아낌없이 주는 나무

1. 전기력선

  ▣ 전기력선

   ⊙ 전계(E)내에서 단위 정전하 (+1[c])을 놓았을 때 이 단위 정전하가 받는

       힘의 방향을 시각적으로 표현하기 위하여 가상한 선을 말한다.

가. 전기력선의 성질

 ① 전기력선은 양전하에서 시작하여 음전하에서 끝난다.

② 전하가 없는 곳에서는 전기력선의 발생과 소멸은 없다. (즉, 연속적이다)

③ 전기력선은 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 향한다.

④ 두 전기력선은 서로 교차하지 않는다.

⑤ 전기력선은 그 자신만으로 폐곡선이 되지 않는다.

⑥ Q[C] 의 전하에서는 Q/εo 개의 전기력선이 나온다.

⑦ 전기력선의 밀도

  ⊙ 어느 점에서의 전기력선의 밀도를 그 점의 전계의 세기로 정의한다.

  ⊙ 전기력선이 어느 공간에 +1[C]의 양전하를 놓았을 때 받는 힘을 나타내기 위한 선이므로

      이러한 전기력선이 얼마나 많이 있는지 적게 있는지를 나타내는 밀도는 전계의 세기를

      나타낸다는 것은 당연한 말이다.

나. 전기력선의 방향

  ▣ 어느 점에서의 전기력선의 접선 방향을 그 점에서의 전계(E)의 방향으로 정의

    ※ 접선 : 수평방향, 법선 : 수직방향

⑨ 전기력선은 등전위면과 수직이다.

⑩ 전기력선은 도체 표면에 수직으로 출입한다.

⑪ 도체 내부에는 전기력선이 존재하지 않는다.

​

2. 등전위면

​1. 등전위면

  ▣ 전계내에서 전위가 같은 점을 연결하여 얻어지는 면

    ⊙ 점전하로 부터 받는 힘의 세기는 그 점전하로 부터 거리의 제곱에 반비례하므로

       등전위면은 점전하로 부터 같은 거리에 위치하게 된다.

가. 등전위면의 성질

  ① 서로 다른 전위를 가진 등전위면은 교차하지 않는다.

  ② 등전위면과 전기력선은 반드시 수직으로 교차한다.

  ③ 전기력선은 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 향한다.

  ④ 등전위면은 폐곡면이다.

  ⑤ 등전위면을 따라 전하를 운반하는데 필요한 일은 영"0"이다.

3. 대전된 도체의 성질

​

① 대전된 도체의 전하는 도체 표면에만 존재한다.

   ※ 도체 내부에는 전하가 없다.

     (대전체는 서로간 반발력이 작용하므로 밖으로 밀려나 바깥쪽에 대전체가 있다)

② 도체 내부의 "전계의 세기"는 "영(0)"이다.

③ 도체 표면 및 내부의 전위는 등전위다.

④ 도체 표면에서 전기력선은 도체표면에 수직으로 교차한다.

   ※ 도체 표면은 등전위면이다.

​

⑤ 도체 표면에서 전하밀도는 곡률반경이 클 수록 (곡률이 작을 수록) 작아진다

【벡터의 미분】

1. 미분의 기본 법칙

 ▣ 미분방정식은 다음과 같다.

미분

 ▣ 변수와 미분계수가 같을 때만 미분이 가능하다.

 ▣ 미분의 기본방식은 다음과 같다.

▣ 편미분 : 미분계수와 변수가 다른 경우에도 미분을 가능하게 한다.

  ① 변수와 미분계수가 달라도 미분이 가능하다.

  ② 다변수 함수에서 한개의 변수에 대해서만 미분을 한다.

  ③ 미분계수와 상관없는 변수들은 상수 취급을 한다.

  ④ 나머지는 "일반미분"과 같다.

2. 미분 연산자 : 명령어 (컴퓨터)

가. ▽

  ① 명칭 : "나블라", "del 델" ⇒ 편미분 연산자

  ② 표현

  ③ 결과 : 벡터 ⇒ i, j, k 로 표현

​

나. grad

  ① 명칭 : gradient

  ② 의미 : 기울기, 경사, 경도, 구배

  ③ 용도 : "전위 V"의 기울기를 구할 때

  ④ 표현 : " ▽"와 같다.

다. div

  ① 명칭 : 다이버젼스 divergence

  ② 의미 : 발산

  ③ 용도 : 전기력선이 발산하는 모양을 수식화할 때 사용

  ④ 표현 (연산자) : ▽ · (나블라 도트)

  ⑤ 결과 : 스칼라

​

라. rot, curl, Rotation

  ① 명칭 : 로테이션, 커얼

  ② 의미 : 회전 (Rotation)

  ③ 용도 : 자속이 회전하는 모양을 나타낸다.

  ④ 표현 (연산자) : ▽ × (나블라 크로스)

  ⑤ 결과 : 벡터 i, j, k 로 표현

​

【벡터의 미분 결과】

  ① ▽, grad, rot (curl) ⇒ 벡터 : 방향을 나타내는 i, j, k 로 표현

  ② div (▽·) ⇒ 스칼라 (내적)

​

가. 스칼라 기울기 = 전위의 기울기

예제1. 전위함수 V = x^2yz 일 때 한점 (1,2,3)에서 grad V를 구하시오.

【 전위 [V] 】

1. 전위 : "일" = 힘 × 이동한 거리 = F · r [V]

​

▣ 전위는 일의 다른 표현이다. 일은 특정 힘으로 대상물을 옮긴 거리로 볼 수 있다.

    즉, 일은 힘 × 이동한 거리로 표현할 수 있다.

▣ 전위를 설명하기 전에 우선 "일"에 대하여 알아 보자

가. 전위의 정의

  ▣ 전위 : 전계의 세기가 E인 평등전계내에서 P점의 전위란 ?

   ⊙ 무한 원점으로 부터 단위 점전하(+1[C])를 전계에 대항하여 P점까지 이동시키는데

       소요되는 일 (힘 × 이동거리)

▣ 전위란 위 그림과 같이 무한원점에 있는 +1[C] 전하를 P점으로 옮기는데 소요되는 일이

    다. 전위를 구하기 위하여 힘과 거리로 나누어 일량을 구해 보자.

【 기본 적분식 】

 ▣ 전자기학 공부에 필요한 기본적분식에 대하여 알아보자.

▣ Q[C] 전하로 부터 r[m] 떨어진 지점의 전위는 ?

【 정리 】

​

​【 전위 경도 】

1. 전위차

가. Q[C]의 전하에서 r1[m] 떨어진 A와 r2[m] 떨어진 B 간의 전위차

   ▣ 전위차 : +1 [C]의 단위전하를 B점에서 A점으로 이동하는데 소요되는 일

▣ 위 그림에서 전위차는 VA와 VB의 전위의 차이를 말하는 것으로 +1[C]의 단위전하를

    B점에서 A점으로 옮기는데 소요되는 에너지(일)를 말한다.

  ⊙ 전위차 VAB = VA - VB

나. A,B점 사이에 q[C]을 이동시킬 때 소요되는 일

▣ B점에서 A점으로 +1[C]의 단위 전하를 이동하는데 소요되는 일이 전위이므로

    B점에서 A점으로 q[C]을 옮기는데 소요되는 일은 전위차 × q[C]이 된다.

다. 전위의 기준

① 전위의 기준은 "무한원점"을 기준으로 한다.

② 무한원점의 전위는 "0" 전위이다.

    ※ 일 = 힘 × 이동한 거리 = +1[C] × "0" = "0"

​

라. 전계의 보존성

  ▣ Q[C]의 전하에 의하여 만들어진 전계내에서 단위 정전하를 폐회로에 따라 일주

      시킬 때 "전계 E가 하는 일"은 "영(0)"이다.

※ 정전하가 이동하여 제자리로 돌아 오면 이동하면서 소비된 에너지 만큼 제자리로

    돌아 오기 위해서는 전위를 외부에서 공급받아야 하므로 결국 소요된 전위(에너지)는

    없게 된다.

​

2. 전위 경도 ※ 경도 : 기울기

​가. 전위의 경도 (전위의 기울기)

    ※ 기울기를 구하라는 말은 미분하라는 말과 같다.

나. 임의의 거리를 진행할 때 (임의의 두 점 사이의) 전위의 높이 변화

    ⇒ 단위 길이당 전위의 변화

다. 전위

【 종합정리】

 전계 E = - grad V (전위의 기울기) - 는 방향이 반대라는 의미이다.

   ※ 전위의 경도는 전계의 세기와 크기는 같고 방향이 반대라는 의미이다.

​

​

1. 전계

전계 : 어느 공간에 대전체가 존재하여 공간상에 전기적 힘이 작용하고 있는 공간을 전계라고 한다.

정전계 : 전계 중에서 전계 에너지가 최소로 되는 전하 분포의 상태의 전계를 정전계라고 한다.

​

2. 전계의 세기 (E)

▣ 정의 : Q[C]으로 부터 거리가 r[m] 떨어진 거리에 단위 정전하(+1[C])를 놓았을 때

            이 단위 정전하에 작용하는 쿨룽의 힘을 그 점의 전계의 세기로 표현한다.

 ※ 이 때 전계의 세기에 영향을 미치는 것은 Q [C]의 전하 즉 전하량(대전체, 대전된 정도)과

    Q [C]의 전하로 부터 떨어진 거리에 영향을 받게 된다.

가. 전계의 세기 (힘의 크기)

▣ 전계의 세기 : 전계내에서 단위 정전하(+1[C])가 받는 쿨룽의 힘

   ⊙ 전계의 세기는 단위 정전하(+1[C])가 받는 힘이므로 전계의 세기는 오로지 전계내에 작용하는 힘에

       크기에 의하여 좌우되며 단위 정전하는 영향을 받는 역할만 하게 된다.

  ※ 쿨룽의 힘은 공간상에 존재하는 전하들간에 서로 작용하는 힘이므로 전계의 세기를 계산할 때

      쿨룽의 힘의 법칙에 의하여 단위 정전하 (+1[C])가 미치는 힘의 크기는 +1 이므로 단위정전하에

      의한 힘의 영향은 제외하고 오로지 공간상에 작용하는 힘의 세기를 나타내게 된다.

      쿨룽의 힘에 의하여 전계의 세기를 계산하므로 쿨룽의 힘은 거리의 제곱에 반비례하고 각각의

      전하의 전하량에 의해 영향을 받게 되고 전하가 놓여 있는 매질에 의해 영향을 받게 된다.

      따라서 전계의 세기는 쿨룽의 힘을 Q[C]으로 나누어 준 것과 같게 된다.

나. 전계의 세기 (힘의 방향)

▣ 전하들간에 서로 작용하는 힘은 대전체의 극성에 따르게 되는데 전하들간에

    다르면 극성이면 끌어당기는 흡인력이 작용하고 극성이 서로 같으면 밀어내는 힘

    즉, 반발력이 작용하게 된다.

▣ 단위 정전하가 양전하이므로 Q전하가 양(+)전하이면 반발력이 발생하고

    Q전하가 음(-) 전하이면 흡인력이 발생한다.

​

3. Q[C]전하로 부터 r[m] 떨어진 곳, P점에 q [C]의 전하를 놓았을 때 작용하는 힘

가. P점에 +1[C](단위 정전하)을 놓았을 때 작용하는 힘

  ▣ Q[C]으로 부터 r[m] 떨어진 곳에 단위 정전하 (+1[C])를 놓았을 작용하는 힘은 Q[C]의 전하와

      단위 정전하간에 작용하는 쿨룽의 힘을 계산하면 된다. 쿨룽의 힘은 거리의 제곱에 반비례하고

      공간의 매질에 영향을 받는다.

 ▣ 다만, P 점에 단위 정전하 (+1[C])을 놓았을 작용하는 힘은 오로지 해당 공간상에 작용하는 힘을

      말하며 단위 정전하에 의해 발생하는 힘은 제외된다. 단위 정전하가 작용하는 힘은 "1"이므로

      단위 정전하에 의한 힘은 제외된다.

나. P점에 q[C]의 전하를 놓았을 때 작용하는 힘

    ⇒ 작용하는 힘이 q배로 증가한다.​

​ ▣ P 점에 q[C])을 놓았을 작용하는 힘은 공간상에서 발생하는 쿨룽의 힘을 말하며

     Q[C], q[C]이 상호작용하는 힘을 말한다.

【전계의 세기 예제 문제 풀이】

ex1 : 공기중에 2×10-7[C]의 점전하를 놓았을 때 이로 부터 50[cm] 거리에 있는

       점 P에서의 전계의 세기 [V/m]는 ?

 ※ Q[C]으로 부터 50[cm] 떨어진 곳에 단위 정전하를 놓았을 때 작용하는 전계의 세기는

    쿨룽의 힘 산정식으로 계산할 수 있다. 이때 단위 정전하가 작용하는 힘은 "1"이므로

    Q[C]이 작용하는 힘만 계산하게 된다.

ex2. 전계의 세기가 500[V/m]인 전계내에 5[μC]의 전하를 놓았을 때 이 전하에 작용

      하는 힘은 ?

 ※ 전계의 세기는 전계내에 단위 정전하 (+1[C])을 놓았을 때 이 단위 정전하가 받을 힘을 말하므로

    단위 정전하 대신에 5[μC]을 놓았을 때 작용하는 힘을 계산하면 전계의 세기에 전계내에 놓은

    전하량을 곱하여 산정하게 된다.

ex3. 한변의 길이가 A[m]인 정삼각형의 두 정점에 Q[C]과 -Q[C]의 점전하를 놓았을 때

      나머지 정점의 전계의 세기 [V/m]는 ?

※ 전계의 세기는 +1[C]의 전하를 놓았을 때 작용하는 쿨룽의 힘이므로

   정삼각형의 정점에 +1[C]이 받는 힘을 구하면 된다.

 ① 위 그림에서 +1[C]의 전하를 놓으면 +Q과는 반발력이 작용하고

     -Q[C]은 흡인력이 발생하므로 힘의 벡터 표시는 위 그림과 같으며

     이들의 합은 벡터합인데 크기가 같고 내각이 120˚인 경우 내적을 구하면

     각각의 벡터와 같게 된다.

 ② 위의 내용을 이용하여 전계의 세기를 구해보자.​

​

1. 대전, 대전체, 전하량

※ 중성물체가 전기를 띠게 되는 현상을 대전이라 부른다.

   중성물체는 양전하와 음전하가 같은 수가 있어서 전기를 띠지 않으나

   음전하 중에 자유전자가 이동을 하여 양전하의 수와 음전하의 수가 달라졌을 때

   전기를 띠게 되는데 이를 대전되었다고 한다.

​

▣ 대 전 : 중성물체가 전자의 이동으로 전기를 띠게 되는 현상

▣ 대전체 : 전기를 띠는 물체

​

① A 물체의 전기량 : + 1.602 × 10-19 × 3개 + Q [C]

① B 물체의 전기량 : - 1.602 × 10-19 × 3개 - Q [C]

   ※ 전기량을 전하량이라 부른다.

​   ※ 양전하, 음전하의 수의 차이가 전기량이므로 전기를 띠게 되는 그 전하량의 차이,

      전기를 띠게 하는 전하의 량을 전기량이라고 한다.

2. 정전유도 현상

▣ 중성물체 A에 대전체 B를 가까이 대면 성질이 다른 전하는 서로 흡인력이 발생하여

    서로 당기게 되고 성질이 같은 전하는 서로 밀어내는 반발력이 작용하게 된다.

▣ 이러한 전하의 성질에 따라 A에 B와 가까운 쪽은 반대극성을 띠는 전하가

    먼쪽은 같은 극성의 전하가 나타나게 된다.

​

3. 쿨룽의 법칙

  ▣ 정지된 두 전하사이에 작용하는 힘에 관한 법칙

 ⊙ 힘은 벡터량으로 크기와 방향을 가진다.

  ※ 같은 극성의 전하간에는 밀어내는 힘(반발력)으로 작용하고

      다른 극성의 전하간에는 끌어 당기는 힘(흡인력)으로 작용한다.

【쿨룽의 법칙】

 ① 힘은 두 전하의 크기에 비례

 ② 힘은 두 전하사이의 거리의 제곱에 반비례

③ 쿨룽상수 : k

  ▣ 두 전하 Q1, Q2 가 놓여 있는 매질(공기, 기름...)에 의해 결정되는 계수

④ 유전율 : ε

  ▣ ε : 유전율 [F/m] : 전하를 유도하는 능력(성질)

  ▣ εo : 진공 또는 공기중의 유전율

   ⊙ εo : =8.855 × 10-12 [F/m]

   ⊙ εs : 비유전율 (비교 유전율)

    ※ 공기의 유전율을 기준으로 하여 다른 물질의 유전율을 비교한 값

※ 공기의 비유전율

【힘의 크기】​

【종합정리】

  ▣ 힘 = 크기 + 방향

  ▣ 방향

   ⊙ 같은 극성의 전하

⊙ 다른 극성의 전하

결과 : 두 전하 사이에 작용하는 힘인 쿨룽의 힘은 두 전하를 연결하는

        직선과 일치한다.

​

【쿨룽의 법칙, 예제 문제 풀이】

ex 1. 진공중에 두 전하가 일직선상에 놓여 있을 때 B전하에 작용하는 힘[N]은 ?

【문제풀이】

  ▣ A, B, C 전하는 모두 양전하이므로 서로간에 반발력이 작용한다.

  ▣ B전하에는 A전하의 반발력 F1, C전하의 반발력 F2가 동시에 작용한다.

  ▣ F1과 F2는 작용하는 힘의 방향이 반대이므로 양 힘의 합은 두 힘간의 차이다.

   ① 먼저 A전하에 의한 힘의 F1을 구해 보자.

② C전하에 의한 작용하는 힘 F2를 구해 보자.

③ B구에 작용하는 힘은 F1 - F2이다.

ex2 : 한변의 길이가 2[m]가 되는 정삼각형의 세정점 A, B, C에 10-4[C]의 전하가 있다.

이 때, 점 B에 작용하는 힘[N]은 ?

【문제풀이】

  ▣ 정삼각형의 각 정점에 크기가 같고 거리가 같은 전하가 놓여 있으므로 작용하는 힘은

     같으나 방향이 다르므로 작용하는 힘의 합은 벡터합으로 구해야 한다.

① A에 의해 작용하는 힘 F1 과 B에 의해 작용하는 힘 F2를 구해 보자.

  ※ 두 전하간에 작용하는 힘은 쿨룽의 법칙에 의하여 계산할 수 있다.

     여기서 9 × 10^9의 공기중의 유전율로 나눈 값이다.

▣ 두 힘의 합은 벡터 합으로 구한다.

  ※ 벡터의 합은 코사인 법칙에 의하여 계산할 수도 있고 삼각함수와 평행사변형에

     의한 방법 등을 이용하여 계산할 수 있다.

【정전계】

▣ 전계란 어떤 물질이 대전이 되었을 때 전기의 성질을 띠게 되는데

    이 대전체는 공간상에 전기적인 힘, 영향을 미치게 된다. 이렇게

    공간상에 전기적인 영향이 나타나는 현상을 전계라고 한다.

    이러한 전계중에서 전하가 정지하고 있는 상태의 전계를 정전계라 한다.

  ⊙ 전하(양성자, 전자)가 정지하고 있을 때의 전계

★⊙ 전계 에너지가 최소로 되는 전하분포의 전계

​

【물질과 전계】

▣ 물질 → 분자 → 원자 → 입자

⊙ 물 → H2O → H(수소) + O(산소) - 물질의 최소 단위

⊙ 물질은 분자로 이루어져 있으며 이 분자는 다시 원자로 구성되어 있고

    원자는 다시 입자로 구성되어 있다. 이중 입자에 의하여 전기적인

    성질을 띠게 되고 입자는 다시 +성질을 띠는 양성자와 - 성질을 띠는

    음전하로 나뉘게 된다.

▣ 전하의 전기량 : ± 1.602 × 10-19 [C]

※ 전자가 원자핵 즉 양성자와 가까이 있게 되면 전자와 양성자간 작용하는 전기적 힘이

   세므로 전자는 양성자에 구속되기 쉽고 만약 전자가 양성자와 멀리 떨어진 경우에는

   전자와 양성자간 전기적 힘이 상대적으로 작으므로 이 전자에 약간의 외부적인 힘을

   가하면 전자가 양성자의 구속에서 벗어나 궤도를 이탈하는 경우가 있다. 이를 자유전자

   라고 하며 이 자유전자의 이동이 전류의 흐름으로 나타난다. 구리와 같은 도체는 이런

   자유전자의 흐름이 양호한 물질이다.

가. 대전, 대전체, 전하량

▣ 대전 : 중성물체가 전하의 이동으로 전기를 띠는 현상

▣ 대전체 : 전기를 띠는 물체

   ⊙ A 물체의 전기량 : +1.602 × 10-19 [C] × 3개

   ⊙ B 물체의 전기량 : -1.602 × 10-19 [C] × 3개

     ⇒ 전기량 : 전하량 (Q [C])

 ※ +성질의 띠는 양전하와 -성질을 띠는 음전하의 전기량은 동일하다.

    특정물질에서 양전하의 수와 음전하의 수가 동일하다면 이 물질은

    동일한 +전기량과 -전기량을 갖게 되므로 전기적으로 중성이 되며

    자유전자가 이동하여 양전하와 음전하의 수가 달라지면 + 혹은 -의

    전기적 성질을 띠게 된다. 이를 대전되었다고 한다.

​

나. 정전유도 현상

▣ 정전유도 현상

   ⊙ 중성물체 A에 대전체 B를 접근시키게 되면 A에 B와 가까운 쪽은 반대극성의 전하가

       먼쪽은 같은 극성의 전하가 나타나는 현상

   ⊙ 이는 +성질을 띠는 양전하와 양성전하는 서로 밀어내는(반발력)이 작용하고 +성질을 띠는

       양전하와 -성질을 띠는 음전하는 각각 당기는 힘(흡인력)이 작용하여 +성질이 띠는 대전체를

       중성물질에 가까이 하면 양전하는 밀어내고 음전하는 당기게 되어 대전체에 가까운 곳은

       음전하가 몰리게 되고 대전체에서 먼 곳은 양전하가 몰리게 되어 중성물질의 표면에

       전기적 성질을 띠는 대전현상이 발생하게 된다.

​

다. 쿨룽의 법칙

  ▣ 쿨룽의 법칙

    ⊙ 정지된 두 전하 사이에 작용하는 힘에 관한 법칙

     ⇒ 정지된 두 전하 : 정전하, 힘 : 벡터 : ① 크기, ② 방향

【쿨룽의 법칙】

  ① 힘 : 두 전하의 크기에 비례

  ② 힘은 두 전하 사이의 거리의 제곱에 반비례

【유전율】

   ε : 유전율 [F/m], 전하를 유도하는 능력

   εo : 진공 또는 공기중의 유전율 εo = 8.855 × 10-12 [F/m]

   εs : 비유전율(비교) : 공기의 유전율을 기준으로 다른 물질의 유전율을 비교한 값

【힘의 크기】

【방향】

▣ 같은 극성 : 반발력 다른 극성 : 흡인력

   [결과] 두 전하에 작용하는 힘의 방향은 두 전하를 연결하는 직선과 일치

​

[예제1] Q1= 4 ×10-6, Q2 = 2×10-6, Q3 = 5 × 10-6 의 3개의 구전하가

진공중에 일직선으로 놓여 있을 때 B구에 작용하는 힘은 [N]은 ?

[예제] 한변의 길이가 2[m]가 되는 정삼각형의 3정점 A, B, C에 10-4의 전하가 있다.

        점 B에 작용하는 힘[N]은 ?

​

【 벡터의 정의, 표현 】

1. 벡터와 스칼라

​

가. 물리량을 나타내는 방법

  ⊙ 스칼라 : 크기만으로 양을 표현하는 것 (길이, 무게, 속력 등)

             ※ 스칼라 값은 단위로 쓰이는 물리량을 나나태는 경우가 많다.

  ⊙ 벡터 : 크기와 방향으로 양을 표현하는 것.

            ※ 대부분의 물리량은 크기와 방향을 갖고 있다.

               일반적인 물리량은 벡터라고 보면 된다.

​

나. 벡터의 표현 : 화살표로 표현 (→)

  ▣ 벡터는 시점에서 종점을 잇는 직선으로 표시하며 시점에서 종점으로

      방향을 나타내는 화살표로 표시하게 된다. 벡터는 크기와 방향을 갖고 있으므로

      벡터의 크기는 직선의 길이로 나타내며 방향을 화살표 방향으로 표기하게 된다.

      방향을 기준방향을 기준으로 편각을 이용하여 표기하기도 한다.

다. 직각 좌표 (공간좌표)

▣ 공간상에서 임의의 한점을 표현

  ※ 직각 좌표계는 공간상의 위치나 방향 등을 수치로 표시하여

     이를 합산하거나 연산을 할 수 있도록 하는 중요한 개념이다.

▣ x, y, z 축을 이용

① 좌표점을 이용하는 방법

② 수식화하는 방법

​

1) 좌표점을 이용하는 방법

▣ 벡터의 표현 : (종점좌표) - (시점좌표)

⊙ 벡터의 표현 (3, 4, 5) -(0, 0, 0) = (3, 4, 5)

   ex : A점 (1,2,1), B점 (3,4,5)일 때 A점에서 B점으로 향하는 벡터의 표현은 ?

   (3,4,5) - (1,2,1) = (2, 2, 4)

 ※ 위에서 말한 바와 같이 좌표점을 이용하게 되면 벡터의 값 즉, 크기와 방향을

    수치화할 수 있고 이는 벡터와 방향을 모두 수식에 의해 연산할 수 있다는

    장점이 있다.

​

2. 수식화하는 방법

가. 단위 벡터

▣ 단위벡터 : 크기는 "1"이면서 방향만을 나타내는 벡터

                  벡터를 표현하는 방법

   ※ 단위는 "1"을 나타내며 벡터 뿐만 아니라 다른 물리량을 나타낼 때도

      단위는 각각의 물리량을 비교하기 위한 척도이며 각각의 물리량을

      나타내는 기본이 된다.

[단위벡터의 정의]

   ① 크기가 "1"이면서 방향만을 나타내는 벡터

   ② 표현하는 방법 : ao, bo, co....

나. 기본벡터

① 정의 : 각 축(x, y, z)상에 존재하는 단위 벡터

기본벡터 표현방법 : i, j , k

​

[기본벡터 정리]

▣ 정의 : 각 축상에 (x,y,z)에 존재하는 단위벡터

▣ 기호 : i(x축), j(y축), k(z축)

▣ 기본벡터도 단위벡터에 포함이 된다.

▣ 기본벡터도 좌표점으로 표현이 가능한다.

     i(1,0,0), j(0,1,0), k(0,0,1)

​

3. 벡터를 수식화하는 방법

① 벡터의 표현

② 벡터의 크기

ex : 좌표점이 (2,5,6)인 벡터 (A)의 표현, 크기 및 단위벡터는 ?

4. 벡터의 계산

​

가. 가감법

① 대수학적 방법 : 수식적으로 계산한다.

⇒ 같은 성분들 끼리 가감한다.

예제 ex : A벡터와 B벡터의 합과 차는?

나. 기하학적 방법 (도형으로 구하는 방법)

ex : 두변의 크기가 같고 편각 Θ=60˚ 인 경우

 ▣ 두 벡터가 있고 이들 사이에 사잇각을 알게 되면 두 벡터의 합은 cos법칙에 의하여

     계산할 수가 있다.  

  ⊙ 특수각은 sin, cos 값이 실수로 나타나는 값으로 30˚, 45˚, 60˚ 등을 말한다.  

▣ 두변의 크기(길이)가 같고 이루는 각도가 120˚ 인 경우

다. 뺄셈 (차감)

​

▣ A-B의 경우 ⇒ A+(-B), "-" 는 방향

⊙ B → A, B에서 A로 향하는 벡터

 ※ 벡터의 뺄셈은 빼고자 하는 벡터의 반대 부호값과 뺄 대상 벡터의 합으로 구할 수 있다.

    벡터는 평행이동하여도 그 값이 변하지 않으므로 결국 벡터의 뺄셈은 빼고자 하는

    벡터의 종점에서 빼는 대상 벡터의 종점을 잇는 선으로 표기할 수 있다.

▣ B-A의 경우 ⇒ B+(-A)

⊙ A → B, A에서 B로 향하는 벡터

​

【벡터의 연산, 내적, 외적 】

1. 벡터의 곱셈 (내적)

​▣ 벡터 곱의 결과

 ⊙ 스칼라 (크기) ⇒ 내적

   - 벡터를 내적을 하게 되면 그 값은 스칼라 값으로 나타난다.

 ⊙ 벡터 (크기+방향) ⇒ 외적

   - 벡터를 외적하게 되면 그 값은 벡터값으로 표현된다. 

​

가. 벡터의 내적

1) Dot 곱 (표현), 스칼라곱 (결과) ⇒ 크기

2) 벡터 · 벡터 = 스칼라

나. 기본벡터의 내적

 ▣ 각 축(x,y,z) 상의 단위 벡터 i(x), j(y), k(z)

▣ 내적은 같은 성분끼리의 내적은 성립

▣ 다른 성분과의 내적은 성립하지 않는다.

    ※ 결과값에 i, j, k가 붙지 않는다.

        크기만 있고 방향성분은 없다. 결과값은 스칼라값이다.

​

다. 벡터의 내적 계산

라. 두벡터가 이루는 각도 계산 (무조건 벡터 내적)

ex : 벡터 A = -7 i - j 이고 벡터 B = -3i - 4j 일 때 두 벡터가 이루는 각도는 ?

라. 두 벡터의 수직조건 : 벡터 내적의 결과가 "0"이 되는 조건

【 암페어의 오른 나사 법칙과 벡터의 외적 】

1. 암페어 오른 나사 법칙

▣ 전류( I )에 대한 자속( φ )의 방향 결정

 ※ 도체에 전류가 흐르면 그 주위에는 회전하는 자계가 형성하게 되는데

    이 때 전류의 흐름과 자계의 방향을 확인하는 방법으로 암페어의 오른 나사의 법칙을

    사용한다.

▣ 전류( I ) ∝ 자속( φ ) ⇒ 비례 관계

【 자석에 의한 자속 】

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【 원형코일 전류와 자속 】

▣ 전자석 : 철심 + 코일 = 자극에서의 자속 방향

2. 벡터의 외적

▣ Cross 곱 또는 벡터곱

⊙ 표현 : X, 결과 (벡터곱) : 크기와 방향

⊙ A · B ⇒ 스칼라 (크기)

⊙ A × B ⇒ 벡터 (크기 + 방향)

※ 벡터 × 벡터 = 벡터

2) 크기 : 두벡터를 두변으로 하는 평행사변형 면적

3) 방향 : A에서 B로 오른 나사를 돌릴 때 나사의 진행방향

[방향]

① A × B : A에서 B로 오른 나사를 돌리는 방향

② 면적 : 두벡터가 이루는 평행사변형의 면적

가. 기본벡터의 외적

▣ 각 축 (x, y, z) 상의 단위 벡터 ⇒ i, j, k

【 기본벡터의 외적 정리 】

① 같은 성분 끼리의 외적은 불성립 ×

② 다른 성분 끼리의 외적은 성립 O

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나. 두 벡터의 외적

예제)

예제 2 : A=10i-10j+5k, B = 4i-2j+5k가 어떤 삼각형의 두변을 표시하는 벡터이다.

이 삼각형의 면적은 ?