복소평면과 극좌표 - 복소수는 벡터다.

1. 복소수의 기하학적 표현

  ▣ 벡터, 복소수, 지수함수는 같은 것을 다르게 표현한 것이다.

 

복소수, 직교좌표

▣ 전기에서 사용할 j를 본격적으로 사용해 보자

   전기에서는 보통 교류 전류를 i를 써서 표현하므로 그와 구분하기 위해 i대신에

   j를 사용한다.

▣ 벡터를 좌표값으로 표현하기 위해 복소수로 좌표평면에 표시할 수 있게 된다.

   따라서 좌표평면이 벡터와 복소수를 연결해 준다.

▣ 복소평면에서 Z = a+bi = a +jb로 나타내자.

   이를 가로축을 실수축, 세로축을 허수축으로 하여 각각 실수부와 허수부의 수를

   (a, b) 좌표로 표시한다.

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예) 3+2i = 3+j2으로 나타낸다. 또한 복소 평면위에 (3, 2)의 점으로 표시한다.

 

복소평면

예 2) 다음 복소수를 복소평면에 표시하여라.

                  (1) 2 + j                      (2) -j3                           (3) 1/(1-j)

 

좌표 -> 복소수

2. 허수 j의 이용

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▣ 허수 j를 이용하면 복소수체계를 이용하여 벡터를 표현하고 수의 회전을 포함한 성분의

    회전을 표현할 수 있다.

 

벡터회전

   ① 1 × j = j : j를 곱하는 순간 90˚ 좌회전한다.

   ② j × j = -1 : j를 곱하는 순간 90˚ 좌회전한다.

   ③ -1 × j =- j : j를 곱하는 순간 90˚ 좌회전한다.

  ④ -j × j = 1 : j를 곱하는 순간 90˚ 좌회전한다.

    ※ 벡터의 회전을 아주 편리하게 회전시키는 개념이 복소수에 있다.

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예 : 벡터 (2,3)을 복소수를 이용하여 2+ㅓ3으로 나타낼 수 있다. 이 때 2+j3에 j를 곱하

     면 즉, (2+j3) × j = -3 + 2j 가 되어서 복소평면에서 벡터의 회전을 표현할 수 있다.

 

벡터회전

예 : 3상 교류에서 벡터 연산자의 회전을 알아 보자

벡터연산자 a

3. 극좌표

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가. 직교좌표

  ▣ 가로축을 x축, 세로축을 y축으로 하여 평면을 나타내는 좌표, 이 때 직교좌표 (x, y)를

     복소수 x+jy로 나타낼 수 있다.

 

직교좌표

나. 극좌표

▣ 원점에서 그 점까지의 거리와 x축과 이루는 각도로 나타내는 좌표

 

극좌표

▣ (x, y) = r ∠ Θ 로 나타낸다.

   예 : ( √3, 1) = 2 ∠ 30˚

 

극좌표

다. 극좌표와 직교좌표의 변환

  ① 극좌표 r ∠Θ 를 직교좌표 (rcosΘ, rsinΘ)로 변환하여라.

 

직교좌표 변환

ex : 2 ∠30˚ 를 직교좌표로 바꾸면 ?

   = (rcosΘ, rsinΘ) = (2cos 30˚, 2sin30˚) =(2×√3/2, 2 × 1/2)

   = (√3, 1)

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  ② 극좌표 r ∠Θ 를 복소수 형태로 변환하면 ? rcosΘ + j sinΘ 로 나타낼 수 있다.

  ③ 지수함수의 표현

   ▣ 오일러의 공식을 이용하여 복소수를 지수함수로 변환할 수 있다.

 

④ 직교좌표 (x, y) - x + jy 의 극좌표 표현

 

예제. 좌표 (3,4)를 극좌표로 표현하면 ?

 

▣ r ∠Θ = (rcosΘ, rsinΘ) = (x, y)

   (x, y) = x + jy = rcosΘ + j rsinΘ

예제 : 2∠30˚ = (2 cos 30˚ , 2 sin 30˚) = (√3, 1)

    (√3, 1) = √3 + j = 2 ∠tan-1 1/√3 = 2 cos30˚ + j 2 sin30˚

 

예제 : 극좌표 2 ∠ 60˚ 를 직교좌표로 바꾸어라.

    (2 cos 60˚, 2 sin 60˚) = (2 × 1/2, 2 × √3/2) = ( 1, √3)

예제 : 직교좌표 (1, √3)을 복소수로 나타내어라. 1+j√3

예제 : 직교좌표 (1, √3)을 삼각함수로 표현하여라.​

예제 : 직교좌표 (1, √3)을 지수함수로 표현하라.​

예제 : 극좌표 2 ∠ 30˚ 를 직교좌표로 표현하라.

     = (2 cos 30˚, 2 sin 30˚ ) = (2 × √3/2, 2 × 1/2) = (√3, 1)

예제 : 직교좌표 (√3, 1) 을 삼각함수로 표현하라.

 

예제 : 직교좌표 (√3, 1) 을 지수함수로 표현하라.

 

4. 극좌표의 연산

가. 덧셈 : 복소수로 변환하여 계산한다.

    r ∠ Θ = r cos Θ + j sin Θ

예 : 3 ∠ 30 ˚ + 2 ∠ 60 ˚ = (3cos 30˚ + j 3sin30˚)+(2 cos 60˚ + j 2sin60˚)

                                = (3√3/2 + j 3/2) + (2/2 + j 2√3/2) = (2+3√3)/2 + j (3+2√3)/2

                                = 4.84 ∠ 41.93

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나. 뺄셈 : 복소수로 변환하여 계산한다.

 

다. 곱셈

  ▣ (r1 ∠ Θ1) × (r2 ∠ Θ2) = r1 × r2 ∠ Θ1 + Θ2

 

라. 나눗셈