 생각을 하

면서 y = f(x)의 연속과 미분가능 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아 보자.

​

가. 미분가능 : 연속

함수 y = f(x)가 x = a에서 미분가능하면 함수 y=f(x)는 x=a에서 연속이다.

[증명]

함수 f(x)가 x = a 에서 미분가능하면 미분계수​

f'(a)는 일정한 값이므로 다음이 성립한다.​

따라서​

나. 연속 ≠ 미분가능

앞의 명제의 역 '함수 y = f(x)가 x = a 에서 연속이면 y = f(x)는 x = a 에서 미분가능하다'

는 거짓이다. 즉, 함수 y = f(x)가 x = a 에서 연속이지만 y = f(x)는 x = a 에서 미분가능하지 않을 수 있다.

[증명]

함수 f(x) = ㅣx l 를 예로 들어 봅시다.

함수 f(x)는 x = 0 에서 미분가능하지 않다. 따라서 함수 f(x) = ㅣxㅣ는 x = 0 에서 연속이지만 미분가능하지는 않습니다.

미분 계수는 함수의 극한으로 정의되어 있다. 함수의 극한에서 좌극한과 우극한이 같은 값에 수렴할 때 함수의 극한이

존재한다고 한다. 즉, 미분계수가 존재하려면 △x → 0 일 때 평균변화율의 좌극한과 우극한이 같아야 한다.

따라서 위와 같은 반례에 의해 함수의 연속성이 함수의 미분가능성을 보장하지는 않는다.

즉, 함수 y = f(x)는 x = a 에서 연속이어도 일반적은로 함수 y = f(x)가 x = a 에서 미분이 가능한 것은 아니다. 또한 위의

함수에서와 같이 x = a 에서 연속이지만 x = a 에서 뽀족하면 (부드럽지 않으면) x = a 에서 미분가능하지 않다.

이러한 점을 뾰족한 점 또는 첨점이라 고 한다.

[함수의 미분가능과 연속]

함수 y = f(x)가 x = a 에서 미분가능하면 함수 y = f(x)는 x = a 에서 연속이다.

그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

[위 명제의 대우]

'함수 y = f(x)가 x = a 에서 연속이 아니면 함수 y = f(x) 는 x = a 에서 미분가능하지 않다' 도 성립한다.

[이차함수 접선의 기울기]

미분방정식은 순간변화율을 나타내는 방정식이다. 우리가 일상생활에서 사용하는 속도라른 개념은 거리를 시간으로

미분한 개념이고 가속도는 속도의 변화율을 말하는 것으로 미분의 개념을 포함하고 있다.

수학에서는 도함수를 포함하는 방정식을 미분방정식이라고 한다.

도함수가 몇 차이냐에 관계없이 포함하면 미분방정식이다.

만약 y의 도함수를 포함한다면 미분방정식을 풀어 해를 구한다는 것은 y라는 함수를 구한다는 것이다.

당연한 말이지만 이런 방정식을 구한다는 것은 x를 구한다는 것이다.

그런데 미분방정식에서는 다음과 같이

이런 식이 된다. 이는 y"는 y라는 함수를 두번 미분한다는 것이고 y'는 한번 미분한다는

것인데 여기서 y를 구하는 것이 미분방정식을 푸는 미분방정식은 여러가지 형태로 표현을

하는데 미분방정식을 해법은 이들 방정식을 풀이하는 과정이다.

위의 미분방정식은 상미분 방정식이라고 한다. 위 방정식에서는 독립변수가 하나 (①은

독립변수 x, ②는 x, ③은 t)인 경우에 종속변수가 하나 이상인 경우를 상미분 방정식이라

한다. 즉, 하나의 독립변수로 미분을 하는 경우를 상미분이라 한다.

위 의 방정식은 편미분방정식이라고 한다. 독립변수가 2개 이상인 미분방정식을 편미분

방정식이라고 한다. ④, ⑤ 식 모두 독립변수가 x, y 2개 이고 x에 대하여도 미분하고, y에

대하여도 미분을 해야 한다. 편미분에서는 x에 대하여 미분할 때는 y는 상수 취급하고 y에

대하여 미분할 때에는 x를 상수 취급을 한다. 예를 들어 마라톤 선수가 달리기를 할 때 속도

는 바람과 기온의 영향을 받는다고 하면 바람변화에 대한 속도, 기온변화에 대한 속도의

편미분 방정식이 성립하게 되는데 이 때 바람에 대해 미분할 때는 온도는 상수가 되고, 온도

에 대하여 미분할 때는 바람은 상수가 된다. 영어로 표현하면 다음과 같다.

상미분 : Odinary Differential Equation (ODE)

편미분 : Partial Differential Equation (PDE)

도함수는 y', y"로 표현했고 dy/dx로 나타낸다. 이들 두 기호를 모두 사용하는데 4계 도함

수 부터는 다음과 같이 표현한다.

물리학에서는 독립변수로 시간 t를 사용하는 경우가 많은데 이 때 "도트"를 이용하여

도함수를 표현하기도 한다.

위 식은 x라는 위치를 시간에 따라 두번 미분한다는 의마에서 점을 두개 찍어 나타낸다.

위 식은 2계 1차 미분 방정식이라고 하는데 계는 최고계 도함수의 계수를 의미한다.

최고계는 y를 x에 대하여 2번 미분하는 식이므로 여기서 최고계의 계수 2번 미분 즉 2가

된다. 차수는 최고계 도함수가 몇 제곱함수이냐를 말하는데 위 식에서는 최고계 도함수의

차수가 1제곱 함수이므로 1차 방정식이 된다.

그럼 다음 미분방정식의 도함수는 몇 계, 몇 차 도함수일까 ?

최고계 도함수의 계수가 2차이고 차수가 3이니까 2계 3차 미분방정식이라 할 수 있을까?

우변에 루트식이 있으니 이를 정수식으로 풀어줘서 차수를 결정해야 한다.

따라서 양변을 제곱을 하면 다음과 같이 되겠다.

이제 계수와 차수를 말할 수 있겠네요. 2계 6차 미분방정식이 된다. 미분방정식은 표현방법

이 여러가지여서 행태는 다르지만 같은 미분방정식이 되는 경우가 있다. 다음 식을 보자.

다음은 선형 미분방정식에 대하여 알아 보자

선형미분방정식은 도함수가 1차 선형방정식으로 표현되는 경우이다. 미분, 도함수 즉,

기울기가 직선으로 독립변수와 종속변수간에 비례관계에 있는 경우를 선형 미분방정식

이라 한다. 수치적으로 이야기하면 첫째, 종속변수 y와 모든 도함수 y', y"의 차수가 1차이

고 둘째, y, y', y"의 계수는 독립변수 x에 의존하는 이들 두 조건을 충족해야 한다.

이 미분방정식은 y'의 차수가 1차이고 계수가 4x이므로 x에 의존하는 상황이고 역시 y의

계수가 1 이므로 y에 관계없는 상황이므로 선형미분방정식이 된다.

y" + 2y'+y=0 이라는 미분방정식이 있다면 y"의 차수가 1차이고 계수가 y에 관계없고

y'의 차수도 1차 이고 계수도 -2가 되므로 y에 관계없으며 y도 마찬가지 이므로 선형방정식

이다.

위의 식들은 비선형 미분방정식이다. ①은 y의 계수가 y와 관계가 있고 ②는 y의 계수가

sin(y)이고 ③은 y의 차수가 2차 이므로 비선형 미분방정식이다.

미분방정식의 해는 미분방정식에 그 값을 대입했을 때 방정식이 성립하고 참을 이룬다.

어떤 x에 대한 방정식에서 x=3이 해임을 증명하려면 방정식에 x=3을 대입했을 때 방정식

이 성립하면 그 방정식의 해임을 증명하는 것이다. 미분방정식에서도 마찬가지이다.

미분방정식의 해가 되려면 그 해는 미분 가능해야 되므로 연속이어야 한다. 미분방정식을

풀고 나면 일반해, 특수해, 즉 General solution과 Particular solution으로 나뉘는데

일반해의 경우 해를 구하고 나서 상수가 남아 있는 경우를 말하고 특수해는 해를 구했을 때

상수가 남아 있지 않는 경우를 말한다.

어떤 미분방정식을 풀어서 해를 구했더니 상수가 들어 있다면 그것은 일반해이고, 문제에서

주어진 초기조건을 대입하여 상수를 찾아서 해를 구했다면 이는 특수해이다. 특히, 물리학이나 공학에서는

특수해를 구하는 것이 중요하다. 예를 들면 어떤 물체가 처음에 정지해 있었다는 초기조건을 쉽게 볼 수 있는데

그런 특수조건을 이용해서 특수해를 구하게 된다.

특히, 미분방정식에서 도함수의 계수와 임의의 상수의 개수가 일치한다. 2계 미분방정식

이면 임의의 상수가 2개가 나와야 하므로 특수해를 구하기 위해서는 초기조건도 2개가 필

요하고 3계면 3개의 상수가 나온다.

이런 경우도 있다. 어떤 미분방정식을 풀었는데 일반해도 구했고 초기조건도 구해서 풀었는

데 잘 살펴보니 y=0도 해가 되는 경우가 있다. 그런데 y=0이라는 해는 일반해의 C에 어떤

값을 넣더라도 나올 수가 없다. 이런 경우 y=0은 일반해도 아니고 특수해도 아닌데 이런 경

우를 '특이해'라고 한다. (Singular solution). 비선형 미분방정식에서는 특이해가 자주

나타난다.

어떤 미분방정식을 풀었는데 2개의 해가 나왔다고 하자. 그런데 앞에서 미분방정식에서

도함수의 계수가 임의의 상수의 개수와 같다고 했다. 이 경우 2계 미분방정식이므로

임의의 상수가 2개가 나와야 하는데 해가 2개이고 임의의 상수가 각각 하나씩 나오기도

한다.

신기하게도 위식에서는 x1과 x2라는 해를 단순히 더해서 하나의 x라는 해를 만들 수

있는데 이 경우도 해는 된다.

x1과 x2 선형결합이 된 x라는 해가 해가 된다는 것이다.

이 경우도 역시 임의의 상수의 개수가 2개이다.

일반적인 경우를 생각해 보면 n계 미분방정식의 특수해를 구하기 위해서는 n계 미분방정식

을 풀어서 나온 일반해에서 임의의 상수의 개수는 n개 이므로 초기조건이 n개 필요하다는

것을 알 수 있다.

이때 초기조건에서 y에 대입하는 x값이 동일해야 한다.

이렇게 미분방정식과 초기조건을 이용해서 미분방정식의 해를 구하는 것을 '초기값 문제

(Initial value problem)이라고 한다. 미분방정식의 계수에 따라서 1개의 초기값 문제,

2계 초기값 문제... 이런 식으로 부른다.

이런 미분방정식을 풀어서 초기조건을 이용해서 특수해를 구했다고 하자.

그런데 특수해 y=1/(x2-1)의 그래프를 그려보면

위 그림이 그래프 y=1/(x2-1)라는 함수의 그래프이다. 그런데 문제에서 주어진 초기조건

을 만족하는 부분은 단지

이 부분이 된다. 초기 조건이 y(0)=1 이므로 좌표상 (0, -1)을 지나는 그래프다. '해의 그래프'이다.

'함수의 그래프'이냐 '해의 그래프'이냐의 차이점을 설명하는 부분이다.

이런 문제가 있는데 위 미분방정식의 일반해가 주어졌고 초기조건이 주어졌다. 그런데

초기조건을 대입하여 풀어보면 C1=0, C1=2 이렇게 나온다. 모순되는 결과이다. 이말은

이 미분방정식의 해가 없다는 뜻이다. 왜 해가 없다고 해야 하는가 ? 앞서 초기 조건에서

같은 x값을 대입하는 것이 중요하다고 했는데 위의 문제에서는 하나는 pi/2를 대입했고

다른 하나는 pi를 대입했기 때문에 이 초기조건만으로는 해를 구할 수 없기 때문이다.

​

#미분방정식 #미분 #편미분 #일반해 #특수해 #특이해 #독립변수 #종속변수 #도함수

#계수 #차수 #상미분 #선형함수 #비선형함수 #초기조건 #변화율 #기울기

​

​

【 뉴톤의 냉각법칙 】

​

커피온도는 몇 [℃]일 때 가장 맛이 있을까 ?

커피는 맛으로 마시는 게 아니라 멋으로 마시는 것일 수 있지만 일반적으로 70 [℃]라고

한다. 그럼 100[℃]의 커피를 맛있게 먹으려면 얼마나 기다려야 하는지 알아 보자.

뉴턴의 냉각법칙에 따르면 냉각속도 즉, 온도의 변화속도는 dT/dt는 냉각되는 물체의

온도 T와 주변의 온도 T주변온도 와의 차이에 비례한다.

이것을 식으로 나타내면 다음과 같다.​

이처럼 미분방정식이 성립된다.

이제 100 [℃]의 커피를 30[℃]의 방에 놨을 때 마시기 좋은 온도가 될 때 까지는 몇 분이나

기다려야 하는지 계산해 보자.​

T(t)를 구하기 위해 양변을 적분을 하게 되면​

위 식은 분류를 잘못했다. T는 시간에 따라 변화하는 시간 t의 함수인데

위 식에서는 우변 시간 T를 상수 취급을 하는 오류를 범했다.

온도 T와 시간 t를 따로 모아서 적분을 해야 한다.​

위 식을 적분을 해서 소요되는 시간을 계산해 낼 수 있겠다.​

분모를 미분한 것이 분자에 있으면 ln l분모l가 된다. 위식은 다음과 같이 변한다.​

정리하면 ln lT-30l = kt + C가 되니까.

이제 상수 C를 구해야 하는데 초기조건을 사용하면 된다.

처음(t=0) 커피온도가 100[℃] 즉 T(0)=100 이니까​

하지만 지금도 시간을 구하려 하니 상수 k가 있어서 조건이 하나 더 필요로 한다.

조건하나를 더 추가해 보자. 커피를 놔 두고 3분이 지났더니 커피온도가 85[℃]가

되었다고 하자. 그러면 k를 구할 수 있겠다.​

이제 커피가 70[℃]까지 식는데 소요되는 시간을 구할 수 있겠다.

커피가 100[℃]에서 70[℃]로 식는데는 약 7분 정도 소요되겠다.

​

【 리비의 탄소연대 추정정】 - 방사성 물질의 붕괴

​

탄소연대추정법은 물질속에 C14와 C12의 구성비를 근거로 방사성 동위원소인 C14의 반감기를 추정하여 연대를 추정하는 것이다.

생물의 경우 사체 내에 있는 C14와 C12의 구성비로 연대를 추정한다.

공기중에는 C14와 C12의 구성비율이 일정하다. 식물이건 동물이건 살아있는 동안에는 호

흡을 광합성 또는 음식물 섭취를 통하여 동일한 비율을 유지한다. 그런데 생물이 죽으면 호

흡이나 음식물 섭취가 중단되어 탄소공급이 끊긴다. 그런데 생물이 죽으면 C14 는 방사성

동위원소이니까 스스로 붕괴를 하지만 C12는 그대로 남아 있게 된다. 따라서 세월이 흐르

면 C14 대 C12의 구성비가 변하게 된다.

따라서 생물의 사체내에 존재하는 C14의 양이 공기중의 C14에 비해 몇 [%]나 감소했는

지 알게 되면 생물의 사망연대를 추정할 수가 있다.

그럼 어떤 생물의 사체에서 생존했을 때 있어야 할 C14의 양보다 20[%]밖에 남아 있지

않았다면 이 사체의 사망시점이 몇년 전인지 알아 보자.

C14 는 방사성동위원소로서 붕괴속도는 현재 질량에 비례한다. 이것을 미분방정식으로

나타내면 현재의 질량을 y라 하면 dy/dt =ky이 된다.​

양변에 적분을 해보자.

사망시점 t=0 에서 질량을 yo라고 하면 y(0)= yo 가 된다.​

비례상수 k를 구하기 위해서는 조건이 하나더 주어져야 한다.

또하나의 조건은 C14의 반감기는 5730년이다. 반감기는 질량이 반으로 줄어드는데 소요

되는 시간이므로 초기질량 yo 가 절반으로 줄어드는데 소요되는 시간이 5730년이다.

따라서 이를 아래식에 적용하여 비례상수 k를 구할 수 있다.​

이를 이용하여 C14가 당초 보다 20[%]밖에 남아 있지 않으므로 사망연대를 추정할 수

있다. 20 [%]는 1/5이므로 이를 위 수식에 적용하면 다음과 같다.​

#뉴톤 #냉각법칙 #미분방정식 #상수 #적분 #미분 #리비 #탄소연대추정 #방사성 #동위원소 #탄소 #반감기 #비례상수

1. 미분

​

독립변수 x가 연속적으로 변함에 따라 종속변수 y도 연속적으로 변할 때 어느 한 점에서 종속변수 변화량 Δx와 독립변수 변화량 Δy의 비율의 극한을 그 점에서의 ‘미분계수’ 또는 ‘순간변화율’이라고 합니다.

이에 비해 단순히 종속변수 변화량 Δx 와 독립변수 변화량 Δy의 비율을 평균변화율이라 하죠.

​

1-1. 평균변화율

​

x가 a로부터 a+Δx인 b로 변화될 때 함수 f(x)의 평균 변화율은 다음과 같습니다.

​

아래 [그림 1]에서 파랑색 직선의 기울기가 평균변화율을 뜻합니다.

1-2. 순간변화율 (미분계수)

(1)식에서 Δx→0일 때의 극한값이 순간변화율입니다. 수학적으로 표현하면 아래 식과 같습니다.​​

[그림 1]에서 주황색 직선의 기울기가 a인 지점에서의 순간변화율을 뜻합니다.

​

[예제1] 순간변화율​

[풀이] 아래와 같이 미분계수는 1/2이 나옵니다. 한편 풀이에서 빨강색 부분은 같은 양을 나누고 곱해주었음을 뜻합니다.​

[예제2] 도함수

[풀이] 도함수는 아래와 같이 구해집니다.​

한편, x=1에서의 미분계수를 구한고자 한다면 위의 도함수에서 x대신에 1을 대입하면 됩니다.

그러면 (E-1)식과 같이 1/2이 동일하게 구해지는 것을 알 수 있습니다.

결국 도함수를 구해 놓으면 어느 지점에서건 미분계수를 쉽게 구할 수 있게 됩니다.

​

1-4. 상미분

​

위에서 도함수를 구하는 과정을 미분이라고 했는데요. 이때 원래 함수의 독립변수가 하나인 경우 이 함수를 미분하는 것을 상미분이라고 합니다.

통상적인 미분이라는 뜻이에요.

상미분 개념은 예를 들어 어떤 기계장치의 온도가 기계로 들어가는 교류신호의 실효값에만 의존하는 경우 실효전압의 크기가 증가함에 따라 온도가 어떠한 기울기로 증가하는 지를 알고자 할 때 적용할 수 있습니다.

구체적인 예로는 위 [예제2]가 바로 상미분에 해당합니다. 예제에서 x를 교류 실효값의 크기라 생각하고 f(x)를 온도라고 생각하면 됩니다.

​

1-5. 편미분

​

상미분은 변수가 하나인 경우의 미분이라면 편미분은 변수가 2개 이상인 경우의 미분법을 말합니다.

편미분은 하나의 변수에 대해 미분할 때 다른 변수는 상수로 취급합니다.

편미분 개념은 어떤 기계 장치의 온도가 기계로 들어가는 교류 실효값뿐만 아니라 압력에도 의존한다고 생각해봐요. 그러면 실효값과 압력이 달라지면 온도가 달라지는거에요.

이때 압력을 고정하고, 즉 압력을 상수로 취급하고 실효값에 따른 온도의 기울기를 구하는 방법이 편미분입니다. 물론 실효값을 상수로서 고정하고 압력에 따른 온도의 기울기를 구하는 것도 편미분입니다.

편미분의 기호는 다음과 같습니다. 예를 들어 변수가 여러개인 함수 f를 x로 편미분하고자 한다면 아래와 같이 쓰면 됩니다.​

[예제3] 편미분​

이 함수를 x와 y에 관해 각각 편미분하여라.

​

[풀이]

먼저 x에 관해 편미분부터 하면, y를 상수로 취급하면 됩니다.

이때 상수를 미분하면 0이 되는 것을 상기하세요.​

다음에는 y에 관해 편미분하면 x를 상수로 취급하면 됩니다.

2. 미분방정식 (Differential equation)

​미분방정식이란 ‘하나 또는 그 이상의 독립변수에 관하여 하나 또는 그 이상의 종속변수의 도함수 또는 미분을 포함하는 방정식’을 말합니다.

특히 독립변수가 하나인 경우 상미분방정식(상미방, ODE, Ordinary Differential Equation), 두개 이

상인 경우 편미분방정식(편미방, PDE, Partial Differential Equation)이라고 부릅니다.

​

2-1. 상미분방정식

​

상미분방정식의 예시는 다음과 같습니다.​

(6)식을 보시면 y를 x로 미분하는 dy/dx항이 수식에 포함된 것을 볼 수 있어요.

이렇게 주어진 미분방정식을 푼다는 말은 독립변수가 x이고 종속변수가 y인 함수 y=f(x)를 구한다

는 의미로 보시면 됩니다.

​

2-2. 편미분방정식

​

편미분방정식의 예시는 다음과 같습니다.

(7)식을 보시면 u를 t로 편미분, u를 x로 편미분, u를 y로 편미분하는 내용이 포함된 방정식임을 알 수 있어요. 이렇게 주어진 편미분방정식을 푼다는 말은 독립변수가 x, y, t이고 종속변수가 u인

함수 u=f(x,y,t)를 구한다는 의미로 보시면 됩니다.

​

3. 미분방정식 구분

​

미분방정식은 다양한 모양을 가질 수가 있어요. 미분을 2번하는 방정식, 3번하는 방정식도 있을 수 있고 상미분과 편미분으로 구성된 방정식도 있을 수 있어요.

그래서 미분방정식을 구분하기 위한 이름이 있어야 합니다. 이때 사용되는 것이 미분방정식의 ‘계수’와 ‘차수’, ‘선형’과 ‘비선형’입니다.

​

3-1. 계수와 차수, 선형과 비선형

​

계수란 미분방정식에 포함되는 최고계 도함수의 계수를 말합니다.

미분이 한번인 dy/dx는 1계, d2y/dx2 는 2계가 됩니다. 미분방정식에서 주어지는 도함수의 가장

큰 계수를 기준으로 이름이 붙습니다.

또한 차수란 미분방정식에 포함되어 있는 최고계 도함수의 지수를 말합니다.

예를 들어 (y′′′)3 은 지수가 3이므로 3차가 됩니다.

선형 미분방정식은 종속변수와 그 도함수가 1차이고 각 계수가 독립변수에만 의존하는 것을 말합니다.

이에 비해 비선형 미분방정식은 종속변수와 그 도함수가 지수를 갖거나 계수가 종속변수를 포함하거나, 비선형 함수 등을 포함하는 경우를 말합니다.

​

3-2. 미분방정식 구분의 예​

(10)식에서 3계 도함수가 3제곱이므로 3차 미분방정식이 되며, 또한 이 때문에 도함수가 1차가 아니므로 비선형이 됩니다. 차수는 최고계 도함수를 기준으로 결정된다는 것을 기억하세요.​

(12)식에서 종속변수인 u가 제곱(즉, 2차)의 형태여서 1차가 아니므로 비선형 방정식이 됩니다.​

(13)식은 계수 (1−y)가 종속변수를 포함하여 독립변수만으로 구성되어 있지 않으므로 비선형이 됩니다.​

(14)식은 종속변수가 비선형함수로서 1차가 아니므로 비선형이 됩니다.

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#미분 #방정식 #미분방정식 #편미분 #비선형함수 #선형함수 #독립변수 #종속변수 #계수 #차수

#도함수 #함수 #실효값 #상수 #변화율 #순간변화율 #접선 #기울기

1. 소거법과 피벗 (Pivot)

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피벗을 한마디로 정의하기는 어렵습니다. 피벗의 정의를 무작정 들으면 이해하기 어려우므로 우선 아래 연립방정식의 해를 구하는 과정을 살펴 보면서 알아 보도록 하자.

이 방정식을 소거법으로 푼다고 하면 소거법은 여러가지 방법이 있을 것이다. 위의 식에 3을 곱해서 아래식을 빼서 x를 소거할 수도 있고 위에 식에 -3을 곱해서 아래 식을 더할 수도 있고 아래식에 1/3을 곱해서 위의 식에서 아래식을 뺄 수도 있고 아래식에 -1/3을 곱해서 위 아래식을 더할 수도 있다. 결국 미지수 앞의 계수의 절대값을 맞추어 주면 두 식을 더하거나 빼서 소거할 수 있게 된다.

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그런데 앞으로, 소거법을 적용하여 연립방정식을 풀 때 피벗(Pivot)을 사용할 때는 이렇게 다양한 방법으로 하지를 않고 정하진 숫자를 곱해 더하거나 빼는 규칙에 따라 하게 된다. 이렇게 하는 이유는 랭크(Rank)와 가역성, 다각화, LU분해 등 여러가지가 연관되어 있어서 이다. 그럼 먼저 피벗을 정의를 알아 보자.

기본행연산과 행사다리꼴(REF)에 다음에 알아 보기로 하자.

첫번째 Pivot 의 정의에 주목을 하자. 내용이 이해하기 어려운데 차근차근 알아보자.

먼저 한 행에서 일차방정식의 첫번째 미지수 앞의 계수라고 했다.

에서 1행의 첫번째 미지수의 계수는 1이고 2행의 첫번째 미지수 계수는 3이니 pivot은 1,3 아닌가 생각할 수 있는데 그렇지 않다. ②를 보면 미지수 하나에 대한 Pivot은 1개라고 했다. 결론 부터 말하자면1행에 대해서 미지수 x에 대한 Pivot은 1이 맞다. 그런데 Pivot의 정의에 의하면 이 형태에서는 y의 Pivot을 찾을 수 없고 x의 Pivot만 2개 인 것 처럼 보인다. 이러한 모순은 ①을 해석하면 되는데, y의 Pivot을 구하려면 소거를 한번 해야 한다.

연립방정식을 보면 그대로 (1)식+(2)식을 해서 x값을 구할 수도 있지만 지금 방정식의 해를 찾는 것이 아니라 Pivot을 찾는 것이니 Pivot의 법칙에 따라야 한다.

(1)식에 3을 곱하고 (2)식에서 (1)식을 뺀 것으로 (2)식을 대체해 보자.

3x + 2y = 11 에서 3x - 6y = 3 을 빼면 8y = 8 이니

으로 연립방정식의 형태가 바뀐다. 즉 (2)식이 (3)식으로 대체되고 미지수 x가 소거되어 y만 남게 되고 이렇게 하여 두번째 Pivot을 말할 수 있게 되었다. 2행의 y에 대한 Pivot은

8이 된다.

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이 과정을 보면 생소하고 까다롭게 느껴질 것이다. 첫번째 Pivot은 그냥 1행에서 x의 계수를 읽으면 되지만 두번째 Pivot을 구하는 과정은 낯설다. 익숙해지기 위해서는 우선적으로 필요한 것은 소거를 어떻게 해야 하는지 명확한 기준을 세우는 것이다. 앞으로 Pivot을 구하기 위한 소거는 다음과 같은 방법으로 한다.

①에서 말하는 미지수를 소거할 방정식은 식 (2)를 말하는 것으로 식(3)으로 만들어 x를 소거시키겠다는 뜻이다. 그 다음 ②에서, 소거할 미지수의 계수는 3이기 때문에 위 방정식 (1)의 Pivot = 1 로 나눈다. 이 값 3/1 = 3 이 승수(multiplier)이다. 마지막으로 ③의 내용은 승수에 음의 기호를 붙인 -3을 (1)식의 양변에 곱한 뒤 (2)식과 더해 (3)식을 만들라는 것이다. 그러면 Pivot을 구하는 과정이 완성된다.

x항이 소거된 식 (3)에서 등장하는 첫 미지수 y의 계수는 8이다. 이 8이 두번째 피벗(Pivot)이다. 이 형태의 연립방정식을 이제 행렬로 바꿔 보면 특징이 나타나게 된다.

바로 #계수행렬 A가 상삼각행렬 U로 바뀐다.

이 예시 뿐만 아니라 일반적으로 한 쌍의 해를 가지는 연립방정식의 행렬표현에서 소거법(Elimination)을 진행하면 n행 n열, 즉 대각성분의 위치에 Pivot 들이 놓이며 대각 성분들 아래는 모두 0으로 채워진 상삼각행렬이 만들어 진다.

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Elimination makes Ax = b ⇒ Ux = b'

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2. 0은 피벗이 될 수 없다.

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가. 해가 존재하지 않는 경우 (불능)

종종 연립방정식의 한쌍에 해가 없는 경우가 있다.

이 연립방정식의 해는 없다고 한다. 행관점에서 보았을 때 두 직선은 평행하고 y절편이 달라 만나는 점이 하나도 없기 때문이다. 이것을 행렬로 바꾸면 이 방정식에 대한 소거법을 적용하면 Pivot을 구할 수 없게 된다. 소거법을 적용하면 승수는 3/1=3이고 승수의 음수값

-3을 (4)식에 곱한 뒤 (5)식에 더해 아래와 같이 (6)식을 만든다.

이를 만족하는 해는 당연히 존재하지 않으며 (6)식에서 y의 계수는 0이다. 그러나 Pivot은 "0"이 될 수 없다고 정의했으므로 이 행렬은 Pivot이 1개 밖에 존재하지 않는다.

이 경우 해가 존재하지 않게 된다.

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나. 무수히 많은 해를 가지는 경우 (부정)

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반면 두 직선이 y #절편 과 #기울기 가 모두 같다면 두 직선이 일치하는 관계를 가지게 되고 이 경우 연립방정식의 해는 무수히 많게 된다.

위 식에 소거법을 적용하면 해는 무수히 많지만 y의 계수는 "0"이니 두번째 Pivot은 값을 찾을 수가 없게 된다. 이 때도 Pivot 의 개수는 1개가 된다.

3. 여러가지 사각행렬에 대한 Pivot

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위에서 설명한 방법은 정사각행렬이 아닌 행렬의 Pivot을 구할 때 난관을 맞게 된다. 열백터나 행벡터 같은 하나의 행, 열을 가진 행렬이나 정사각행렬이 아닌 사각행렬에 대한 Pivot 및 Pivot의 개수는 어떻게 구할까 ? 정사각 행렬이 아니라는 뜻은 연립방정식의 개수(=행의 개수=m)이 미지수의 개수(열의 개수=n)보다 작은 m<n과 같은 뜻이다. 이 때 부터는 결론적으로 말하면 행렬의 랭크와 기본행연산, #사다리꼴 행렬에 대한 기초 지식을 쌓은 다음 진행하는 것이 좋다. 간단히 몇가지 특징만 알아 보자.

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가. #행벡터, #열벡터 즉 1개의 행이나 열로 이루어진 행렬의 Pivot은 1개이다. 1행의

      첫 성분이 Pivot에 해당한다.

나. #성분 이 1개 뿐인 행렬도 Pivot은 1개로 취급하고 그 성분이 Pivot이다.

다. m × n 행렬의 경우, 최대 n개의 Pivot을 가질 수 있고 Pivot을 구하려면 행사다리꼴 형

     태로 바꾸는 #소거법 을 진행하는 것이 좋다. 최대 n개라고 했지 항상 n개를 가지는 것

     은 아니어서 Pivot의 개수는 직접 구하기 보다 행렬의 랭크와 같으므로 랭크(Rank)를

     먼저 구하는 것이 Pivot을 구하는데도 수월하게 된다.

이제 Pivot에 대해 어느 정도 감을 잡았을 것이다. 그런데 연립방정식을 푸는 방법을 아는데 왜 굳이 Pivot을 배우는 걸까 ? 연립방정식의 방정식 계수 m과 #미지수 개수 n을 확장하였을 때는 소거법의 계산 횟수가 급증하기 때문이다. #이원연립방정식 까지는 소거법으로 푸는 속도가 월등히 빠른데 3 × 3 계수 #행렬 을 포함한 #연립방정식 만 되더라도 기존의 연립방정식 풀이법이 복잡해 지기 시작한다. 사실 #Pivot 을 포함한 #상삼각행렬 로 바꾸어 소거하는 방법을 ' #가우스 #소거법 ( #Gaussian #Elimination )'이라 하고 #행사다리꼴 과 같은 다른 행렬 주제와 연결된다.

#선형대수학은 엄밀한 논리와 추상적인 전개가 주 대상이며 #행렬식, 행렬연산, 행렬의 대각화, 고유값 문제, 선형독립/종속, #선형결합, 선형변환 등이 대상이다.

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선형 #대수학 은 #벡터 와 #스칼라 가 무엇인지로 시작하여 #벡터공간 이 무엇인지를 공지8가지로 정의하고 여러 논리를 펼쳐가는 것이 가장 정석적인 선형대수학과정이다.

일반적으로 벡터를 역학에서 기하학적 의미로 정의하여 '크기와 방향이 있는 물리량으로 정의하는데 선형 대수학에서 벡터는 벡터공간의 공리를 만족시키면 그 어떤 대상도 벡터가 될 수 있다.

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벡터공간에 대한 개념을 이해하기 위해서는 대수학에서 군, 환, 체가 무엇인지 이해할 필요가 있다. 대수학에서 군, 환, 체의 뼈대를 세우는 일이 매우 중요한 일이지만 개념 자체는 어렵지 않기 때문에 가볍게 터치해 보자.

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1. 이항 연산 (Binary operation)

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먼저 #연산 (Operation)이 무엇인지 정의해 보자. 4칙연산을 보함하여 적분도 연산의 일종이다. 단지 어떤 대상을 연결시켜 조합을 만들어 내는 행위를 연산의 일종이라고 볼 수 있다. 연산의 정의는 다음과 같다.

쉽게 말하자면 어떤 집합의 두 원소를 뽑아 내서 둘을 연산시켰을 때, 그 연산의 결과물도 집합 X내에 포함된다면 이 연산이 집합에 대해 닫혀 있다(closed)고 말할 수 있다는 것이다.

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예를 들어 자연수는 #덧셈 과 #곱셈 에 대해 닫혀 있다. 임의의 #자연수 를 뽑아 덧셈기나 곱셈을 해도 여러번 할지라도 여전히 자연수이기 때문이다. 반면 뺄셈에 대해서는 닫혀있지 않다. 3-5=-2는 자연수가 아니고 5-5=0도 자연수가 아니다.

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위 개념은 정의를 기억하고 나서 자연수, #정수 , #유리수 , #무리수 , #실수 에 대해 사칙연산의 닫혀 있는지에 대한 여부 정도로만 확인하고 넘어가도 충분하다.

2. 군 (群, Group)

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군, 환, 체 중 연산의 기초 중 기초적인 성질이 성립하는 집합을 가리키는 것이 군으로 정의는 다음과 같다.

항등원이란 연산해서 자기 자신을 만드는 어떤 집합의 원소라 볼 수 있다. 함수에서 항등원의 개념은 항등함수이고, 행렬에서는 항등행렬이다. 임의의 행렬에 항등행렬을 무한히 곱해도 여전히 원래 행렬 그대로의 형태가 남기 때문이다. 역원은 항등원의 결과가 나오게 하는 원소로 함수에서 역함수, 행렬에서 역행렬의 역할을 한다.

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3. 환 (環, Ring)

#환 은 덧셈 아벨군의 조건을 만족하면서 곱셈에 대한 결합법칙, 분배법칙까지 성립하는 것이고 추가적으로 교환법칙이 성립하면 가환환이라 한다. 정수 전체의 집합 Z와 유리수 전체의 집합 Q, 실수 전체의 집합 R, 복소수의 집합 C가 모두 가환환이다. 곱셈과 덧셈에 대하여 교환법칙이 성립한다.

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선형대수학에서 매우 자주 등장하는 행렬은, 행렬의 곱셈의 경우 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다는 것을 기억하자. MN(R)-n차 정사각행렬, 성분이 환의 원소임을 뜻함-은 가환환이 아닌 환으로 간단히 비가환환이라고 한다.

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이렇게 군 > 환 > 체 순서로 어떤 집합의 범위를 좁혀 나가는 것은 연산을 얼만큼 자유자재로 할 수 있는지 적당한 집합을 찾는 것이 목적이기 때문이다. 대수학에서는 사칙연산을 할 수 있는 대상을 찾는 것에 관심이 있기 때문이다. 가장 간단한 덧셈부터 복잡한 나눗셈까지 기본적인 연산법칙들이 성립하는 집합을 찾아 할 수 있다.

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4. 체 (Field)

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#체 는 가장 중요하고 빈번히 등장하는 연산이 잘 정의되는 집합이다. 체는 사칙연산(나눗셈까지)이 모두 별다른 문제없이 잘 수행되는 대상을 모은 집합이다.

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체를 정의하기 전에 곱셈에 대한 역원을 정의해야 한다. R에서 하나 임의로 뽑은 원소에 대해 곱해서 항등원이 되게 하는 원소가 존재할 때, 뽑은 원소를 가역원, 곱해서 항등원을 만드는 원소를 역원이라 한다. 이는 조금만 자세히 들여다 보면 나눗셈을 하겠다는 의도가 깔려 있는 것으로 파악할 수 있다.

체의 정의는 다음과 같다.

유리수 집합 Q, 실수 집합 R, 복소수 집합 C는 모두 체이다. 1에서 설명한 표를 참고하면 좋을 듯 하다. 나눗셈과 정수는 체의 조건을 만족시키지 못한다. 이외에도 체가 되는 집합은 셀수 없이 많은데, 몇가지만 다루어 보도록 합시다.

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예제1) 2로 나누었을 때 나머지를 모은 집합 Z2가 Field인지를 검증하여라.

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2로 나눈 나머지는 0,1 뿐이므로 Z2의 원소는 이 두개이다.

그럼 0과 1에 대해 각각 ㉡을 만족하는지 확인해 보면 된다. 일단 덧셈과 곱셈을 확인한다.

여기서 왜 1+1이 2가 아니라 0이 되는지 궁금해 할 수 있다. Z2에서 덧셈을 한다는 것은 단순히 더한다는 것이 아니라 더한 숫자를 다시 2로 나누었을 때 나머지가 무엇인지를 확인하는 것이다. 1+1=2를 다시 2로 나누면 나머지가 0이니, Z2에서 1+1은 0이다. 같은 원리로 1+0=1을 다시 2로 나누면 나머지가 1이다. 곱셈 역시 마찬가지다. 그러면 표에서 확인할 수 있듯이 반드시 연산결과가 0 또는 1만 나오게 된다. 이 표를 통해 체의 조건 ㉡이 모두 만족함을 알 수 있다. 예를들어, 1의 덧셈에 대한 항등원은 0이고, 역원은 1이다.

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예제2) 다음 집합이 Field임을 보여라.

곱셈에 대한 역원이 존재할까? 역원은 여기서 역수에 해당하는데

계산해 보면 존재함을 알 수 있다.

이 집합은 Field임을 알 수 있다.