물체가 운동을 할 때 속력과 방향이 변하지 않는 일정한 운동을 등속 직선 운동 또는 등속도 운동이라고 한다. 물체가 일정한 속력으로 운동하였으므로 등속 직선 운동에서의 이동 거리는 속력 × 시간으로 나타낼 수 있으며 이를 통해 이동 거리가 시간에 비례한다는 것도 알 수 있다.
이동 거리 = 속력 × 시간
'속력-시간' 그래프에서 그래프의 밑넓이는 이동 거리이며 '시간-거리' 그래프는 기울기가 변하지 않는 직선이 되고 이 직선의 일정한 기울기가 일정한 속력을 의미한다.
2. 등가속도 직선 운동
일정한 방향으로 운동하는 물체의 속력이 시간에 따라 일정하게 증감할 때 이러한 물체의 운동을 등가속도 직선 운동이라고 한다. 즉 속도의 변화, 가속도가 일정한 운동이다.
등가속도 직선 운동의 공식
등가속도 직선운동 공식 유도
Vo : 초기속도, V : 나중속도, S : 이동거리, a : 가속도, t : 시간이라고 하면
【증 명】
① 속도-시간 그래프에서 기울기가 가속도 이므로 가속도는 시간과 속도의 식으로 나타낼 수 있다.
② 속도 - 시간 그래프에서 가속도 직선 아래 면적이 이동거리 (변위) 이므로
③ ①,② 식에서 t를 소거하면
※ 일 - 에너지 정리를 이용
▣ 질량이 m인 물체에 힘 F를 거리 S 만큼 작용하되, 높이 변화와 마찰이 없다고 가정할 때 (즉, 해준 일이 오르지 운동에너
보호의 규약을 예를 들면 시스템으로 전달되는 열은 +Q, 즉, 시스템에 외부로 부터 가해지는 에너지를 나타내며, 시스템이 하는 일은 +W, 즉, 시스템에서 외부로 보내지는 일 에너지를 나타낸다.
위 그림과 같이 기체가 들어 잇는 실린더에 움직이는 피스톤이 끼워져 있는 상태에서 열과 일에 대하여 살펴보면 분명하게 알 수 있다. 경계내의 계인 기체에 열이 가해지면 온도가 증가하고 따라서 기체의 압력도 증가할 것이다. 이 때 압력은 이동계의 외력 Fext 에 의하여 그 크기가 다르게 나타난다. 만약, 압력이 일정하게 유지된다면 체적은 대신 증가해야만 한다. 열이 계로 부터 경계를 통해 외부로 전달되면 반대로 기체의 압력이 감소할 것이며 압력을 일정하게 유지하다고 하면 기체의 체적은 줄어들어야만 할 것이다.
또한 계에 열이 가해지면서 동시에 외력 Fext가 감소하는 경우는 기체의 압력이 감소되어 동시에 온도가 낮아질 것이다. 이와 같이 온도 변화의 방향이 서로 반대인 경우 두가지 효과가 작용함을 알 수 있다.
위 그림은 견고한 용기에 계인 기체가 들어 있고 용기내 계의 외부에는 저항 코일이 감겨져 있다. 코일에 전류가 흐르면 열이 발생하여 열전달에 의해 기체의 온도가 상승하는 경우이다. 그림과 같이 계의 경계를 통과한 것이 열인가? 일인가?를 살펴보기 위해 두가지 경계로 구분하였다. 즉, 경계 1의 경우에는 오로지 기체가 하나의 계이고, 배터리로 부터 전류가 흐를 때 코일이 가열된다면 경계를 통해 기체로 열이 전달되어 계와 주위의 상호 작용하는 것은 열 뿐이다. 따라서 열이 계(시스템)의 경계1을 통과한다고 할 수 있다. 다음 경계2로 이루어진 때는 전기적인 일이 경계를 통해 계로 전달되는 경우이다. 이 때는 경계 2를 통과하는 것이 오로지 전기적 일 뿐이다. 따라서 열과 일은 경계에 따라 현상이 다르게 되므로 경계현상임을 알 수 있다. 이상으로 부터 열과 일에 대하여 정리하면 다음과 같다.
1. 열과 일은 모두 경계현상 (boundary phenomena)이다. 즉, 열과 일 모두 계의 경계에서만 구분되며 계의 경계에 따라
통과하는 에너지는 다르게 나타난다.
2. 열과 일은 모두 과도현상 (transient phenomena)이다. 즉, 계는 열과 일을 보유할 수 없으며, 일시적 현상으로 시스템
(계)의 상태가 변할 때 이중 하나 혹은 모두가 경계를 통과한다.
다음, 열과 일로 인하여 전달된 에너지의 양을 계산한다면 순간전달률 Q와 순간 발생된 일 W에 대하여 다음 식과 같이 시간에 대하여 적분하여 그 크기를 알 수 있다.
위 적분을 수행하기 위해서는 시간에 따른 각 순간 전달률 Q와 W의 변화를 알아야 한다. 전달률이 크게 변화하지 않는 시간동안에는 전달률은 단순 평균값을 사용하여도 된다. 즉,
으로 가능하다.
ex1 : 실린더에 밀폐된 8[㎏]의 공기가 그림과 같이 P1 = 800[kPa], V2 = 0.27 [㎥] 에서 P2 = 350 [kPa], 체적 V2 = 0.8 [㎥]
로 직선변화하였다. 이 과정에서 공기가 한 일은 약 몇 [kJ]인가 ?
※ 팽창일 : P-V 선도의 면적
ex2 : 밀폐용기에 비내부에너지가 200[kJ/㎏]인 기체 0.5 [㎏]이 있다. 이 기체를 용량이 500[W]인 전기가열로 2분 동안
가열하였다면 최종 상태에서 기체의 내부 에너지는? (단, 열량은 기체로만 전달된다고 한다.)
ex 3 : 30 [℃]에서 비체적이 0.001 [㎥/kg]인 물을 100[kPa]의 압력에서 800 [kPa]의 압력으로 압축한다. 비체적이 일정하다
고 할 때, 이 펌프가 하는 일 [J/kg]을 구하면 ?
ex 4. 내부에너지 130 [kJ]를 보유하는 물질에 열을 가했더니 내부에너지가 200[kJ]로 증가했다. 이 물질이 외부에
7,000[N·m]의 일을 하였을 때 가해진 열량은 몇 [kJ]인가 ?
ex 5. 실린더 내의 밀폐된 가스를 피스톤으로 압축하는 과정에 13.32 [kJ]의 열을 방출하였고, 압축일의 크기는
공학에서 일의 정의는 다음과 같다. 물질에 힘의 방향으로 변위가 발생하였을 때 일을 하였다고 하며, 에너지의 한 형태가 일이다. 즉 일 = (힘) × (힘의 방향으로 이동한 거리)로서 W로 나타내며 단위는 Joule [J]이다. 그리고 밀폐계가 주위와 서로 역학적 평형을 유지하면서 체적변화가 일어 날 때 우리는 계와 주위간에는 일의 주고 받음이 이루어졌다고 말한다.
이와같이 일의 종류에는 변위일 (Displacement Work), 절대일, 팽창일 그리고 공업일로 구분한다. 만약에 힘의 방향으로 미소변위 dx가 있을 경우 일의 크기는 아래식과 같이 표현할 수 있다.
우리는 어떤 계가 한 일을 양(+ Positive)로 취급하고 계에 대하여 행하여진 일의 경우에는
음(-, negative)로 취급한다. 또한 어떤 물체에 힘을 가하여 변위가 발생하였을 때의 일을
변위 일이라고 하고 미소일량 δW는 다음식과 같이 표현한다.
압축성계가 행한 일을 알아 보자. 아래 그림에서 압축성 계의 일은 다음 두가지 경로로 생각할 수 있다. 첫째, 실린더와 피스톤으로 된 장치에서 가스인 기체를 계로 본다. 피스톤1에서 압축되어 2. 까지의 압력 (P) - 체적 (V)선도에 표시된다. 이 압축이 준평형과정리라고
가정하고 이 압축과정 중 공기에 대하여 가한 일은 다음식과 같이 적분하여 구할 수 있다.
이를 아래 그림과 같이 표현할 수 있다.
위 그림에서 구한 일의 크기는 P-V 선도의 면적 ①-②-c -d -①과 같다. 만약 이 과정이 팽창하여 ①'로 부터 상태 ②'로 동일 경로로 행하여 졌다면 같은 면적으로 계가 주위에 해닿
여 한 일의 크기는 다음 식과 같다.
따라서 상태 1. 에서 2로 변하는 데는 여러 경로를 따를 수 있다. 이와 같이 일은 경로함수(Path function)가 되고 점함수(Point function)는 아니다. 다음 그림은 두 상태 사이에서
일이 경로함수 임을 보여 준다. 이 경로 함수의 미분은 불완전미분이고 적분은
또 상대함수에서 점함수는 경로와는 무관하고 현재 상태에서 그 점에 해당하는 상태량 값만을 가지는 함수로 대표적인 온도, 압력, 체적 등이 이에 속한다.
이러한 점 함수는 상 미분이고 제척에 대한 적분은
동작물질이 개방계(Open system)를 통과할 때 갱기는 계의 외부 일을 우리는 공업일 (Technical work) δWt로 표시하며 개방계의 압축일 또는 유동일이라고 부른다.
반대로 밀폐계가 주위에 대하여 행한 일을 절대일 (absolute work) δW로 표시하고
팽창일 또는 비유동계의 압축일이라 한다.
따라서 절대일과 공업일의 미분 정의는 다음 식과 같다.
위 식에서 공업일은 계가 받은 일로서 절대일에 대하여 부호는 부(-)가 되며, 아래 그림과
같이 부호규약을 정하여 사용한다.
2. 일의 단위
앞에서 본 바와 같이 계가 팽창하면서 주위에 행해진 일을 +(Positive)로 규약하고 계가 외
부로 부터 압축되는 계의 압축열은 - (Negative)로 생각한다. 이것은 양(+)의 일이 계로 부
터 에너지가 빠져 나감을 의미하고 음 (-)의 일은 계에 에너지가 더해짐을 말해준다. 일은 앞서 정의된 바와 같이 계에 힘을 가하여 힘의 방향으로 변위가 발생했을 때 일을 하였다고 하고, 크기는 힘과 변위의 곱으로 나타낸다. 따라서 일의 단위는 SI 단위계에서 단위 일의 크기 1 Joule [J]은 다음과 같다.
1[J] = 1 [N·m]
또한 동력(Power)은 일의 시간율(Time rate)이며, 계에서는 계의 단위질량이나 단위 중량당 동력의 크기를 많이 사용한다.
따라서 단위 동력일 1[W]는 1[J/sec]이며, 계에서는 계의 단위 질량이나 단위 중량당 동력의 크기를 많이 사용한다. 이 동력의 표시는 소문자 w를 그 표현은 다음과 같다.
이번에는 축 일에 대해 알아 보자.
아래 그림과 같이 축에 힘이 작용하여 축이 dx의 거리 만큼 이동한 일의 크기는 토크 τ =r · F 가 작용하여 해당하는 각도 만큼 회전한 것과 같다. 이 경우 동력은 힘과 변위 변화율(속도)의 곱으로 다음과 같이 토크와 각속도의 곱과 같게 된다.
또 동력에서 마력이란 개념은 1[Ps] 와 1[kW]가 쓰이고 있으며 각 동력일의 크기는 중력단위계로 다음과 같이 단위 시간 [sec]당 일의 크기 정도로 사용된다.
1[Ps] = 75 [㎏·m/sec]
1[kW] = 102 [㎏·m/sec]
따라서 1[Ps]는 약 0.735 [kW]이고 1[kW]는 1.36 [Ps] 정도의 비교값이 된다.