대칭군, 이면군과 치환 (Symmetric group, Dihedral group, and permutation)

1. 치환 (Permutation)

여기서 말하는 치환은 치환적분을 할 때의 치환(Substitution)과는 전혀 다른 것으로 고등학교 확률과 통계에서 배우는 순열(Permutation)과 같은 의미이다. 영어 단어도 똑 같다. 순열이라 하면 주어진 개체들을 뽑아서 배열, 즉 순서를 고려하여 나열하는 일을 말한다. 이는 바로 전단사함수, 다시 말해서 일대일 대응(one to one function)이라 볼 수 있다. 어떤 집합 Z에서 자기자신으로 가는 함수인 것이다.

 

위와 같이 행렬로 표기할 때, 1행에는 치환 조작 전이라고 볼 수 있는 X의 원소들을 순서대로 쓰면 되는 것이고, 2행에는 그 치환에 의해 순서가 바뀌어진 X의 원소들을 쓰면 됩니다. 1행의 정의역의 원소, 2행이 치역의 원소들로 이루어진 것으로 보면 된다. 이렇게 치환을 2행으로 나타내면 '2행 표기법 (Two-line notation)이라 한다. 그런데 어자피 첫줄에는 X의 원소가 순서대로 들어가니까 굳이 쓰고 싶지 않아서 아랫줄만 쓰는 경우도 있다. 그러면 '1행 표기법(One-line notation)'이라 한다. 몇가지 종류의 치환은 1행 표기법으로만 쓴다는 것을 곧 알게 될 것이다.

 

또 마지막 줄을 보면, 치환의 특성상 순열의 개념이기 때문에 치환의 총 개수는 항상 원소의 개수에 의해 결정된다는 내용이 들어가 있다. 1부터 n까지의 원소들을 무작위로 나열하는 총 가짓수는 n!이므로 치환의 개수도 이와 동일하다.

 

예제1) S1과 S2의 치환을 모두 구하여라. 

  각각 2!, 3!개씩 존재할 것이다. S2의 모든 치환은

2. 대칭군 

군 중에서, 치환의 합성에 대해 군의 세가지 조건을 만족하면 대칭군이라 부른다는 뜻이다. 왜 대칭인지에 대해서는 아래 그림으로 설명할 것이고 우선 군 자체의 조건을 만족시키는지 확인해 보자. 치환은 전단사함수이기 때문에 결국 함수의 일종이다. 그러면 함수의 합성o이란 일반적으로  결합법칙이 성립하고 또 일대일대응인 함수는 반드시 역함수가 존재하니 역원이 존재한다. 항등함수는 자기자신으로 가는 치환이며 군 자체의 조건은 모두 만족시킨다. 여기서 항등원과 역원에 대등되는 각각의 치환의 종류를 정리해 보자.

대칭군은 예술, 건축, 수학 등에서 등장하는 실생활에서 볼 수 있는 기하적 도형의 대칭성 속에서 발견할 수 있기 때문에 '대칭'이라는 이름이 붙었다. 가장 대표적으로 언급되는 것이 바로 삼각형이다.

 

그림과 같이 정삼각형을 회전시키거나 뒤집는 방법을 생각해 보자. C3는 지금 삼각형이 가지고 있는 모습을 유지하도록 돌리는 연산을 말하는 것으로 [그림1]에서 (0,1)의 위치에 세점 1,2,3이 교대로 올 수 있게 만드는 변환이다. 쉽게 말하자면 (반시계 반향으로) 120˚(2/3π) 회전하는 연산이다. 반면 C2, C2', C2" 들은 그들이 그려져 있는 각각의 축(y축 및 점선)을 기준으로 삼각형의 양쪽을 뒤집는 연산이다.

이때 삼각형의 외형적 모습을 유지하는 연산을 떠올려 보자. 그러면 6가지가 나온다. 삼각형을 그대로 두거나 C3(120˚ 회전), C3을 두번 진행(240˚를 돌림), 그리고 C2, C2', C2" 들을 축으로 선대칭 시키는 것이다.

이때 삼각형의 각 꼭지점에 1,2,3으로 넘버링을 한 뒤 이들을 원소로 하는 집합의 치환을 고려하면 정확히 S3의 원소들과 같고 예제1)에서 구했던

들이다. 아래에 치환이 어떻게 도형의 연산에 적용되는지 나타내는 그림이 있다.

이제 위 연산되어 꼭지점의 넘버가 바뀐 도형과 치환을 나타내는 행렬을 짝지으려고 한다. 우선 6개의 삼각형 중 우측의 음영처리된 삼각형 3개를 보자. 이들은 선대칭(C2)과 관련된 것으로 한꼭지점을 지나는 선을 기준으로 양 쪽을 뒤짚는 연산을 수행한 것들이다. 치환의 관점에서 고려하여 이들을 나타내는 치환행렬을 S3에서 찾으면

와 같으며, 그 특징은 3개의 원소 중 하나는 그냥 두고 나머지 둘끼리 교환한 치환에 해당된다.

반면, 왼쪽의 삼각형 셋을 보자. 이들은 회전연산(C3)과 관련된 것으로 맨 왼쪽 I는 항등치환으로 삼각형을 그대로 유지하는 상황이다. 두번째는 120˚ 회전시킨 것이다. 세번째는 240˚ 회전시킨 것이다. 이들을 S3에서 찾으면 어떤 행렬이 될까?

이런 행렬이 된다. 이들은 자리바꿈을 2회한 치환이다. 예컨대 항등행렬은 1과 2를 자리바꿈을 한 다음 다시 2와 1을 자리바꿈한 것이고 두번째 행렬은 1과 2를 자리 바꾼 다음 다시 2와 3을 자리 바꾼 행렬이다. 반면 음영처리된 우측 셋 삼각형을 나타내는 치호나은 자리바꿈을 딱 한번 한 치환이다.

 

이처럼 대칭성을 가진 도형은 치환이라 불리는 연산만을 진행하면 그 외형적 특징이 여전히 대칭성을 가지고 정확하게 말하자면 연산을 하기 전과 후의 그 모양이 바뀌지 않으므로, 치환으로 이루어진 군을 대칭군이라 부른다.

 

이 예제 도형을 포함하여 정n각형에서 회전과 반전(reflection)의 연산을 진행해도 그 모습이 흐트러지지 않기 때문에 이러한 군은 다음과 같이 특수한 경우에 해당한다.

예를 들어 괄호 안의 r^n =f^2를 보면 n=3일 때 반시계 방향으로 120˚(2/3π) 회전한 것을 뒤집기를 두번해서 만들 수 있게 된다. [그림2]에 나와 있는 두번째 삼각형이 120˚ 돌린 상태이고 이것은 항등치환에 해당하는 원래 삼각형에서 1,3을 바꾼 다음 3,2를 바꿔 반전을 총 2번하게 되면 똑같이 C3만들 수 있게 된다.

 

3. 교환법칙

 

대칭군과 이면군에서 교환법칙과 관련된 두가지 정리가 있다.

이 두 정리는 직접 엄밀한 증명을 하는 것보다 반례를 들어 틀렸음을 확인해 보는 것이 적절하다.