아낌없이 주는 나무

    ※ 전류의 단위 1[A] : 1초(sec0 동안에 1[C]의 전하가 이동한 전하량을 나타낸다.

  ▣ 표기 : 영문자 대문자로 표기 V, I

  ▣ 직류는 시간에 따라 일정한 전하량을 보인다.

​

【교류】 AC : Alternative Current : 시간에 따라 전하량이 변한다.

  ▣ 교류의 표기 : 영문자 소문자 : v, i

  ▣ 교류 : 시간에 따라 전하량이 변화한다.

​

가. 사인파의 발생

  ▣ 우리나라는 60[Hz]를 사용한다.

 ▣ Sin파 형태를 가지며 주기적으로 변화하는 전압 또는 전류

  ⊙ 유기기전력 e의 크기

    e = vBl sin Θ [V]

    v : 도체의 회전속도, B : 자속밀도, L : 도체의 길이

    Θ : 도체와 자기장이 이루는 각도

​

▣ 유기기전력은 자기장내에서 도체를 회전시켜 발생시키는데 이를 정류기(슬립링)을

   통해 유기기전력을 유인해낸다.

  ⊙ 이 때 유기기전력의 크기는 도체의 회전속도(v)와 전자석의 자속밀도(B) 및

     도체의 길이 (L)에 비례하게 된다. 또한 도체와 자속이 이루는 각도 Θ에

     따라에 유기기전력의 크기가 결정된다.

    * 유기 기전력 e = vBl sin Θ : 이브 빠에 갔더니 사인해 달라고 하더라

    * 회전력 F = BIL sin Θ : FBI 에 갔더니 사인해 달라고 하더라.

​

▣ 전류 (Current)

 ⊙ 도체가 회전함에 따라 파형이 파동이 출렁인다.

   ※ 자속과 도체가 이루는 각 (Θ)에 따라 기전력의 크기가 결정되는데 도체가 한바퀴

      돌면 정현파 (Sin파)의 파형을 이루게 된다.

      전류 i = Im sin ωt [A]

​

​ ▣ 전압 (Voltage)

  ⊙ 전압도 전류와 같은 파형을 나타낸다.

  ⊙ 주기 (T) : 파형을 한번 반복하는 시간, 시간에 따른 흐름, 1 사이클(Cycle) 시간 [sec]

  ⊙ 주파수(f) : 1초 동안에 파형 사이클 (Cycle)을 반복한 횟수

                    f = 60 [Hz] ⇒ T = 1/60 [sec]

     ※ 주기와 주파수는 반비례, 역수 관계에 있다.

  ⊙ 각주파수 : ω = 2πf, 기전력의 파형을 기준으로 단위 시간당 회전수

  ⊙ 각속도 : ω = 2πf

​

【 호도법 】

▣ 반지름의 길이가 r인 원에서 길이가 r인 호 AB를 정할 때, ∠AOB의 크기(중심각의

   크기)를 1 라디안 (radian)이라고 하고 이것을 단위로 하여 각도를 나타내는 방법을

   호도법이라 한다.

  ⊙ 호도법과 육십분법의 관계

   ※ 호도법 사용 이유 : 각도를 실수화하기 위하여

2. 위상 [Phase]

가. 진상, 지상 파형

▣ 기본파 보다 위상이 Θ1 만큼 앞선 파형을 진상파형이라 하고 기본파 보다 위상이 Θ2

   만큼 뒤진 파형을 지상 파형이라고 한다.

   주파수가 60[Hz]로 같다는 가정에서 말한다.

  ⊙ 기본파형 v = Vm sin ωt

  ⊙ 진상파형 v = Vm sin (ωt + Θ1)

  ⊙ 지상파형 v = Vm sin (ωt + Θ2)

​

나. 동위상

  ▣ 파형의 크기, 진폭은 다르지만 주기가 같은 파형을 동위상 파형이라고 한다.

      이 때도 주파수는 60[Hz]로 같다는 전제에서 말한다.

   ⊙ 진폭이 큰 파형 V1 = Vm sin ωt

   ⊙ 진폭이 작은 파형 V2 = Vm sin ωt

​

▣ 위 식에서 보는 바와 같이 동위상이라 함은 파형과 주파수가 같고 진폭만 다른 경우를

    말한다. 주파수는 발전소에서 동일하게 유지하므로 동위상이라 함은 파형이 같은 경우

    를 말한다.

​

         v = Vm sinx = Vm sin ωt

   ▣ v : 각 순간에서의 전압값 (순시값) : 특정 시간 순간 순간 마다 전압값

   ▣ Vm : 최대값 (진폭)

   ▣ ω : 각속도 (회전체의 속도 = 회전속도) ω = 2πf

   ▣ t : 시간

   ▣ x : x = Θ , Θ = 각속도 × 시간 = ω · t

​

2. 위상 (Phasor)

  ▣ 기본파를 기준으로 파형의 앞서는 경우 진상 ( Lead)와 위상이 늦은 경우

     지상(Lag)로 나타내는 것

  ▣ 0˚ 에서 시작한 기본파를 v = Vm sin ωt 라고 한다면

     진상의 경우 V1 =Vm sin (ωt + Θ1) 이고

     지상의 경우 V2 = Vm sin (ωt - Θ2) 이다.

  ⊙ 진상 : 위상이 Θ 만큼 앞선 파형

            v = Vm sin (ωt + Θ)

  ⊙ 지상 : 위상이 Θ 만큼 뒤진 파형

           v = Vm sin (ωt - Θ)

    ※ 0˚ 에서 시작한 기본파를 V = Vm sin ωt 라고 하면

       진상 파형은 V1 = Vm sin (ωt + Θ1) 이고

       지상 파형은 V2 = Vm sin (ωt + Θ2) 이다.

​

3. Sin 파의 최대값​

  가. 최대값이 변할 때

    ▣ 주파수가 일정하다는 가정하에서 파형도 정현파(Sin파)일 때

       두 파형은 위 그림과 같다. 최대값이 다르기 때문에 두 파형은 진폭만 다르다.

​

 나. 최대값과 위상이 함께 변할 때

   ▣ 위 그림은 위상과 최대값이 다른 경우를 나타낸다. 주파수가 같고 파형이 정현파

      (Sin파)로 같으므로 진폭과 위상이 다르게 된다.

​

3. 위상 (페이저 (Phasor))

  ▣ 정현파(Sin파)는 점이다.

  ▣ 정현파는 벡터이다.

  ▣ 정현파는 복소수이다.

  ▣ 정현파는 극좌표이다.

    ※ 정현파 파형은 같은데 그 위치만 다를 때 위상으로 정현파를 구분하여 표현한다.

     ⊙ 발전소에서 주파수(60[Hz])를 일정하게 만드므로 위상으로 정현파를 구분한다.

① 3상 정현파 교류의 파형을 나타내 보자.

② 기본파형을 그려 보자.

③ 진상파형을 그려 보자.

④ 지상파형을 그려 보자.

    ▣ 크기와 위상이 다른 경우의 파형을 그려보자.

     ⊙ 크기가 다르면 진폭이 다르게 되고 위상이 다르면 순시값의 위치가 다르게 된다.

    ⊙ 150√2 sin (ωt - 70˚) = 150 ∠ -70˚

    ⊙ 70√2 sin (ωt - 30˚) = 70 ∠ -30˚

​

▣ 한점을 극좌표와 Sin 파형으로 나타내자.

  ⊙ 극좌표를 정현파형으로 나타내 보자.

▣ 한점을 극좌표와 Sin 파형으로 나타내자.

   ⊙ 극좌표를 정현파형으로 나타내 보자.

▣ 정현파 종족

  ⊙ 정현파로 파형과 주파수가 같고 크기와 위상이 다른 파형을 정현파 종족으로

     통칭한다. 유사한 파형이라는 말이다.

    ▷ 극좌표 : 200 ∠ -77 ˚

   ▷ 파형 : 200√2 sin (ωt - 77˚)

  ▷ 극좌표 : 90 ∠ -40 ˚

  ▷ 파형 : 90√2 sin (ωt - 40˚)

​

【 종합 】

   ▣ 정현파는 점이다.

   ▣ 정현파는 벡터다.

   ▣ 정현파는 복소수다.

   ▣ 정현파는 극좌표다.

​

     ※ Phasor는 위상을 나타내는데 각각의 정현파를 구분하기 위해 사용한다.

​

【 페이저의 이용 】

1. 주파수가 일정한 Sin파

​

가. 동일한 각속도를 갖는 여러개의 정현파 또는 미분한 형태의 정현파 도함수 들이

    포함되는 경우 그들의 합도 동일한 각속도 ω를 갖는다.

   예 : f(t) = cos 2t - √3 sin 2t - 4 sin2t + 4 cos 2t

             = 5 cos 2t - (4+√3) sin 2t

             = 7.6 cos (2t - 48.8˚)

     위 결과와 같이 같은 주파수 ω를 갖는 정현파는 진폭 Vm과 위상 Θ로 특징지을 수 있다.

​

나. 주파수가 일정한 조건에서 정현파의 파형을 결정하는 2가지 요소는 진폭과 위상이다.

   ▣ 페이저 : 정현파의 실효값을 크기로 하고 위상을 각으로 하여 하나의 벡터로서 극좌표

                  형식으로 표현하고, 이를 복소수로 표현한다. 여기서 기준 페이저는 교류에서

                  위상각이 0˚인 페이저를 말한다.

      V를 기준 페이저라 하면

예제 : 다음 순시값을 페이저로 나타내어라.

예제 V1 = 20√2 sin ωt [V], V2 = 50√2 sin (ωt+π/3) 일 때 V1 + V2 의 실효값을

      구하라.

​

▣ 전기에서 사용할 j를 본격적으로 사용해 보자

   전기에서는 보통 교류 전류를 i를 써서 표현하므로 그와 구분하기 위해 i대신에

   j를 사용한다.

▣ 벡터를 좌표값으로 표현하기 위해 복소수로 좌표평면에 표시할 수 있게 된다.

   따라서 좌표평면이 벡터와 복소수를 연결해 준다.

▣ 복소평면에서 Z = a+bi = a +jb로 나타내자.

   이를 가로축을 실수축, 세로축을 허수축으로 하여 각각 실수부와 허수부의 수를

   (a, b) 좌표로 표시한다.

​

예) 3+2i = 3+j2으로 나타낸다. 또한 복소 평면위에 (3, 2)의 점으로 표시한다.

예 2) 다음 복소수를 복소평면에 표시하여라.

                  (1) 2 + j                      (2) -j3                           (3) 1/(1-j)

2. 허수 j의 이용

​

▣ 허수 j를 이용하면 복소수체계를 이용하여 벡터를 표현하고 수의 회전을 포함한 성분의

    회전을 표현할 수 있다.

   ① 1 × j = j : j를 곱하는 순간 90˚ 좌회전한다.

   ② j × j = -1 : j를 곱하는 순간 90˚ 좌회전한다.

   ③ -1 × j =- j : j를 곱하는 순간 90˚ 좌회전한다.

  ④ -j × j = 1 : j를 곱하는 순간 90˚ 좌회전한다.

    ※ 벡터의 회전을 아주 편리하게 회전시키는 개념이 복소수에 있다.

​

예 : 벡터 (2,3)을 복소수를 이용하여 2+ㅓ3으로 나타낼 수 있다. 이 때 2+j3에 j를 곱하

     면 즉, (2+j3) × j = -3 + 2j 가 되어서 복소평면에서 벡터의 회전을 표현할 수 있다.

예 : 3상 교류에서 벡터 연산자의 회전을 알아 보자

3. 극좌표

​

가. 직교좌표

  ▣ 가로축을 x축, 세로축을 y축으로 하여 평면을 나타내는 좌표, 이 때 직교좌표 (x, y)를

     복소수 x+jy로 나타낼 수 있다.

나. 극좌표

▣ 원점에서 그 점까지의 거리와 x축과 이루는 각도로 나타내는 좌표

▣ (x, y) = r ∠ Θ 로 나타낸다.

   예 : ( √3, 1) = 2 ∠ 30˚

다. 극좌표와 직교좌표의 변환

  ① 극좌표 r ∠Θ 를 직교좌표 (rcosΘ, rsinΘ)로 변환하여라.

ex : 2 ∠30˚ 를 직교좌표로 바꾸면 ?

   = (rcosΘ, rsinΘ) = (2cos 30˚, 2sin30˚) =(2×√3/2, 2 × 1/2)

   = (√3, 1)

​

  ② 극좌표 r ∠Θ 를 복소수 형태로 변환하면 ? rcosΘ + j sinΘ 로 나타낼 수 있다.

  ③ 지수함수의 표현

   ▣ 오일러의 공식을 이용하여 복소수를 지수함수로 변환할 수 있다.

④ 직교좌표 (x, y) - x + jy 의 극좌표 표현

예제. 좌표 (3,4)를 극좌표로 표현하면 ?

▣ r ∠Θ = (rcosΘ, rsinΘ) = (x, y)

   (x, y) = x + jy = rcosΘ + j rsinΘ

예제 : 2∠30˚ = (2 cos 30˚ , 2 sin 30˚) = (√3, 1)

    (√3, 1) = √3 + j = 2 ∠tan-1 1/√3 = 2 cos30˚ + j 2 sin30˚

예제 : 극좌표 2 ∠ 60˚ 를 직교좌표로 바꾸어라.

    (2 cos 60˚, 2 sin 60˚) = (2 × 1/2, 2 × √3/2) = ( 1, √3)

예제 : 직교좌표 (1, √3)을 복소수로 나타내어라. 1+j√3

예제 : 직교좌표 (1, √3)을 삼각함수로 표현하여라.​

예제 : 직교좌표 (1, √3)을 지수함수로 표현하라.​

예제 : 극좌표 2 ∠ 30˚ 를 직교좌표로 표현하라.

     = (2 cos 30˚, 2 sin 30˚ ) = (2 × √3/2, 2 × 1/2) = (√3, 1)

예제 : 직교좌표 (√3, 1) 을 삼각함수로 표현하라.

예제 : 직교좌표 (√3, 1) 을 지수함수로 표현하라.

4. 극좌표의 연산

가. 덧셈 : 복소수로 변환하여 계산한다.

    r ∠ Θ = r cos Θ + j sin Θ

예 : 3 ∠ 30 ˚ + 2 ∠ 60 ˚ = (3cos 30˚ + j 3sin30˚)+(2 cos 60˚ + j 2sin60˚)

                                = (3√3/2 + j 3/2) + (2/2 + j 2√3/2) = (2+3√3)/2 + j (3+2√3)/2

                                = 4.84 ∠ 41.93

​

나. 뺄셈 : 복소수로 변환하여 계산한다.

다. 곱셈

  ▣ (r1 ∠ Θ1) × (r2 ∠ Θ2) = r1 × r2 ∠ Θ1 + Θ2

라. 나눗셈

【 오일러 공식 】 세상에서 가장 아름다운 공식이다.

1. 무한급수 (Series) : +로 표현된 식

   a1 + a2 + a3 + a4+ · · · · + an = ∑ an

​

2. 테일러 급수 : f(x)가 a를 포함하는 구간에서 무한번 미분 가능할 때

이 때, ex에 x 대신 ix를 대입하면

    결국 오일러 공식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

​

1. 순시값

 ▣ 정현파 교류는 시간에 따라 그 크기가 변한다. 시간대 마다 크기가 달라지므로 크기를

     말할 때는 시간과 기준을 정하여야 한다.

 ▣ 순시값은 시간대 마다 변하는 교류값으로서 특정 시점에서의 교류값을 말한다.

 ▣ 순시값 전압 v(t), 전류 i(t)

   ⊙ 순시값 v(t) = Vm sin (ωt + Θ)

​

2. 최대값

  ▣ 순시값 파형중에서 파고치를 최대값이라 한다.

  ▣ 표기는 전압 최대값 Vm, 전류 최대값 Im 으로 표기한다.

​

3. 실효값

  ▣ 같은 저항에서 일정시간 동안 직류와 교류를 저항에 흘렸을 때, 열량이 같아지는

      교류를 직류로 환산한 값을 실효값이라 한다.

  ▣ 표기는 전압 V, 전류 I로 한다.

     ⊙ 주울의 법칙 : 1[J] = 0.24 [cal]

   ※ 실효값

  ※ 실효값 표기 및 산정 : 표기 V, I

      산정 : 실효값 = 일한 양 = Wh

 ▣ 정현파 교류에서의 실효값

     전류 i = Im sin ωt

 ▣ 정현파 교류에서의 평균값

     전압 v = Vm sin ωt

[정현파 교류의 크기 요약]

   ※ 구형파 : 口 (입구자) 모향의 파형

[정현파 교류의 표기 예]

  순시값 v(t), i(t)

  v(t) = Vm sin (ωt + Θ) ⇒ Vm / √2 ∠Θ

  i(t) = Im sin (ωt - Θ) ⇒ Vm / √2 ∠- Θ

  i(t) = √2 sin (ωt + π/3)

[파고율] : 파형의 날카로움을 나타내는 정도

[파형율] : 파형의 평활도를 나타내는 정도

​

⊙ 좌표 평면 위에서 원점 O를 시점으로 하고

   두점 E1 (1,0), E2 (0, 1)를 종점으로 하는 두벡터

2. 평면벡터의 성분 표시

▣ 아래 그림의 평면 벡터 a는

이 때, a1, a2 를 벡터 a의 성분이라 하고 a1, a2 를 각각 벡터 a의 x성분, y성분이라 한다.

벡터 a를 성분을 이용하여 다음과 같이 나타낸다.

예제 : 다음의 각 평면 벡터를 (1)은 성분으로, (2)는 단위벡터 e1, e2로 나타내어라.

3. 벡터의 크기

※ 두점 사이의 거리

4. 두벡터가 같을 조건

예제1

[풀이] 3x - y = 6, 2x + y = -1 ⇒ y = 3x -6, y = -2x - 1

         3x - 6 = -2x - 1, x = 1, y = -3

​

5. 위치 벡터

  가. 위치 벡터 정의

   ▣ 한점 O를 시점으로 하는 벡터 OA를 점 A의 위치 벡터라 한다.

나. 위치 벡터의 성질

▣ 두점 A, B의 위치 벡터를 각각 벡터 a, 벡터 b라고 하면

예제 1: 세점 A, B, C의 위치 벡터를 벡터 a, 벡터 b, 벡터 c라고 할 때

예제 2: 세점 A, B, C의 위치 벡터를 벡터 a, 벡터 b, 벡터 c라고 할 때

다. 벡터의 성분에 의한 연산

예제1. 다음 벡터연산을 성분으로 나타내어라.

예제 2. 두점 A(a1, a2), B(b1, b2)에 대하여 벡터의 크기는 ?

예제 3. 두점 A(3, 3), B(4, 1)에 대하여

라. 벡터의 평형과 성분

※ 두 벡터가 평행일 조건 : 두 벡터가 실수배 관계

예제1. 좌표평면 위의 두점 A, B가 다음과 같을 때

        벡터 AB의 성분과 크기를 각각 구하여라.

        가. A (3, 2), B (-5, -1)       나. A (-2, 3), B (4, -1)

  [풀이]

예제 2. 세 벡터 벡터 A = (3, 2), 벡터 B = (-4, 2), 벡터 C = (1, -1) 에 대하여

예제 3. 좌표평면위의 세 점 A (3, 2), B (1, -1), C (-2, 0) 에 대하여

2. 벡터

▣ 벡터는 점 A에서 점 B로 향하는 화살표를 사용하고 크기와 방향은 화살표를 사용하여

    기호의 AB 위에 화살표, A에 위 점 등과 같이 나타내며 벡터 A라고 읽는다.

    이 때 점 A를 벡터 AB의시점, 점 B를 벡터 AB의 종점이라 한다.

​

3. 벡터의 크기

▣ 벡터에서 선분 AB의 길이를 벡터의 크기라고 하고 이것을 기호로 벡터의 절대값으로

    표기한다.

​

4. 벡터를 한문자로 나타낼 때는 다음과 같이 나타낸다.

5. 특히 크기가 1인 벡터를 단위 벡터라고 한다.

​[예제] 다음 그림과 같이 한변의 길이가 1인 정사각형 ABCD가 있을 때

6. "벡터가 서로 같다"라는 의미는 다음과 같다.

7. 벡터의 덧셈

가. 삼각형의 법칙

나. 평행사변형 법칙

다. O 벡터

8. 벡터의 뺄셈

예제 : 그림에서 정사각형 ABCD에서

다음을 구하여라.

9. 두벡터가 평행할 조건

가. 영벡터가 아닌 두벡터 벡터 a와 벡터 b의 방향이 같거나 반대일 때

    벡터 a와 벡터 b는 서로 평행하다고 한다.

나. 두벡터의 평행조건

※ 어떤 벡터가 다른 벡터와 실수배 관계

​

예제 : 세벡터 p, q, r 이 다음과 같을 때 다음 조건이 성립됨을 구하여라.

1. 휘스톤브리지

▣ 휘스톤 브리지

 ⊙ G는 검류계로 어떤 때는 전류가 흐르고 어떤 때는 전류가 흐르지 않는다.

     전류가 흐를 때와 흐르지 않을 때의 조건이 있을 것이다. 그 조건을 충족시키기 위해

     저항 X는 가변 저항을 사용하고 있다. 즉 가변 저항을 사용하게 되면 조건을 충족시키는

     저항값을 얻을 수 있다. 이와 같이 저항값을 변경을 통하여 검류계에 전류가 흐르지 않는

     저항을 값을 찾게 된다. 이와 같은 방법으로 검류계에 전류가 흐르지 않는 상태의 저항값은

     마주보고 있는 저항의 곱이 서로 같을 때는 전류가 흐르지 않는데 이 때를 휘스톤 브릿지의

     평형상태라고 하고 이렇게 전류가 흐르지 않을 때의 회로조건을 휘스톤 브리지라고 한다.

▣ 휘스톤브리지 평형 조건 : PX = QR

  ⊙ 휘스톤브릿지에서 검류계에 전류가 흐르지 않는 상태를 평형상태라고 하며 이 때의 조건은

      마주보고 있는 저항의 곱의 값이 상호 같을 때 평형상태라고 한다,

  ⊙ 평형조건의 미지의 저항값 : X

      즉 저항값 P × X = Q × X 이다. 이를 X에 대하여 풀어 보면 다음과 같다.  

[예제1] 다음과 같은 회로가 주어졌을 때 검류계에 전류가 흐르지 않을 때 

          저항 X의 값을 구하여라.

    2 × 6 = 3 × X ⇒ 3x = 12 x = 4 [Ω]

  ▣ 휘스톤 브릿지을 이용하여 가변저항값을 찾는 문제이다.

     휘스톤브리지의 평형조건은 마주보고 있는 저항값을 곱이 서로 같다는 조건이다.

     따라서 마주보는 저항값의 곱 즉 3 x X= 2 × 6 이 된다.

​

[예제2] 다음과 같은 회로가 주어졌을 때 전류 I의 값은 ?

 ※ 검류계에 5[Ω]의 저항을 달았을 때 이 저항에는 전류가 흐르지 않았다.

위 그림은 휘스톤 브리지를 나타낸 그림이다. 휘스톤 브리지의 평형상태를 이용하여

전류 I를 구하는 문제를 풀어 보자. 

검류계의 평형조건에서 마주보는 저항의 곱의 값이 서로 같을 때 검류계에 전류가

흐르지 않게 되므로 이를 이용하여 문제를 풀이하게 된다. 검류계 즉 5[Ω]의  저항에 전류가

흐르지 않는 다면 위 회로는 아래와 같이 등가변환할 수 있다. 

[위 회로를 등가 변환하면]

  ▣ 위의 그림은 거리의 개념으로 일률 즉 출력을 나타낸 것이다. 단위 시간당 출력이 높으면

      긴 거리를 갈 수 있도록 함으로서 단위시간당 일량을 많게 할 수 있다. 즉 일률이 3마력은

      단위시간당 3을 갈 수 있고 5마력은 단위시간당 5, 10마력은 단위 시간당 10을 갈 수가

      있다. 이와 같이 출력(일률)이 높으면 동일한 시간에 많은 일을 할 수 있게 된다. 

나. 전력량 (W) : 일량 - 전력이 한 일의 양

 위 그림은 일량을 골프로 비유하여 나타낸 것이다. 골프채로 전하량을 이동시키기는 것을 일이라고

 한다면 적은 수의 전하를 먼거리로 보낸 것과 많은 수의 전하량을 작은 거리를 이동시킨 것은

 일량이 같다고 할 수 있다.

다. 종합