아낌없이 주는 나무

1. 연속방정식

  ▣ 유체는 특이한 성질이 많다. 유체의 성질에 대한 법칙중에서 유체가 특정한 관을 끊이지 않고 연속하여 흐르고 관과

       유체간에 마찰이 없다고 가정을 하면 다음과 같은 연속방정식이 성립하게 된다.

위와 같은 조건에서는 유체는 관 노선 전체에 대하여 같은 시간에 같은 부피 만큼 흐른다.

관이 중간에 구경이 커지든, 작아지든 관계없이 같은 시간에는 같은 부피 만큼 흐르게 된다.

부피1 = 부피2, V1 = V2 이다.

흐르는 유체가 물이라고 하고 물의 온도가 일정하다고 가정하면 물의 밀도도 같게 된다.

밀도1 = 밀도 2, ρ1 = ρ2

그런데 밀도 = 질량 / 부피 (ρ =m/V)이므로 밀도와 부피가 같다면 질량도 같게 된다.​

이상의 내용을 정리하면 어떤 유체가 연속적으로 관을 따라 흐를 때 특정시간 동안 관을 따라 흐른 유체의 부피, 질량, 밀도는 관의 굵기 (관경)에 관계없이 어느 지점에서나 일정하다는 것을 알 수 있다.​

위와 같은 사실을 토대로 관의 어느 특정 지점에서 유체가 흐르는 속도를 알 수 있게 된다.

유체가 흐른 부피는 관의 굵기(단면적)과 유체가 흐른 거리를 곱한 값이 된다. 유체가 이동한 거리는 유체의 속도와 시간의 곱이 된다. 그런데 유체가 연속하여 흐르는 관에서는 특정시간 동안 유체가 흐른 부피는 관의 어느 지점에서나 같다고 하였으므로 다음과 같은 식이 성립하게 된다.​

위 식을 통해 동일 관에서 흐르는 유체의 속도는 관의 단면적에 반비례함을 알 수 있다.

위에서 말한 동일 관을 흐르는 유체는 관의 단면적에 관계없이 어느 지점에서나 동일 시간에 흐르는 부피, 밀도, 질량이 일정하고 유체의 흐르는 속도는 관의 단면적에 반비례한다는 것을 나타내는 식을 연속방정식이라고 한다.

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2. 베르누이의 법칙

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앞서 특정한 관속의 흐르는 유체의 성질을 연속방정식을 통해 알아 보았다. 그런데 베르누이는 연속방정식으로 알아 본 유체의 성질과 열역학 제1법칙 즉 에너지 보존의 법칙을 이용하여 유체의 특성을 설명하고 있는데 이를 베르누이의 법칙이라고 한다. 베르누이의 법칙에 대하여 상세하게 알아 보자.

에너지보존의 법칙에 따르면 위 그림 ①에서와 ②에서의 유체가 갖은 에너지의 총 합은 같게 된다. 그런데 유체가 갖는 에너지는 유체가 하는 일과 속도에너지, 위치에너지로 구성된다. 여기서 일과 에너지는 같은 의미이고 ①과 ②에서 유체는 동일한 압력하에서 부피가 변화는 것으로 보면 일을 했다고 본다. 이를 에너지 보존의 법칙식으로 나타내면 다음과 같다.​

위 식에 부피(V)로 양변을 나누게 되면 다음과 같은 식이 성립한다.​

위 식에서 위치에너지가 일정 (관이 수평으로 평행)하다면 다음과 같은 식이 된다.​

즉 관 내부의 압력과 유체의 속도는 반비례함을 알수 있다.

또한 앞 식을 ρg로 나누면 다음의 식이 성립한다.

3. 수력기울기 (수력구배)

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위에서 설명한 바와 같이 유체에 있어서는 에너지 일반식이 수두의 식으로 표현됨을 알 수 있다. 이러한 수두식은 아래 그래프와 같이 나타낼 수 있고 이를 통해 수력구배에 대하여 알아 보자.

위 그림에서 관내에 마찰이 없다고 하면 전수두는 에너지 보존의 법칙에 따라 일정하고 그림 처럼 수평이 될 것이다. 여기서 전수두란 압력수두, 속도수두, 위치수두를 합한 값이다.

그런데 압력수두와 위치수두의 합을 피에조미터 수두라고 하고 이는 전수두에서 속도수두의 값을 뺀 값이고 이것을 높이로 나타낸 값이 수력기울기선이다. 만약 유체의 진행방향으로 관의 지름이 점차 커진다면 유체의 진행 방향으로 속도가 작아지게 되고 따라서, 속도수두는 작아지는데 에너지선은 일정하므로, 일정한 에너지선에서 속도수두를 뺀 수력기울기선 (수력구배선)은 우상향하게 된다. 또한 속도구배선은 에너지선에서 속도수두를 뺀 것이기 때문에 항상 에너지선 아래에 위치하게 된다.

⊙ 압력수두(Pressure head) : P / ρg (P/γ) 를 압력수두라고 하며, 압력을 유체의 높이로 나타낸 것이다. 압력수두를

                                                 접압수두(Static pressure head)라고도 한다.

⊙ 속도수두 (Velocity head) : v2 / 2g 을 속도수두라고 한다. 유체의 속도에너지를 유체의 높이로 나타낸 것이다.

⊙ 위치수두 (Elevation head) : Z 를 위치 수두라고 한다. 유체의 위치가 갖는 에너지를 말한다. Potential energy라고도

                                                   한다.

⊙ 전수두 (Total head) : H를 전수두라고 하며, 압력수두, 속도수두, 위치수두의 합이다.

⊙ 피에조미터 수두 (Piezometric head) : P/ρg + Z 를 피에조미터 수두라고 한다. 압력

수두와 위치수두의 합이다. 유체가 흐르는 위치에 피에조미터를 설치했을 때 피에조미터에 액체가 올라가는 부분까지의

높이에 해당하는 수두를 의미한다.

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#유체 #연속방정식 #베르누이 #압력수두 #속도수두 #위치수두 #에너지보존법칙 #관경

#구경 #피에조미터 #포텐셜에너지 #정압수두 #수력구배선 #수력기울기선

1. 에너지 경사선

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관로내에 흐르고 있는 유체가 갖고 있는 에너지를 크기를 나타내는 선을 말한다.

실제 유체가 관로 내를 흐름에 따라 변화하는 유체의 에너지 총량을 선으로 나타내는 것으로 압력수두, 위치수두, 속도수두의 합 즉, 유체가 갖는 에너지의 총량을 나타내 준다.

에너지 경사선은 각 지점에서 동수경사선 보다 속도수두 만큼 더해져 위쪽에 위치하게 된다. 유체는 높은 곳에서 낮은 곳으로 이동하게 되는데 관로 속에서 유체가 흐르면서 여러가지 다양한 저항과 맞부딪히게 된다. 이러한 저항과 부딪혀 유체는 에너지를 잃게 되는데 이 때 발생하는 에너지의 손실에 의해 유체의 에너지 총량은 줄어들게 되고 에너지 선을 경사를 이루게 되는데 이를 에너지 경사선이라고 한다.

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2. 동수 경사선 (Hydraulic grade line)

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동수경사선이란 관로를 따라 흐르는 유체가 갖는 위치수두와 압력수두의 합을 수평기준면에서 연직으로 나타낸 점들을 연결한 선을 말한다.

동수경사선은 에너지 경사선에서 속도수두를 뺀 것과 같으며 이 선은 유체가 흐르는 관에 수직으로 튜브(tuge)를 설치하고 위쪽은 개방하여 대기압과 마주하게 했을 때 관로내 유체(물)이 상승하는 높이를 나타낸다.

일반적으로 위치수두와 압력수두를 합한 동수경사선의 높이를 피에조미터 수두 (Piezo metric head)라고도 한다.

이 동수경사선은 유체의 흐름에 대한 정보를 제공할 뿐만 아니라 관로의 문제를 이해하고 해결하는데 상당히 유용하게 이용된다.

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#에너지경사선 #동수경사선 #유체 #피에조미터 #위치수두 #압력수두 #속도수두

지하수면의 깊이는 지표의 토지이용이나 비피압 대수층 (unconfined aquifer)으로 부터 지하수를 개발하는데 중요한 영향을 미친다. 지하수면이 지표 얕은 부분에서 나타나면 비가 많은 계절에는 지표층이 항상 젖어 있게 되므로 이러한 지역은 주거지나 기타의 토지 이용에 적합하지 않을 것이다. 반면에 지하수면이 지하 깊은 곳에 위치한다면 지하수를 이용하는데 펌핑시설이 필요하게 되므로 많은 경제적인 비용이 들 것이다.

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1. 피압대수층(confined aquifer): 피압대수층의 경우 대수층(모래, 자갈, 단열암반 등 그러나 상대적인 개념)의 상부에 저투수성의 실트나 점토로 된 지층 혹은 단열이 없는 암반층이 있을 경우 구속이 되어 압력을 받고 있는데 이를 피압대수층이라고 합니다. 이런 경우 상부로 부터 직접적인 강우나 지하수의 침투는 제한적입니다.
2. 비피압대수층(unconfined aquifer) 혹은 자유면 대수층(water table aquifer): 비피압 혹은 자유면 대수층은 상부에 압층이 없어 지하수가 대기와 접하고 있으면 지하수면은 대기압과 압력이 동일합니다. 자유면 대수층은 상부에 압층이 없어 비가 올 경우 수직으로 강우가 침투하는 것이 원활합니다. 보통의 경우 지하수관정을 설치할 때 천부에서 처음 만나는 대수층이 자유면 대수층입니다.​

지하수 주변의 모든 환경요소가 일정하다면, 지하수의 유동속도는 수리경사 (또는 동수구배, 동수경사, Hydraulic gradients)에 따라 달라진다. 지표면에서 지형의 기복을 나타낼 때 지형경사를 사용하듯이 수리경사는 지하수면의 경사를 의미하며 이는 단위 거리 당 전체 수두량의 변화로 나타낸다.

아래 그림과 같이 지하수가 관정 1에서 관정2 방향으로 흐른다고 하면 이 때의 수리경사는 다음과 같이 구할 수 있다.

수리 경사를 구하면 다음과 같다.

#동수경사도 #동수도 #비피압대수층 #대수층 #피압대수층 #압력수두 #위치수두 #관정

유체(액체와 기체)에서 일반적으로 적용되는 물리현상 분야가 유체역학이다.

유체역학은 유체가 가지고 있는 고유한 특성을 기반으로 하여 정지된 유체나 움직이는 유체의 압력, 속도, 높이 사이의 관계를 설명해 준다.

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유체역학에서 차지하는 중요한 부분 중 하나가 1738년 다니엘 베르누이가 완성한 '베르누이 방정식"이다.

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베르누이 방정식은 유체의 에너지는 압력, 속도, 위치(높이)에너지로 구성되는 이 3가지의 합은 언제나 일정하다고 한다. 이를 통해서 배관내의 유체의 속도를 알 수 있고 비행기가 양력으로 인해 부상하는 원리를 설명하기도 한다.

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베르누이 방정식 (Bernoulli equation)

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베르누이 방정식은 유체가 갖는 에너지 즉, 압력, 속도, 위치(높이)에너지는 항상 일정하다는 것에서 출발한다. 유체역학에서 적용되는 에너지 보존법칙을 말한다. 이 원리를 활용하여 베르누이의 법칙은 속도와 압력에 주안점을 두어 '유체의 정압력과 동압력의 합은 언제나 일정하다'는 원리를 이끌어 낸다. 이 때, 압력에 따라 유체의 밀도가 변화하기 안흔 '비압축성 유체'에서 적용되는 말이다.

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  * 정압 (Static pressure)은 정지상태에 있는 유체의 압력

  * 동압 (Dynamic pressure)은 유체가 흐르고 있는 등 움직일 때의 압력

  * 전압 (Total pressure)은 정압과 동압을 합한 유체의 압력

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높이에 따른 압력

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위 그림과 같이 원통안에 유체가 들어 있다고 할 때, 원통 밑 바닥이 받는 압력은 무게/면적 [㎏f/㎡]으로 나타낼 수 있다.

유체의 무게는 질량 × 중력가속도 [㎏g = ㎏f]로 나타낼 수 있다. 또한 밀도는 질량 / 부피 [㎏ / ㎥] 이고

질량은 밀도(ρ) × 부피(㎥)로 나타내며 유체의 부피는 단면적 × 높이 [㎡· m]로 나타낼 수 있다.

   * 질량은 중력과 상관없이 물질 기본적으로 가지는 속성의 하나이며

   * 무게는 물체가 중력에 의해 받는 힘(force)을 말하며 질량의 크기에 비례한다.

위의 내용을 정리하면 유체의 압력은 무게 / 면적이다. 이는 (질량 × 중력가속도) / 면적으로 다시 쓸 수 있고

이는 [(밀도 × 부피(면적 × 높이)) × 중력가속도)/면적)로 다시 쓸 수 있고 '밀도 × 높이 × 중력가속도' 로 나타낼 수 있다.

즉 압력 = 밀도 × 높이 × 중력가속도, P = ρ g h [Pa, N/㎡, ㎏f/㎡] 이다.

원통 속에 있는 유체의 높이가 높을 수록 바닥에 미치는 압력은 높아지고 높이가 낮아지면 압력도 낮아지게 된다.​

유체의 높이와 압력은 비례한다. 물기둥이 크면 그 만큼 무게가 더 나가므로 단위 면적당 무게를 의미하는 압력은 커지는 것은 당연하다. 그런데 유체 바닥에 미치는 압력은 유체의 무게에 의한 압력 뿐만 아니라고 유체에 작용하는 압력 즉, 대기압을 포함해야 한다. 이는 절대압력이라고 한다. 전체 압력은 유체만의 압력 + 대기압이 된다.

이를 수식으로 정리하면 다음과 같다.​

정상류 (Steady flow)

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'정상류'란 유체의 흐름이 시간에 따라 변하지 않는 것을 의미한다.

정상류는 유체의 흐름이 변화하지 않으므로 동일한 관을 흐를 때 유체의 유체의 위치에 상관없이 질량이 동일한다.

위 그림에서와 같이 왼쪽 그림에서 하단에서의 유체의 질량이나

상단에서의 유체의 질량이 같다. 이것은 유체가 정상류일 때를 가정한 것이다.

또한 질량(m)은 밀도 × 부피 (ρ × V)로 나타낼 수 있다. 부피(V)는 단면적 × 시간 (속도 × 시간) (A × v ×△t) 로 나타낼 수

있다. 따라서 질량 (m) = 밀도 × 부피 = 밀도 × 단면적 × 속도 × 시간, m = ρ · A · v · △t 로 나타낼 수 있다.

그런데 정상류에서는 어느 위치에든 질량(m)은 같게 되고, 시간(△t), 유체의 밀도(ρ)는 같게 되므로

A1 · v1 = A2 · v2 가 성립하게 된다. 결국 유체의 흐르는 관의 단면적이 크면 속도가 낮아지고 단면적이 작으면 속도가 빨라짐을 알 수 있다.

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베르누이 방정식 (Bernoulli equation)

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◈ 연속방정식

유체는 특이한 성질이 많다. 유체의 성질에 대한 법칙중에서 유체가 특정한 관을 끊이지 않고 연속하여 흐르고 관과 유체간에 마찰이 없다고 가정을 하면 다음과 같은 연속방정식이 성립하게 된다.

위와 같은 조건에서는 유체는 관 노선 전체에 대하여 같은 시간에 같은 부피만큼 흐른다.

관이 중간에 구경이 커지든, 작아지든 관계없이 같은 시간에는 같은 부피 만큼 흐르게 된다.

부피1 = 부피2, V1 = V2 이다.

흐르는 유체가 물이라고 하고 물의 온도가 일정하다고 가정하면 물의 밀도도 같게 된다.

밀도1 = 밀도 2, ρ1 = ρ2

그런데 밀도 = 질량 / 부피이므로 밀도와 부피가 같다면 질량도 같게 된다.​

이상의 내용을 정리하면 어떤 유체가 연속적으로 관을 따라 흐를 때 특정시간 동안 관을 따라 흐른 유체의 부피, 질량, 밀도는 관의 굵기 (관경)에 관계없이 어느 지점에서나 일정하다는 것을 알 수 있다.

위 식을 통해 동일 관에서 흐르는 유체의 속도는 관의 단면적에 반비례함을 알 수 있다.

위에서 말한 동일 관을 흐르는 유체는 관의 단면적에 관계없이 어느 지점에서나 동일 시간에 흐르는 부피, 밀도, 질량이 일정하고 유체의 흐르는 속도는 관의 단면적에 반비례한다는 것을 나타내는 식을 연속방정식이라고 한다.

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◈ 베르누이의 법칙

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앞서 특정한 관속의 흐르는 유체의 성질을 연속방정식을 통해 알아 보았다. 그런데 베르누이는 연속방정식으로 알아 본 유체와 성질과 열역학 제1법칙 즉 에너지 보존의 법칙을 이용하여 유체의 특성을 설명하고 있는데 이를 베르누이의 법칙이라고 한다. 베르누이의 법칙에 대하여 상세하게 알아 보자.

에너지보존의 법칙에 따르면 위 그림 ①에서와 와 ②에서의 유체가 갖은 에너지의 총 합은 같게 된다. 그런데 유체가 갖는 에너지는 유체가 하는 일과 속도에너지, 위치에너지로 구성된다. 여기서 일과 에너지는 같은 것이고 ①과 ②에서 유체는 동일한 압력하에서 부피가 변화는 것으로 보면 일을 했다고 본다. 이를 에너지 보존의 법칙식으로 나타내면 다음과 같다.​

위 식에 부피(V)로 양변을 나누게 되면 다음과 같은 식이 성립한다. 부피로 나누어 주는 것은 양변의 총 에너지가 같으므로 유체의 단위 부피당 에너지로 같게 될 것이므로 부피(V)로 나누어 주는 것이고 양변의 단위 체적당 에너지의 총합을 같게 된다.​

위 식에서 위치에너지가 일정 (관이 수평으로 평행)하다면 다음과 같은 식이 된다.

관이 수평으로 평행하면 관의 처음과 끝의 위치에너지는 동일하게 된다. 따라서 위치수도는

생략을 해도 등식이 성립한다.​

즉 관 내부의 압력과 유체의 속도는 반비례함을 알수 있다.

또한 앞 식을 ρg로 나누면 다음의 식이 성립한다. 여기서 ρg로 나누는 것은 일과 에너지(속도 · 위치 에너지)은 같은 물리량이고 상호 변환할 수 있다는 가정하에 각각의 일과 에너지를 수두로 변환하기 위함이다.​

위 식에서 일률(압력)과 단위 부피당 속도에너지를 수두로 변환하는 근거는 다음과 같다.

즉 압력 P은 특정 수두 ρgh와 같고 속도에너지도 특정 수두 ρgh와 같음에서 위식이 유도 된다.​

수력기울기 (수력구배)

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위에서 설명한 바와 같이 유체에 있어서는 에너지 일반식이 수두의 식으로 표현됨을 알 수 있다. 이러한 수두식은 아래 그래프와 같이 나타낼 수 있고 이를 통해 수력구배에 대하여 알아 보자.

위 그림에서 관내에 마찰이 없다고 하면 전수두는 에너지 보존의 법칙에 따라 일정하고 그림 처럼 수평이 될 것이다.

여기서 전수두란 압력수두, 속도수두, 위치수두를 합한 값이다.

그런데 압력수두와 위치수두의 합을 피에조미터 수두라고 하고 이는 전수두에서 속도수두의 값을 뺀 값이고

이것을 높이로 나타낸 값이 수력기울기선이다. 만약 유체의 진행방향으로 관의 지름이 점차 커진다면

유체의 진행 방향으로 속도가 작아지게 되고 따라서, 속도수두는 작아지는데 에너지선은 일정하므로,

일정한 에너지선에서 속도수두를 뺀 수력기울기선 (수력구배선)은 우상향하게 된다.

또한 속도구배선은 에너지선에서 속도수두를 뺀 것이기 때문에 항상 에너지선 아래에 위치하게 된다.

  ⊙ 압력수두(Pressure head) : P / ρg 를 압력수두라고 하며, 압력을 유체의 높이로 나타낸 것이다.

       압력수두를 접압수두(Static pressure head)라고도 한다.

  ⊙ 속도수두 (Velocity head) : v2 / 2g 을 속도수두라고 한다. 유체의 속도에너지를 유체의 높이로 나타낸 것이다.

  ⊙ 위치수두 (Elevation head) : Z 를 위치 수두라고 한다. 유체의 위치가 갖는 에너지를 말한다. Potential energy라고도

       한다.

  ⊙ 전수두 (Total head) : H를 전수두라고 하며, 압력수두, 속도수두, 위치수두의 합이다.

  ⊙ 피에조미터 수두 (Piezometric head) : P/ρg + Z 를 피에조미터 수두라고 한다. 압력수두와 위치수두의 합이다.

       유체가 흐르는 위치에 피에조미터를 설치했을 때 피에조미터에 액체가 올라가는 부분까지의 높이에 해당하는

       수두를 의미한다.

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토리첼리의 실험

17세기 이탈리아의 한 마을에서 우물을 찾는 사람들이 있었다. 그들은 우물을 찾기 위해 땅을 파기 시작했고12m의 땅을

판 끝에 물길을 찾을 수 있었다. 물길을 찾자 펌프의 관을 물속에 넣고 펌프질을 하였다. 그런데 물은 10.3m까지만 올라

갈 뿐 그 이상의 높이로는 올라가지 않았다.

사람들은 그 당시 위대한 과학자였던 갈릴레오 갈릴레이에게 이 현상을 의뢰했고 갈릴레이는 본 연구를 그의 조수였던

토리첼리에게 맡기고 세상을 떠난다.

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토리첼리 실험 : 기압과 진공의 발견

토리첼리는 실험을 위해 우물의 상황을 재연하기로 했다. 하지만 실험을 위해 12m의 유리관을 만들 수는 없기에 실험방법을 고심하게 된다. 이 때 그의 스승 갈릴레이의 생전 조언 덕에 수은이 같은 부피의 물에 비해 13.5배 무겁다는 점을 생각할 수 있었고 펌프가 물을 10.3m 끌어 올린다면 수은은 10.3m를 13.5로 나눈 약 760 ㎜ (76㎝)까지는 올릴 수 있을 것이란 판단을 내린다. 이러한 이유로 그는 1m의 유리관과 수은을 이용하여 계속하여 실험을 진행하였다.

토리첼리는 수은을 1m의 유리관에 가득 채우고 엄지손가락으로 그 위를 눌러 막은 다음 유리관을 거꾸로 하여 수은이 가득 찬 그릇에 담고 엄지손가락을 떼었다. 그러자 유리관 속의 수은은 점점 내려가더니 760 ㎜ 높이의 기둥을 이루었고 유리관이 막힌 맨 끝은 텅 빈 공간을 형성하는 것을 발견하게 된다.

수은이 가득 찬 유리관을 똑같은 수은이 가득찬 그릇에 넣었는데 수은이 내려가며 유리관 막힌 부분에 빈 공간이 형성되었다. 처음 수은이 가득찬 공간은 공기가 없었기에 소량의 수은 증기를 무시하면 이 공간은 진공이라 볼 수 있다.

아리스토텔레스의 말에 의하면 자연은 진공 상태를 싫어 해서 빈공간을 매질로 채우려고 한다. 이러한 이유로 빈 공간이 생기지 않기 위해 수은은 유리관 끝까지 끌어 올려져야 한다. 하지만 실제로 수은은 아래로 내려가며 빈 공간을 형성했다. 즉 수은이라는 매질이 빈 공간을 채우기 위해 위로 올라가지 않는 현상을 보여 준다.

이 현상에 대해 고민하던 토리첼리는 "공기에 무게가 있는 것은 아닐까?"라는 결론에 도달하게 된다. 실제로 공기에는 무게가 있고 이 공기가 그릇에 담긴 수은 표면을 누르고 있다.

이 공기가 누르는 무게와 수은이 내려가는 힘이 평형을 이루는 높이가 760 ㎜인 것이다.

(지구 표면에서 이 실험을 진행했기에 지구 표면 공기압력이 수은 기둥 760 ㎜를 형성한 것이다. 토리첼리의 실험을 통해 인류는 공기가 누르는 힘인 대기압과 진공상태를 발견하게 되었다. 공기가 무게를 가지고 있다는 사실 및 진공상태가 존재할 수 있다는 점을 실험으로 증명한 것이다. 인류는 이를 기념하기 위해 공기가 지표면을 누르는 대기압인 1atm = 수은주의 기둥인 760 ㎜Hg = 760 torr (torr는 토리첼리의 이름에서 따온 단위)로 명명했다.

1atm = 760 ㎜Hg = 760 torr

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토리첼리의 정리 (Torricelli's theorem)

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토리첼리의 정리 (Torricelli's theorem)란 질점 (Material point)이 중력의 작용으로 자유낙하할 때의 속도와 높이와의 관계를 나타내는 식을 말한다.

즉, 큰 탱크의 물이 측면에 작은 구멍으로 흘러 들어가는 속도는 수면에서 구멍까지의 높이와 중력 가속도에 의해 결정된다. 이러한 관계를 토리첼리의 정리 (Torricelli's theorem)하고 한다.

정압(靜壓, static equilibrium)과 동압 (動壓, dynamic equilibrium)

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정압(靜壓)과 동압(動壓)은 흐르고 있는 물체가 나타내는 총압(總壓) 가운데 유속의 흐름의 속도와 관계되는 압력을 말한다.

마찰손실이 없는 자유표면을 가진 수평배관을 흐르는 물에 직각으로 구부러진 개구부를 가진 세관을 물이 흐르는 방향에 직각으로 세운다면 관내의 물은 자유표면 보다 H 높이 까지 올라가서 정지하게 된다. H는 유속에 상당하는 수두에 해당한다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.​

전압, 정압, 동압의 상호관계

전압은 정압과 동압을 합한 값이다. 전압 = 정압 + 동압이다.

위 그림과 같이 배관 속에 유체(물)가 흐르고 있고 배관 내에 작은 구멍을 내고 직각으로 세관을 세우면

  ①의 세관에서는 세관의 개구부에 상당하는 높이 H까지 유체(물)가 상승하여 멈추게 된다.

  이를 흐르는 물의 정압 (靜壓, static equilibrium)이라고 한다.

​

  ② 의 경우에는 흐르던 유체가 세관을 통하여 상승하여 유속이 "0"이 되어 정압보다 속도수두 v2/2g 에 상당하는 압력을

   더하여 정압 때 보다 더 높게 수면이 상승하게 된다.

   이와 같이 속도수두 v2/2g 에 상당하는 압력을 동압(動壓, dynamic equilibrium)이라고 한다. 위치수두로 환산하면

    '전압력 = 정압 + 동압' 이 된다.

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#유체 #연속방정식 #베르누이 #압력수두 #속도수두 #위치수두 #에너지보존법칙 #관경

#구경 #피에조미터 #포텐셜에너지 #정압수두 #수력구배선 #수력기울기선 #토리첼리

#정압 #동압 #전압 #정상류 #난류 #밀도 #가속도 #중력가속도

1. 연속방정식

▣ 유체는 특이한 성질이 많다. 유체의 성질에 대한 법칙중에서 유체가 특정한 관을 끊이지 않고 연속하여 흐르고 관과

      유체간에 마찰이 없다고 가정을 하면 다음과 같은 연속방정식이 성립하게 된다.

위와 같은 조건에서는 유체는 관 노선 전체에 대하여 같은 시간에 같은 부피만큼 흐른다. 관이 중간에 구경이 커지든, 작아

지든 관계없이 같은 시간에는 같은 부피 만큼 흐르게 된다.

    부피1 = 부피2, V1 = V2 이다.

흐르는 유체가 물이라고 하고 물의 온도가 일정하다고 가정하면 물의 밀도도 같게 된다.

    밀도1 = 밀도 2, ρ1 = ρ2

그런데 밀도 = 질량 / 부피이므로 밀도와 부피가 같다면 질량도 같게 된다.

이상의 내용을 정리하면 어떤 유체가 연속적으로 관을 따라 흐를 때 특정시간 동안 관을 따라 흐른 유체의 부피, 질량, 밀도는 관의 굵기 (관경)에 관계없이 어느 지점에서나 일정하다는 것을 알 수 있다.​

위와 같은 사실을 토대로 관의 어느 특정 지점에서 유체가 흐르는 속도를 알 수 있게 된다.

유체가 흐른 부피는 관의 굵기(단면적)과 유체가 흐른 거리를 곱한 값이 된다. 유체가 이동한 거리는 유체의 속도와 시간의 곱이 된다. 그런데 유체가 연속하여 흐르는 관에서는 특정시간 동안 유체가 흐른 부피는 관의 어느 지점에서나 같다고 하였으므로 다음과 같은 식이 성립하게 된다.​

위 식을 통해 동일 관에서 흐르는 유체의 속도는 관의 단면적에 반비례함을 알 수 있다.

위에서 말한 동일 관을 흐르는 유체는 관의 단면적에 관계없이 어느 지점에서나 동일 시간에 흐르는 부피, 밀도, 질량이 일정하고 유체의 흐르는 속도는 관의 단면적에 반비례한다는 것을 나타내는 식을 연속방정식이라고 한다.

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2. 베르누이의 법칙

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앞서 특정한 관속의 흐르는 유체의 성질을 연속방정식을 통해 알아 보았다. 그런데 베르누이는 연속방정식으로 알아 본 유체와 성질과 열역학 제1법칙 즉 에너지 보존의 법칙을 이용하여 유체의 특성을 설명하고 있는데 이를 베르누이의 법칙이라고 한다. 베르누이의 법칙에 대하여 상세하게 알아 보자.

에너지보존의 법칙에 따르면 위 그림 ①에서와 와 ②에서의 유체가 갖은 에너지의 총 합은 같게 된다. 그런데 유체가 갖는 에너지는 유체가 하는 일과 속도에너지, 위치에너지로 구성된다. 여기서 일과 에너지는 같은 것이고 ①과 ②에서 유체는 동일한 압력하에서 부피가 변화는 것으로 보면 일을 했다고 본다. 이를 에너지 보존의 법칙식으로 나타내면 다음과 같다.​

위 식에 부피(V)로 양변을 나누게 되면 다음과 같은 식이 성립한다.​

위 식에서 위치에너지가 일정 (관이 수평으로 평행)하다면 다음과 같은 식이 된다.​

즉 관 내부의 압력과 유체의 속도는 반비례함을 알수 있다.

또한 앞 식을 ρg로 나누면 다음의 식이 성립한다.​

3. 수력기울기 (수력구배)

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위에서 설명한 바와 같이 유체에 있어서는 에너지 일반식이 수두의 식으로 표현됨을 알 수 있다. 이러한 수두식은 아래 그래프와 같이 나타낼 수 있고 이를 통해 수력구배에 대하여 알아 보자.