벡터의 정의, 표현, 가감연산, 내적, 외적

【 벡터의 정의, 표현 】

1. 벡터와 스칼라

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가. 물리량을 나타내는 방법

  ⊙ 스칼라 : 크기만으로 양을 표현하는 것 (길이, 무게, 속력 등)

             ※ 스칼라 값은 단위로 쓰이는 물리량을 나나태는 경우가 많다.

  ⊙ 벡터 : 크기와 방향으로 양을 표현하는 것.

            ※ 대부분의 물리량은 크기와 방향을 갖고 있다.

               일반적인 물리량은 벡터라고 보면 된다.

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나. 벡터의 표현 : 화살표로 표현 (→)

벡터의 개념

  ▣ 벡터는 시점에서 종점을 잇는 직선으로 표시하며 시점에서 종점으로

      방향을 나타내는 화살표로 표시하게 된다. 벡터는 크기와 방향을 갖고 있으므로

      벡터의 크기는 직선의 길이로 나타내며 방향을 화살표 방향으로 표기하게 된다.

      방향을 기준방향을 기준으로 편각을 이용하여 표기하기도 한다.

 

다. 직각 좌표 (공간좌표)

 

▣ 공간상에서 임의의 한점을 표현

  ※ 직각 좌표계는 공간상의 위치나 방향 등을 수치로 표시하여

     이를 합산하거나 연산을 할 수 있도록 하는 중요한 개념이다.

▣ x, y, z 축을 이용

직각좌표

① 좌표점을 이용하는 방법

② 수식화하는 방법

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1) 좌표점을 이용하는 방법

▣ 벡터의 표현 : (종점좌표) - (시점좌표)

⊙ 벡터의 표현 (3, 4, 5) -(0, 0, 0) = (3, 4, 5)

   ex : A점 (1,2,1), B점 (3,4,5)일 때 A점에서 B점으로 향하는 벡터의 표현은 ?

   (3,4,5) - (1,2,1) = (2, 2, 4)

 ※ 위에서 말한 바와 같이 좌표점을 이용하게 되면 벡터의 값 즉, 크기와 방향을

    수치화할 수 있고 이는 벡터와 방향을 모두 수식에 의해 연산할 수 있다는

    장점이 있다.

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2. 수식화하는 방법

가. 단위 벡터

▣ 단위벡터 : 크기는 "1"이면서 방향만을 나타내는 벡터

                  벡터를 표현하는 방법

   ※ 단위는 "1"을 나타내며 벡터 뿐만 아니라 다른 물리량을 나타낼 때도

      단위는 각각의 물리량을 비교하기 위한 척도이며 각각의 물리량을

      나타내는 기본이 된다.

[단위벡터의 정의]

   ① 크기가 "1"이면서 방향만을 나타내는 벡터

   ② 표현하는 방법 : ao, bo, co....

나. 기본벡터

① 정의 : 각 축(x, y, z)상에 존재하는 단위 벡터

기본벡터 표현방법 : i, j , k

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[기본벡터 정리]

▣ 정의 : 각 축상에 (x,y,z)에 존재하는 단위벡터

▣ 기호 : i(x축), j(y축), k(z축)

▣ 기본벡터도 단위벡터에 포함이 된다.

▣ 기본벡터도 좌표점으로 표현이 가능한다.

     i(1,0,0), j(0,1,0), k(0,0,1)

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3. 벡터를 수식화하는 방법

① 벡터의 표현

② 벡터의 크기

ex : 좌표점이 (2,5,6)인 벡터 (A)의 표현, 크기 및 단위벡터는 ?

4. 벡터의 계산

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가. 가감법

① 대수학적 방법 : 수식적으로 계산한다.

⇒ 같은 성분들 끼리 가감한다.

예제 ex : A벡터와 B벡터의 합과 차는?

나. 기하학적 방법 (도형으로 구하는 방법)

ex : 두변의 크기가 같고 편각 Θ=60˚ 인 경우

 ▣ 두 벡터가 있고 이들 사이에 사잇각을 알게 되면 두 벡터의 합은 cos법칙에 의하여

     계산할 수가 있다.  

  ⊙ 특수각은 sin, cos 값이 실수로 나타나는 값으로 30˚, 45˚, 60˚ 등을 말한다.  

 

▣ 두변의 크기(길이)가 같고 이루는 각도가 120˚ 인 경우

다. 뺄셈 (차감)

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▣ A-B의 경우 ⇒ A+(-B), "-" 는 방향

⊙ B → A, B에서 A로 향하는 벡터

 ※ 벡터의 뺄셈은 빼고자 하는 벡터의 반대 부호값과 뺄 대상 벡터의 합으로 구할 수 있다.

    벡터는 평행이동하여도 그 값이 변하지 않으므로 결국 벡터의 뺄셈은 빼고자 하는

    벡터의 종점에서 빼는 대상 벡터의 종점을 잇는 선으로 표기할 수 있다.

 

▣ B-A의 경우 ⇒ B+(-A)

⊙ A → B, A에서 B로 향하는 벡터

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【벡터의 연산, 내적, 외적 】

1. 벡터의 곱셈 (내적)

​▣ 벡터 곱의 결과

 ⊙ 스칼라 (크기) ⇒ 내적

   - 벡터를 내적을 하게 되면 그 값은 스칼라 값으로 나타난다.

 ⊙ 벡터 (크기+방향) ⇒ 외적

   - 벡터를 외적하게 되면 그 값은 벡터값으로 표현된다. 

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가. 벡터의 내적

1) Dot 곱 (표현), 스칼라곱 (결과) ⇒ 크기

2) 벡터 · 벡터 = 스칼라

나. 기본벡터의 내적

 ▣ 각 축(x,y,z) 상의 단위 벡터 i(x), j(y), k(z)

▣ 내적은 같은 성분끼리의 내적은 성립

▣ 다른 성분과의 내적은 성립하지 않는다.

    ※ 결과값에 i, j, k가 붙지 않는다.

        크기만 있고 방향성분은 없다. 결과값은 스칼라값이다.

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다. 벡터의 내적 계산

라. 두벡터가 이루는 각도 계산 (무조건 벡터 내적)

ex : 벡터 A = -7 i - j 이고 벡터 B = -3i - 4j 일 때 두 벡터가 이루는 각도는 ?

라. 두 벡터의 수직조건 : 벡터 내적의 결과가 "0"이 되는 조건

【 암페어의 오른 나사 법칙과 벡터의 외적 】

1. 암페어 오른 나사 법칙

▣ 전류( I )에 대한 자속( φ )의 방향 결정

 ※ 도체에 전류가 흐르면 그 주위에는 회전하는 자계가 형성하게 되는데

    이 때 전류의 흐름과 자계의 방향을 확인하는 방법으로 암페어의 오른 나사의 법칙을

    사용한다.

▣ 전류( I ) ∝ 자속( φ ) ⇒ 비례 관계

【 자석에 의한 자속 】

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【 원형코일 전류와 자속 】

▣ 전자석 : 철심 + 코일 = 자극에서의 자속 방향

2. 벡터의 외적

▣ Cross 곱 또는 벡터곱

⊙ 표현 : X, 결과 (벡터곱) : 크기와 방향

⊙ A · B ⇒ 스칼라 (크기)

⊙ A × B ⇒ 벡터 (크기 + 방향)

※ 벡터 × 벡터 = 벡터

2) 크기 : 두벡터를 두변으로 하는 평행사변형 면적

3) 방향 : A에서 B로 오른 나사를 돌릴 때 나사의 진행방향

[방향]

① A × B : A에서 B로 오른 나사를 돌리는 방향

② 면적 : 두벡터가 이루는 평행사변형의 면적

가. 기본벡터의 외적

▣ 각 축 (x, y, z) 상의 단위 벡터 ⇒ i, j, k

【 기본벡터의 외적 정리 】

① 같은 성분 끼리의 외적은 불성립 ×

② 다른 성분 끼리의 외적은 성립 O

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나. 두 벡터의 외적

예제)

예제 2 : A=10i-10j+5k, B = 4i-2j+5k가 어떤 삼각형의 두변을 표시하는 벡터이다.

이 삼각형의 면적은 ?