아낌없이 주는 나무

1. 기본량의 단위계와 차원

2. 중력단위와 절대단위의 차원비교

3. 압력 환산인자

4. 점도의 단위​​

5. 점도의 종류

6. 비압축성 유체와 압축성 유체

 가. 비압축성 유체

   ① 액체는 보통 비압축성 유체

   ② 물체 (굴뚝, 건물 등) 둘레를 흐르는 기류

   ③ 달리는 물체 (자동차, 기차 등) 주위의 기류

   ④ 저속으로 나는 항공기 둘레의 기류

   ⑤ 물속을 주행하는 잠수함 둘레의 기류

​

 나. 압축성 유체

   ① 기체는 보통 압축성 유체

   ② 음속 보다 빠른 비행체 주위의 공기 흐름

   ③ 수압철관 속의 수격 작용

   ④ 디젤엔진에 있어서 연료 수송관의 충격파

​

7. 단위와 차원

 가. 힘의 단위​

 나. 일의 단위​

 다. 동력의 단위​

9. 1차원 정상류의 연속방정식

  ▣ 질량 보존의 원리를 적용하여 연속방정식을 구할 수 있다.

  ▣ 평균속도, 밀도, 단면적을 각각, V1, V2, ρ1, ρ2, A1, A2 라 하면 단위시간에 단위면적을 통과하는 유체

       질량은 같으므로​

  ▣ 여기서 m 을 질량 유량 (mass flowrate)이라 하고, 이 식의 미분형은 다음과 같다.

          d (ρ ·A·V) = 0 ------ 식2

    그러므로, 연속방정식은​

   비압축성 유체이면 ρ = 일정이므로 위의 식은 다음과 같이 변형할 수 있다.​

10. 중량 유량과 체적 유량

  ▣ 압축성 유체의 정상흐름에서는 유관의 모든 단면을 통과하는 질량 유량 (또는 중량 유량)이 일정하고,

       비압축성 유체의 정상흐름에서는 유관의 모든 단면을 통과하는 체적 유량이 일정하다.​

     여기서, G = 중량유량 (weight flowrate)

     만약, 비압축성 유체라면

11. 오일러 운동방정식

  ▣ 유선 또는 미소단면적의 유관을 따라 움직이는 비점성 유체의 요소에 뉴턴의 운동 제2법칙을 적용하여

       얻은 미분방정식을 오일러 (Euler)의 운동방정식이라 한다.

 ▣ 오일러의 운동방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.​

12. 베르누이 방정식

  ▣ 베르누이 방정식은 유체역학적인 에너지 보존법칙이며, 일반적인 흐름에 적용가능하고 비점성 유체에

       적용가능한 오일러의 운동방정식에 몇 개의 가정조건을 대입함으로써 얻을 수 있다.

  ▣ 실제 관로에서 유체의 마찰을 고려한 수정 베르누이 방정식은 다음과 같다.​

#차원 #단위 #질량 #속도 #중력가속도 #비중량 #뉴턴 #점도 #유체 #압축성 #베르누이 #오일러 #연속방정식

물체의 운동 상태를 변화시키려고 하는 외력에 저항하는 성질의 힘을 관성력(inertia force)이라 한다. 액체 상태인 물은 외력과 관성력에 평형하도록 운동한다. 물의 거동을 해석하기 위해서는 외력인 중력, 압력, 물의 밀도, 압축성, 점성 등의 물리적 성질에 관한 이해가 필요하다.

어떤 물질의 단위체적에 대한 질량의 비를 밀도(density)라 하며, 지구 중심에서 물체를 잡아 당기는 가속도를 중력가속도로 한다. 단위중량(unit weigth)은 단위 체적당의 중량으로 밀도와 중력가속도를 곱한 값이다. 질량과 단위중량과의 관계를 좀 더 살펴보기 위하여 먼저 중력가속도에 대해 좀 더 알아 보자. 뉴턴이 발견한 만유인력은 행성의 반경을 R, 질량을 M (행성의 질량), m (물체의 질량), 중력상수를 G(gravitational constant)라 하면 어떤 물체에 작용하는 중력은 GmM/R2 으로 나타낼 수 있다. 행성이 지구처럼 크다면( 반경 약 6,370km) 행성의 표면에서 어느 정도 떨어진 곳이라 할지라도 지구 반지름에 비해 아주 미소한 크기이므로 중력은 행성 표면과 거의 비슷하다고 할 수 있다.

지구에서 질량 m인 물체에 작용하는 중력(W)은 중력가속도를 g(9.8m/s2)라 하면 뉴턴의 제2법칙에 의하여 다음과 같이 표현된다.

W = mg 식 (1.1)

따라서 지구에서 중력에 의한 중력가속도는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

식 (1.1)에서 알 수 있듯이 중력가속도는 물체의 질량과 관계가 없다. 행성(지구)의 질량과 관계가 있다. 식 (1.1)와 식 (1.2)에서 나타낸 바와 같이 물체의 무게는 만유인력, 즉 중력으로 중력가속도가 지구 중심에서 얼마나 떨어져 있는냐 (장소)에 따라 다르기 때문에 같은 물체라도 무게는 장소에 따라 다르다. 지구는 일반적으로 적도의 반경이 크고 극지방의 반경이 작으므로 같은 물체의 중량은 적도 지역에서 보다는 극지방에서 약간 클 것이다.

물체의 체적을 V, 중량을 W, 중력 가속도를 g, 질량을 m 이라고 하면 밀도 와 단위 중량 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.​

여기서, 중량의 차원은 [W] ≒ [F] ≒ [MLT−2] , 중력가속도의 차원은 [g] ≒ [LT−2], 부피

의 차원은 [Vo] ≒ [L3] 이다. 따라서 밀도와 단위중량의 차원은 MLT와 FLT에서 각각 다음과 같이 표현된다.​

따라서 MLT와 FLT 차원에서 밀도의 단위는 각각 kg/m3과 kg/m2 ⋅ s2이고,

단위중량의 단위는 각각 kgf ⋅ s2/m4과 kgf/m3이다.

물의 밀도는 근소하지만 동일 기압이라 할지라도 수온에 따라서, 동일 온도라 하더라도 압력에 따라서 변화한다.

​

#밀도 #비중량 #가속도 #중력가속도 #만유인력 #뉴턴 #차원 #질량 #중량

​

​물체의 운동 상태를 변화시키려고 하는 외력에 저항하는 성질의 힘을 관성력(inertia force)이라 한다. 액체 상태인 물은 외력과 관성력에 평형하도록 운동한다. 물의 거동을 해석하기 위해서는 외력인 중력, 압력, 물의 밀도, 압축성, 점성 등의 물리적 성질에 관한 이해가 필요하다.

어떤 물질의 단위체적에 대한 질량의 비를 밀도(density)라 하며, 지구 중심에서 물체를 잡아당기는 가속도를 중력가속도로 한다. 단위중량(unit weigth)은 단위체적당의 중량으로 밀도와 중력가속도를 곱한 값이다. 질량과 단위중량과의 관계를 좀 더 살펴보기 위하여 먼저 중력가속도에 대해 좀 더 알아보자. 뉴턴이 발견한 만유인력은 행성의 반경을 R, 질량을 M (행성의 질량), m (물체의 질량), 중력상수를 G(gravitational constant)라 하면 어떤 물체에 작용하는 중력은 GmM/R2 으로 나타낼 수 있다. 행성이 지구처럼 크다면( 반경 약 6,370km) 행성의 표면에서 어느 정도 떨어진 곳이라 할지라도 지구 반지름에 비해 아주 미소한 크기이므로 중력은 행성 표면과 거의 비슷하다고 할 수 있다.

지구에서 질량 m인 물체에 작용하는 중력(W)은 중력가속도를 g(9.8m/s2)라 하면 뉴턴의 제2법칙에 의하여 다음과 같이 표현된다.

     W = mg 식 (1.1)

따라서 지구에서 중력에 의한 중력가속도는 다음과 같이 나타낼 수 있다.​

식 (1.1)에서 알 수 있듯이 중력가속도는 물체의 질량과 관계가 없다. 행성(지구)의 질량과 관계가 있다. 식 (1.1)와 식 (1.2)에서 나타낸 바와 같이 물체의 무게는 만유인력, 즉 중력으로 중력가속도가 지구 중심에서 얼마나 떨어져 있는냐 (장소)에 따라 다르기 때문에 같은 물체라도 무게는 장소에 따라 다르다. 지구는 일반적으로 적도의 반경이 크고 극지방의 반경이 작으므로 같은 물체의 중량은 적도 지역에서 보다는 극지방에서 약간 클 것이다.

물체의 체적을 V, 중량을 W, 중력 가속도를 g, 질량을 m 이라고 하면 밀도 와 단위 중량은 다음과 같이 나타낼 수 있다.​

여기서, 중량의 차원은 [W] ≒ [F] ≒ [MLT−2] , 중력가속도의 차원은 [g] ≒ [LT−2], 부피

의 차원은 [Vo] ≒ [L3] 이다. 따라서 밀도와 단위중량의 차원은 MLT와 FLT에서 각각 다음과 같이 표현된다.​

따라서 MLT와 FLT 차원에서 밀도의 단위는 각각 kg/m3과 kg/m2 ⋅ s2이고,

단위중량의 단위는 각각 kgf ⋅ s2/m4과 kgf/m3이다.

물의 밀도는 근소하지만 동일 기압이라 할지라도 수온에 따라서, 동일 온도라 하더라도 압력에 따라서 변화한다.

​

#밀도 #비중량 #가속도 #중력가속도 #만유인력 #뉴턴 #차원 #질량 #중량

정역학이란 유체가 수직방향으로 놓여 있을 때 높이 또는 깊이에 의한 압력크기를 측정하는 것을 말한다.

​

가. 정(수) 역학

​

위 그림에서 F = ma는 뉴턴의 제1법칙이다. 이 식은 질량 m을 갖는 물체에 F라는 힘이 가

해 지면 a라는 가속도가 발생한다는 것을 의미한다. 거꾸로 이야기 하면 질량 m을 갖는 물

체가 가속도 a라는 속도로 움직일려면 그 물체에 F라는 힘이 가해져야 한다.

아래 쪽 왼쪽 그림을 보면 물속에 정방향의 구분된 물을 표시하고 있다. 파스칼의 원리에

따라 정방향의 물 위면과 아래면에 압력이 작용하고 있음을 알 수 있다. 그런데 위면에

작용하는 압력과 아래면에 작용하는 압력은 그 크기가 다르다. 왜냐하면 정수압이 차이가

나기 때문이다. 하지만 이 정방향의 물의 부피가 "0"이라면 정방향이 아니라 두께가 없는

얇은 판이라고 한다면 위면과 아래면에 가해지는 힘이 같다 보니 압력이 같게 되는데

이는 파스칼의 원리에 의해 압력에 평형을 이룸을 알 수 있다. 그런데 부피를 갖는 물이

움직이지 않는다는 것은 아래 쪽과 위쪽에서 가해지는 힘이 평형을 이룬다는 것이다.

그런데 물은 질량을 갖고 있는 물체이기 때문에 정지해 있다는 것은 힘의 합이 "0"이라는

것이므로 힘의 합이 "0"이 되기 위해서는 가속도가 "0"이라는 것을 의미한다. 즉, 힘이

"0"이라는 것은 두가지의 의미가 있다. 하나는 속도가 "0"을 의미하고 다른 하나는 질량이

"0"이라는 의미가 있다.

오른 쪽 그림을 보면 파이프를 통해 유체가 흘러가고 있다. 속도가 일정하다고 가정해 보자.

속도가 일정하다는 것은 시간에 대하여 속도가 변하지 않는다는 것이므로 결국 가속도가

"0"이라는 의미이다. 가속도가 "0"이라는 뜻은 흘러가는 유체에 가해지는 힘의 합이 모두

"0"이라는 것이다. 즉, 우리가 정수역학이라고 하는 것은 유체가 흐르지 않는 것 뿐만 아니

라 유체의 움직임이 일정한 속도 즉 가속도가 "0"인 상태를 대상으로 하고 있다.

속도가 "0"이거나 속도가 정수 (일정한 상수)일 때 모두 정수역학의 대상이 된다.

​

나. 미분형 정역학 방정식

​

​

그럼 미분형 정역학 방정식에 대하여 알아 보자.

앞서 유체 속에 웨지형 유체를 가지고 힘의 평형을 이루는 것을 알아 보았다.

위 그림의 원통형 관 속에 있는 유체에 대하여 알아 보자.

원통형관 속에 단면적이 △ℓ이고 길이가 ℓ인 가상의 공간을 설정해 보자. 이를 하나의 시스

템으로 보자. 원통밖은 주변이라고 하자. 이 때 원통은 수평축에 대하여 각 α만큼 기울어져

있다고 가정을 하자. 관속의 유체는 수평축에 대하여 각 α 만큼 기울어져 있는데 그 속에

있는 유체가 일정한 속도를 유지하려면 즉 정역학적인 상태가 될려면 유체의 가속도가

"0"이 되어야 하고 이 경우 유체는 정지해 있는 상황과 같은 상황이 되며 정지해 있는 유체

의 경우 유체에 작용하는 모든 방향에서 작용하는 힘의 합은 "0"이 된다.

그럼 이 유체에 작용하는 힘을 알아 보자. 먼저 원통의 왼쪽면에서 작용하는 힘을 P라고

하고 오른쪽 면에서 작용하는 힘을 P+△P라고 하자. 또 하나 이 유체의 질량 때문에 나타

나는 중력 즉 중량이 있다. 이와 같을 때 나타나는 힘의 평형에 대하여 알아 보자.

​

가상의 공간의 유체가 정지해 있기 위해서는 각 힘에 평형을 이루어야 한다. 각 힘의 평형을

이루는 조건을 알아 보자. 어느 점에서 이루는 힘의 평형을 알아 보기 위해서는 어느 점에서

특정방향의 힘을 정해야 하는데 여기서는 ℓ방향의 힘에 대하 알아 보자.

ℓ 방향의 힘을 Fℓ 이라고 하고 가해지는 모든 힘의 합을 ΣFℓ 이라고 하면 이 힘의 합이 "0"

이 되면 정적인 평형상태가 된다. 이 힘을 보면 먼저 왼쪽에서 가해지는 힘은 P△A이고 오

른쪽에 작용하는 힘은 (P+△P)△ℓ이고 유체의 무게에 의한 힘은 W sin α 가 된다.

이들 힘의 합이 "0"이 될 때 힘의 평형을 이루게 된다. 아래 쪽 식에서 중량은 단위중량 ×

면적이 되겠고 sin α 는 (기울어진 높이를 △Z이라고 한다면) △Z/△ℓ이 된다.

최종적으로 위 식을 정리하면 -△P - γ △z = 0 이 된다. 이를 차등형 정역학방정식이라고

한다. 이들 값에 극한값을 취해 주면 미분형 방적으로 - γ = dp / dz 가 된다.

이 식의 의미는 수직방향의 압력차이는 그 유체의 단위 중량의 -값을 갖는다는 뜻이다.

​

다. 다른 수직 위치의 압력차

​

​

위 그림 왼쪽에서 보는 바와 같이 두점 Z1 과 Z2 는 서로 다른 위치에 있다. 이들 유체에 나타나는

압력의 차이에 대하여 알아 보자.

왼쪽 식에서 h = C/γ 이다. 적분상수를 γ로 나누어 준 값이다.

h의 단위는 무엇일까. 좌변을 보면 Z는 길이를 나타내므로 단위는 [m]이다. 그런데 P/γ는

압력을 단위 중량으로 나누어준 값이다. 압력의 단위는 힘을 면적으로 나눈 것이고 단위

중량은 중력을 체적으로 나눈 값이다. 따라서 P/γ 는 길이가 되어 h의 단위는 길이 [m]가

된다. 이 때 h를 압력수두라고 부른다. 수두는 길이를 이용하여 압력을 나타내 주는 것을

말한다. 영어로는 Piezometric head라고 부른다. P/γ + Z = h 라는 식에서 h는 상수값이

므로 일정하다는 것으로 유체의 어느 점에서나 같다는 것을 의미한다.

따라서 P1/γ + Z1 = P2/γ +Z2 라는 식이 성립한다.

이것을 다시 정리하면 △P = - γ △z 이 된다.

즉, 압력은 높이 올라갈 수록 비중량에 비례하여 줄어든다는 의미이다.

이 때의 가정은 이 유체가 균질유체 (Homogeneous Fluid)라는 가정에서 성립한다.

​

【 예제 】 정역학 방정식

​

​

위 그림은 정역학 방정식을 이용한 예를 나타낸다.

왼쪽 그림을 보면 아래 쪽은 직경이 1[m]이고 길이가 1[m]이고 위쪽은 직경이 1/4[m],

길이가 4[m]인 관속에 유체가 채워져 있다.

이 구조물이 안정적으로 서 있기 위해서는 이 구조물의 경사각에 의한 압력차를 버틸 수 있

도록 아래 부분에 볼트를 이용하여 결합해 주어야 한다.

이 때 볼트의 결합력을 최소 얼마로 할 때 힘의 평형을 이룰 것인가에 대해 계산해 보자.

이 때 주어진 조건은 ℓ = 1 [m] 이고 구조물의 중량이 2,500 [N]이라고 한다.

이때 작용하는 힘은 맨 위 쪽 유체가 공기중에 노출된 부분의 대기압과 구조물의 무게, 그리

고 볼트의 결합력, 유체의 압력, 유체가 구조물 아래에서 위로 작용하는 힘이 있다. 물론

위쪽 관의 사방으로 작용하는 힘도 있지만 이는 원통의 사방에서 작용하는 힘은 서로 상쇄

되어 "0"이 되므로 이는 무시한다. 또한 아래 지면으로 작용하는 힘도 무시한다.

따라서 힘의 평형을 이루기 위해서는 위로 작용하는 힘과 아래로 작용하는 힘이 평형을

이루어야 한다. A2의 면적은 큰 직경에서 작은 직경을 빼주면 되고 질량은 원 주의 면적에

길이를 곱하여 주면 된다. 또한 P1, P2의 관계는 수두의 법칙에 따라 dP/dz = -γ 임에 따라

P2 = P1+4ℓγL = P1 + 4.8 ℓ γw 가 된다. 4.8 = 4 × 1.2(비중) 이 된다.

​

【 예제 】 파스칼 정리 + 정역학 방정식

​

​

이번에는 유압기계와 관련된 즉 파스칼의 정리가 적용되는 정역학 방정식에 대하여 알아보

자. 위 그림에서 지금이 다른 실린더에 비중이 0.85인 기름이 채워져 있다. 이 때 왼쪽의

작은 실린더에 300 [N]의 힘이 작용했을 때 힘의 평형을 이루기 위하 여필요한 F2에 작용하는

힘에 대하여 알아 보자.

파스칼의 원리에 의하여 밀폐된 공간의 유체의 한 곳에 작용하는 힘은 유체의 모든 곳에

전달되고 같은 높이에 있는 유체의 압력은 같다는 것을 알 수 있다.

따라서 F1에 의해 가해진 압력 P1은 같은 높이에 있는 오른쪽 큰 원기둥의 압력과 같다.

F2를 구하기 위해서는 P2를 구해야 하는데 P1과 P2는 같지 않다. 왜냐하면 높이가 다르기

때문이다. P2 는 P1에서 높이 × 유체의 단위 중량을 빼주면 된다.

이 때 P1, P2는 절대압력을 사용해야 하는가?, 아니면 상대압력(계기압력)을 사용해야 하

는가? 이 때에는 계기압력을 사용해야 한다. 그 이유는 P1에는 대기압력이 작용하고 있는

데 대기압력을 처음 부터 제외하였으므로 P2에도 대기압력을 제외한 계기압력을 적용시켜

야 한다.

​

【 예제 】 정역학 (비균질 유체)

​

​

지금까지 유체의 밀도가 일정한 균질유체를 대상으로 하였다.

그런데 유체의 밀도가 균질하지 않다면 어떻게 될까 ?

왼쪽 그림은 유체의 밀도가 다른 2개의 유체가 관속에 넣어져 있다.

아래에는 물이 2.1[m] 높이로 채워져 있고 , 비중이 0.8인 기름이 0.9[m] 높이로 그 위에

채워진 원통형 관의 맨 아래에 미치는 압력이 얼마인지 알아 보도록 하자.

이 문제는 정역학 방정식으로 풀어야 한다.

정역학 방정식의 양변을 적분을 하여 풀게 되는데 단위중량 γ 는 서로 다르므로 구간을 나누

어 적분을 하게 된다.

​

#정역학방정식 #압력 #밀도 #미분형 #부피 #유체 #중량 #비중량 #압력차 #균질유체

#비균질유체 #압력수두 #파스칼원리 #방정식 #뉴턴 #가속도 #질량

Stress의 어원적 의미

​

응력의 영어 표현인 Stress에 대해 알아보자. 이 말은 라틴어 'Strictus, Stringere'에서 유래했다고 했다고 하는데

라틴어로 '팽팽하게 죄다'라는 뜻이라고 한다. 어떤 물체에 외력을 가하면 변형 (Strain : 압박, 부담)이 발생한다.

이 변형에 맞서 원래 상태를 유지하기 위해 내부 상호간에 발생하는 하는 힘으로 '팽팽하게 죄는 힘'이 스트레스의

원래 의미이다.

우리가 스트레스를 받으면 근육이 긴장되고 뻣뻣해지는 느낌을 표현하기도 하는데 영어의 Stress가 외력에 대한

대항력으로 평형상태를 유지하려고 하는 내부의 저항력이라는 의미를 잘 나태내 주고 있는 것 같다.

​

응력의 단위

​

응력은 외력에 짝을 이루어 대응하는 힘이므로 단위는 뉴톤(N)이다. 어떤 물질을 외력이 작용했을 때 저항하는 능력이

다른데 이를 응력도라고 한다. 응력도는 힘을 단위 면적으로 나눈값 (N/㎟)이다.

​

응력의 종류

탄성이 있는 어떤 물체에 힘을 가하여 잡아 당기면 늘어나고, 누르면 찌그러지며, 구부리면 휘어지고, 엇갈리게 누르면

비스듬히 미끄러진다. 외부의 힘이 작용하는 방식에 따라 이들을 인장, 압축, 힘, 전단력이라고 부른다.

​

인장과 압축은 물체의 축방향으로 늘어나거나 압축하는 것으로 서로 반대방향의 축력(축방향력)이라 할 수 있고 휨이나

전단도 결국 내부에 인장과 압축이 복합적으로 작용하는 것이라고 볼 때 인장과 압축이 가장 기본적인 응력이라고 할 수

있다.

인장응력은 물체를 길이 방향으로 잡아 당기는 힘에 대응하는 저항력이다. 우리 주변에 거미줄에서 이러한 현상을 볼 수

있는데 거미줄은 인장응력도가 높은 물질로 구성되어 있어 자신의 부피보다 큰 물질을 지탱할 수 있다.

​

압축응력은 물체에 수직방향으로 누르는 압력에 작용한다. 달걀이나 조개껍질에 외력에 대응하는 힘은 주로 압축응력에

대한 것이다.

​

휨응력은 가로 놓은 물체를 누를 때 구부러지면서 발생한다. 내부공간을 육면체로 만들려면 대들보 처럼 가로로 놓이는

물체가 필요한데 이 대들보는 중력방향을 가로 질러서 놓이기 때문에 가운데가 구부러지게 된다. 휨 응력은 결국 압축과

인장이 복합적으로 작용하는 것이다.

​

전단응력은 물체에 엇갈리게 누르는 힘이 작용할 때 발생한다. 두 철판을 볼트, 너트로 체결한 후 서로 엇갈리게 당기면

볼트에는 전단응력이 발생한다. 전단응력도 결국 압축과 인장이 복합적으로 작용한다고 할 수 있다.

​

#응력 #압력 #인장응력 #전단응력 #스트레스 #변형 #저항력 #중량 #압축 #축동력

#평형 #뉴톤 #Newton #하중 #경로

​

【 뉴톤의 냉각법칙 】

​

커피온도는 몇 [℃]일 때 가장 맛이 있을까 ?

커피는 맛으로 마시는 게 아니라 멋으로 마시는 것일 수 있지만 일반적으로 70 [℃]라고

한다. 그럼 100[℃]의 커피를 맛있게 먹으려면 얼마나 기다려야 하는지 알아 보자.

뉴턴의 냉각법칙에 따르면 냉각속도 즉, 온도의 변화속도는 dT/dt는 냉각되는 물체의

온도 T와 주변의 온도 T주변온도 와의 차이에 비례한다.

이것을 식으로 나타내면 다음과 같다.​

이처럼 미분방정식이 성립된다.

이제 100 [℃]의 커피를 30[℃]의 방에 놨을 때 마시기 좋은 온도가 될 때 까지는 몇 분이나

기다려야 하는지 계산해 보자.​

T(t)를 구하기 위해 양변을 적분을 하게 되면​

위 식은 분류를 잘못했다. T는 시간에 따라 변화하는 시간 t의 함수인데

위 식에서는 우변 시간 T를 상수 취급을 하는 오류를 범했다.

온도 T와 시간 t를 따로 모아서 적분을 해야 한다.​

위 식을 적분을 해서 소요되는 시간을 계산해 낼 수 있겠다.​

분모를 미분한 것이 분자에 있으면 ln l분모l가 된다. 위식은 다음과 같이 변한다.​

정리하면 ln lT-30l = kt + C가 되니까.

이제 상수 C를 구해야 하는데 초기조건을 사용하면 된다.

처음(t=0) 커피온도가 100[℃] 즉 T(0)=100 이니까​

하지만 지금도 시간을 구하려 하니 상수 k가 있어서 조건이 하나 더 필요로 한다.

조건하나를 더 추가해 보자. 커피를 놔 두고 3분이 지났더니 커피온도가 85[℃]가

되었다고 하자. 그러면 k를 구할 수 있겠다.​

이제 커피가 70[℃]까지 식는데 소요되는 시간을 구할 수 있겠다.

커피가 100[℃]에서 70[℃]로 식는데는 약 7분 정도 소요되겠다.

​

【 리비의 탄소연대 추정정】 - 방사성 물질의 붕괴

​

탄소연대추정법은 물질속에 C14와 C12의 구성비를 근거로 방사성 동위원소인 C14의 반감기를 추정하여 연대를 추정하는 것이다.

생물의 경우 사체 내에 있는 C14와 C12의 구성비로 연대를 추정한다.

공기중에는 C14와 C12의 구성비율이 일정하다. 식물이건 동물이건 살아있는 동안에는 호

흡을 광합성 또는 음식물 섭취를 통하여 동일한 비율을 유지한다. 그런데 생물이 죽으면 호

흡이나 음식물 섭취가 중단되어 탄소공급이 끊긴다. 그런데 생물이 죽으면 C14 는 방사성

동위원소이니까 스스로 붕괴를 하지만 C12는 그대로 남아 있게 된다. 따라서 세월이 흐르

면 C14 대 C12의 구성비가 변하게 된다.

따라서 생물의 사체내에 존재하는 C14의 양이 공기중의 C14에 비해 몇 [%]나 감소했는

지 알게 되면 생물의 사망연대를 추정할 수가 있다.

그럼 어떤 생물의 사체에서 생존했을 때 있어야 할 C14의 양보다 20[%]밖에 남아 있지

않았다면 이 사체의 사망시점이 몇년 전인지 알아 보자.

C14 는 방사성동위원소로서 붕괴속도는 현재 질량에 비례한다. 이것을 미분방정식으로

나타내면 현재의 질량을 y라 하면 dy/dt =ky이 된다.​

양변에 적분을 해보자.

사망시점 t=0 에서 질량을 yo라고 하면 y(0)= yo 가 된다.​

비례상수 k를 구하기 위해서는 조건이 하나더 주어져야 한다.

또하나의 조건은 C14의 반감기는 5730년이다. 반감기는 질량이 반으로 줄어드는데 소요

되는 시간이므로 초기질량 yo 가 절반으로 줄어드는데 소요되는 시간이 5730년이다.

따라서 이를 아래식에 적용하여 비례상수 k를 구할 수 있다.​

이를 이용하여 C14가 당초 보다 20[%]밖에 남아 있지 않으므로 사망연대를 추정할 수

있다. 20 [%]는 1/5이므로 이를 위 수식에 적용하면 다음과 같다.​

#뉴톤 #냉각법칙 #미분방정식 #상수 #적분 #미분 #리비 #탄소연대추정 #방사성 #동위원소 #탄소 #반감기 #비례상수

​

1. 미분방정식이란 ?

​

미분방정식이 왜 중요한 걸까 ?

우리가 사는 세상의 모든 물체를 볼 때 물체의 변화(운동, 상태 등)에 관심을 갖기 때문이다.

물체의 변화는 움직임일 수도 있고 얼었다 녹는 상태의 변화일 수도 있고 부피나 모양의

변화일 수 있다. 이처럼 우리는 물체의 변화에 관심을 갖게 되는데 이런 물체의 변화를 나타내는 것이 미분이다.

물체의 변화 중에서 속도를 예를 들어 보자. 물체의 속도에는 3가지가 있다.

▣ 속도가 없거나

▣ 속도가 일정하거나

▣ 속가 변하거나 이 3가지가 있다.

​

그런데 속도는 거리(L)를 시간(t)로 미분한 것(dℓ/dt)인 것이다.

속도를 수식으로 표현하면 미분항 (dℓ/dt)이 들어가는 미분방정식으로 표현하게 된다.

뉴턴의 운동법칙 1,2,3법칙 중에서 제1법칙이 관성의 법칙이다.

관성의 법칙도 등속도를 유지하려는 법칙이므로 속도와 관련되어 미분과 관련이 있다.

뉴턴의 제1법칙은 속도의 특수한 경우인 "0"인 경우를 제외하고 등속도에 관한 법칙이다.

뉴턴의 제1법칙을 식으로 나타내면 속도 v = k(일정)이 되며​

뉴턴의 제2법칙은 가속도에 관한 법칙이다. 이것도 미분방정식에 해당한다.

뉴턴의 가속도의 법칙도 식으로 나타내면 다음과 같다.​

이처럼 가속도도 미분방정식과 관련이 있다.

​

상대성원리도 마찬가지이다. 상대성원리는 물체가 빛의 속도에 가깝게 빠르게 움직일 때

두드러지게 나타나는 현상인데 그중 특수상대성 원리란 등속도에 관한 것이고 일반상대성

원리는 가속도 운동에 관한 것이다. 이 상대성 원리도 속도와 관련된 사항이므로 미분

방정식에 해당하는 것이다.

우리가 관심을 갖고 있는 것들을 식으로 나타내면 이처럼 많은 것들이 미분방정식으로

표현되는 것들이다. 왜냐하면 우리는 변화하는 것들에 대하여 관심이 많기 때문이다.

​

2. 간단한 미분방정식의 예

【 뉴톤 역학 】

① 썰매장에서 몸무게 50[kg]의 아이를 5[Newton]의 힘으로 계속하여 밀면 10초 후에는 아이는 얼마의 속도로 밀려

     나갈까 ? (얼음과의 마찰력은 없다고 가정한다)

 [풀이] 뉴턴의 제2법칙 가속도의 법칙에 의하면 가속도는 다음과 같다.​

여기서 F = 5N, 질량(아이 몸무게) = 50kg 이므로 이를 위식에 대입하면​

v(10) 을 구하기 위해서는 C를 구해야 하는데 C는 초기조건이라고 한다. 조건에서

처음상태는 아이를 밀기 전이므로 즉, 처음에 아이는 정지해 있었으므로 v(0) = 0이다.

위 식에서 시간 t = 0 일 때 속도 v = 0, v(0) = 0 을 만족해야 한다.​

② 위 조건에서 10초 후에는 처음 위치에서 얼마만큼 떨어져 있겠는가 ?

  ▣ 잘못된 풀이 : ℓ = v × t 이므로 ℓ = 1 × 10 = 10 [m] 이다.

  ▣ 올바른 풀이법 : 아이를 밀 때 계속하여 힘을 가해 주므로 가속도 운동을 하게 된다.

처음 밀 때 속도가 "0" 에서 변화를 하므로 위에서 처럼 등속도 운동으로 풀면 안된다.

속도 v(t)는 거리를 시간으로 미분한 것이다.​

거리(ℓ)을 풀기 위해서 양변을 적분을 하면 다음과 같다.​

여기서도 초기조건 C은 정지상태이므로 ℓ(0) = 0 이란 조건을 이용하여 C를 구한다. 

#미분 #적분 #미분방정식 #뉴턴 #관성법칙 #가속도 #운동법칙 #변화율 #접선 #속도