아낌없이 주는 나무

1. 운동량 (Momentum)

운동량은 영어로 Momentum 이라고 한다.

운동량은 선형 운동량과 각 운동량으로 나뉘는데 선형 운동량은 Linear momentum이라 하고 각 운동량은 Angluar momentum이라고 한다.

여기서는 선형 운동량에 대해서만 다룬다.

선형 운동량은 물체의 속도와 질량의 곱으로 나타낸다. 이 때 운동량은 벡터량이다.

위 식에서 속도가 벡터량이기 때문에 질량과 속도의 곱인 운동량도 벡터가 된다.

선형 운동량은 단순하다.

질량 10 ㎏의 물체가 5 [m/s]의 속도로 날아 가고 있다면 10 ㎏ × 5 m/s = 50 [㎏·m/s]의

운동량을 갖게 된다. 운동량은 벡터량 이기 때문에 방향이 중요하다. 오른쪽 방향으로의 운동량을 (+)로 잡으면 왼쪽 방향으로의 운동량은 (-)로 표시하게 된다.

​

2. 충격량 (Impulse)

​

충격량은 영어로 Impulse라고 한다.

충격량은 물체에 얼마 만큼의 힘이 얼마나 오랫동안 가해졌는가를 나타내는 벡터량이다.​

충격량은 기호로 I 를 쓰고 벡터량이다. 충격량은 힘을 시간에 대하여 적분한 것이다.

충격량의 단위는 힘 [N]과 시간 [sec]의 곱으로 나타낸다.

위 그래프에서 힘과 시간의 곡선 아래의 면적이 충격량, 역적(力積)이라고 한다.

여기서 역적은 힘의 적분을 말한다.

​

3. 운동량과 충격량

​

운동량과 충격량의 관계는 "물체에 가해진 충격량 만큼 물체의 운동량이 변한다"라고

할 수 있다.

위 그림에서 왼쪽 그림은 벽면이 물체에 가한 충격량은 10 ㎏의 물체가 5 m/s 로 움직이다 멈추었기에 50 ㎏·m/s 가 되고 오른쪽 그림은 5 m/s로 부딪히고 다시 5 m/s로 튕겨져 나갔으므로 벽면이 물체에 가한 충격량은 50 + 50 = 100 ㎏·m/s 로 나타나고 충격량의 단위는 [N/s]로 나타낸다.

​

4. 운동량과 충격량의 관계

​

운동량과 충격량은 벡터값이기 때문에 다음 그림과 같이 2차원상에서 알아 보자.

P1의 운동량을 가지고 이동하는 물체가 이동을 하고 있는데 어느 순간 충격을 받아서 P2의 운동량을 갖게 되는 경우, 운동량과 충격량의 관계를 이용하여 충격량을 구할 수 있다.

물체가 받은 충격량 만큼 운동량이 충격량이 되므로 운동량의 변화량이 곧 충격량이 된다.

즉, 운동량의 차이를 이용하여 운동량을 변화시킨 충격량을 구할 수 있게 된다.

위 그림은 운동량과 충격량의 관계를 나타내 주는데 똑같은 높이에서 달걀을 떨어 뜨렸는데 스펀지에 떨어진 계란은 깨지지 않고 딱딱한 물체에 떨어진 계란은 깨지는 것을 보여준다. 왜 그럴까 ? 계란이 떨어지면 운동량이 "0"이 되는데 운동량이 모두 충격량으로 변하게 되는데 이 때 충격량으로 변하는 시간이 다르기 때문에 스펀지에 떨어진 경우 충격이 가해지는 시간이 길어 물체에 가해지는 힘의 크기가 작아지기 때문이다.

야구에서 공을 짧게 끊어 치면 충격량이 가해지는 시간이 짧아져 운동량에 변화를 많이 줄 수가 없어 공이 멀리가지 않고 밀어치게 되면 충격량이 많아져서 운동량 변화를 많이 줄 수가 있어 공이 멀리가게 되는 원리를 설명해 주고 있다.​

물체가 어떤 충격량을 받게 되면 그 받은 충격량 만큼 운동량이 변하게 된다고 할 수 있다.

​

#운동량 #충격량 #모멘텀 #임펄스 #momentum #Impulse #벡터 #적분

1. 운동량 (Momentum)

운동량은 영어로 Momentum 이라고 한다.

운동량은 선형 운동량과 각 운동량으로 나뉘는데 선형 운동량은 Linear momentum이라 하고

각 운동량은 Angluar momentum이라고 한다.

여기서는 선형 운동량에 대해서만 다룬다.

선형 운동량은 물체의 속도와 질량의 곱으로 나타낸다. 이 때 운동량은 벡터량이다.​

위 식에서 속도가 벡터량이기 때문에 질량과 속도의 곱인 운동량도 벡터가 된다.

선형 운동량은 단순하다.

질량 10 ㎏의 물체가 5 [m/s]의 속도로 날아 가고 있으며 10 ㎏ × 5 m/s = 50 [㎏·m/s]의

운동량을 갖게 된다. 운동량은 벡터량 이기 때문에 방향이 중요하다. 오른쪽 방향을 (+)로

잡으면 왼쪽 방향은 (-)로 표시하게 된다.

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2. 충격량 (Impulse)

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충격량은 영어로 Impulse라고 한다.

충격량은 물체에 얼마 만큼의 힘이 얼마나 오랫동안 가해졌는가를 나타내는 벡터량이다.​

충격량은 기호로 I 를 쓰고 벡터량이다. 충격량은 힘을 시간에 대하여 적분한 것이다.

충격량의 단위는 힘 [N]과 시간 [sec]의 곱으로 나타낸다.

위 그래프에서 힘과 시간의 곡선 아래의 면적이 충격량, 역적이라고 한다.

여기서 역적은 힘의 적분을 말한다.

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3. 운동량과 충격량

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운동량과 충격량의 관계는 "물체에 가해진 충격량 만큼 물체의 운동량이 변한다"라고

할 수 있다.

위 그림에서 왼쪽 그림은 벽면이 물체게 가한 충격량은 10 ㎏의 물체가 5 m/s 로 움직이다 멈춰 섰기에 50 ㎏·m/s 가 되고 오른쪽 그림은 5 m/s로 부딪히고 다시 5 m/s로 튕겨져 나갔으므로 벽면이 물체에 가한 충격량은 50 + 50 = 100 ㎏·m/s 로 나타나고 충격량의 단위는 [N/s]로 나타낸다.

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4. 운동량과 충격량의 관계

​

운동량과 충격량은 벡터값이기 때문에 다음 그림과 같이 2차원상에서 알아 보자.

P1의 운동량을 가지고 이동하는 물체가 이동을 하고 있는데 어느 순간 충격을 받아서 P2의 운동량을 갖게 되는 경우,

운동량과 충격량의 관계를 이용하여 충격량을 구할 수 있다.

물체가 받은 충격량 만큼 운동량이 충격량이 되므로 운동량의 변화량이 곧 충격량이 된다.

즉, 운동량의 차이를 이용하여 운동량을 변화시킨 충격량을 구할 수 있게 된다.

위 그림은 운동량과 충격량의 관계를 나타내 주는데 똑같은 높이에서 달걀을 떨어 뜨렸는데 스펀지에 떨어진 계란은 깨지지 않고 딱딱한 물체에 떨어진 계란은 깨지는 것을 보여준다. 왜 그럴까 ? 계란이 떨어지면 운동량이 "0"이 되는데 운동량이 모두 충격량으로 변하게 되는데 이 때 충격량으로 변하는 시간이 다르기 때문에 스펀지에 떨어진 경우 충격이 가해지는 시간이 길어 물체에 가해지는 힘의 크기가 작아지기 때문이다.

야구에서 공을 짧에 끊어 치면 충격량을 가해지는 시간이 짧아져 운동량에 변화를 많이 줄 수가 없어 공이 멀리가지 않고 밀어치게 되면 충격량이 많아져서 운동량 변화를 많이 줄 수가 있어 공이 멀리가게 되는 원리를 설명해 주고 있다.​

물체가 어떤 충격량을 받게 되면 그 받은 충격량 만큼 운동량이 변하게 된다고 할 수 있다.

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#운동량 #충격량 #모멘텀 #임펄스 #momentum #Impulse #벡터 #적분

정수력을 적용하기 위해서는 작용점을 알아야 한다.

작용점을 알기 위해서는 정수압이 최종적으로 작용하는 면의 특성을 알아야 한다.

정수력이 작용하는 면이 곡면, 평면, 기타 면이냐에 따라 정수력의 작용이 달라지게 된다.

위 그림은 2차적인 면에 따라 기하학적 도형의 특징을 보여준다.

삼각형을 보면 밑변의 길이가 "b"이고 높이가 'h'이다. 이 삼각형의 도심은 밑변에서 높이

방향으로 1/3 지점에 있다는 것을 알 수 있다. 각각의 도형의 특징은 면적, 도심 등이 있다.

​

Centroid (도심), Center of Gravity (무게 중심)

​

위 그림과 같이 같은 굵기의 무게가 일정한 봉을 그림과 같이 한쪽에 치워쳐 끈으로 묶어

들게 되면 끈을 중심으로 긴쪽으로 기울고 또한 시계방향으로 회전하게 된다.

이는 긴 쪽에 무게가 더 나가고 큰 모멘트가 작용하기 때문이다.

​

반매 막대의 정중앙에 끈을 매달아 들게 되면 막대는 평형을 이루게 될 것이다.

이는 끈을 중심으로 좌우의 무게가 같고 모멘트도 상호 정반대방향으로 크기가 같기 때문에 서로 상쇄되기 때문이다. 이 때 끈으로 묶은 지점을 도심 또는 무게 중심이라고 한다.

​

위 그림은 특정한 형상을 갖는 물체의 도심을 찾는 과정을 나타낸다. 위와같은 형상을 갖는

물체의 도심을 찾아 끈으로 매단다고 한다면 위 그림의 물체는 평형을 이루게 될 것이다.

도심을 찾아 매달았을 때 균형을 이루려면 위 물체는 모든 면에서 밀도가 균일하여야 한다.

또한 매달기 위해서 위 형태의 미소면적의 하중의 합과 같은 힘으로 매달아야 한다.

​

도심과 무게중심의 차이에 대해 알아 보자

​

위 그림은 막대에 밀도가 다른 무거운 물질을 붙인 후 도심부분에 끈으로 묶어서 들었다.

그러면 위 그림에서 보는 바와 같이 끈을 중심으로 좌우의 무게가 동일하지 않으므로

무거운 쪽으로 막대는 기울고 또한 시계방향으로 움직이게 될 것이다.

이와 같이 위 그림에서는 가운데 점이 도심이기는 하지만 무게 중심은 아니게 된다.

도심과 무게중심은 같을 수도 있고 다를 수도 있다. 도심과 무게 중심이 같으려면

그 물체를 구성하는 물질이 균질하여야 한다. 즉 단위면적당, 단위길이당 질량이 일정해야

한다.

​

​

물체를 구성하는 물질이 균질하지 않은 경우 무게 중심은 무거운 쪽으로 이동시키면 된다.

무게 중심에서는 좌우 힘의 평형을 이루게 된다. 또한 무게 중심에서는 모멘트가 같아지게

되므로 물체는 균형을 이루게 된다.

정리하면 도심은 면적, 길이와 같은 1차 모멘트의 중심을 말한다.

반면 무게 중심은 질량을 중심으로 한 1차 모멘트의 중심을 말한다.

여기서 1차 모멘트는 (힘, 거리) 곱하기 중심으로 부터의 거리를 말한다.

​

위 그림을 보면서 일반적인 형태의 도형의 도심과 무게 중심을 찾는 과정을 알아 보자.

수식상으로 무게 중심을 구하는 식은 선을 기준으로 무게 중심을 구하기 때문에 체적의 무

게 중심을 구하기 위해서는 체적을 면적으로 면적을 선으로 변환하는 과정이 필요하다.

따라서 체적을 미분하면 면으로 면을 미분하면 선이 되는데 x축을 기준으로 하는 모멘트와

x축을 기준으로 하는 모멘트로 구분하기 때문에 시작을 면을 기준으로 하므로 한번 미분을

하여 선을 기준으로 하는 모멘트를 구하고 이를 적분하여 전체의 모멘트를 구하게 된다.

위 그림의 오른쪽 그림을 보면 직사각형의 판이 놓여져 있다. 직사각형 판의 두께를 t라고

하고 길이 수평방향을 x축, 높이 방향을 y축이라고 하자. 이 직사각형 단면 모양에 도심의

위치를 yc 라고 하자. 물론 x축 방향의 도심의 위치도 같은 방법으로 찾을 수 있다. 왼쪽

그림은 이 직사각형 판을 x,y축의 관점에서 본 것이다. 즉, 위에서 바라 본 모양이다.

따라서 위 쪽 방향은 z축이 된다. x축의 길이는 "b"이고 y축 방향으로 yc만큼의 거리에

도심이 있다고 하자. 그러면 도심을 식으로 정의할 수 있다. 위와 같이 균일한 물질로 되어

있는 경우에는 도심과 무게 중심이 같게 된다. 무게 중심은 x축을 중심으로 이 판에 작용하

는 모든 힘들을, 힘에 의한 모멘트의 중심이라고 하였다. 무게 중심은 x축을 중심으로 이 판

에 작용하는 모든 힘들을, 힘에 의한 모멘트를 상쇄할 수 있는 어떤 힘이 작용하되, 그 힘이

작용하는 위치가 바로 도심의 위치 yc라고 할 수 있다. Y방향의 단위면적을 생각해 보자.

x축 방향으로는 폭이 일정하니까 y축 방향의 작은 폭을 갖는 조각을 dy라고 하자. 그럼,

이 dy라고 하는 조각에 중력에 의하여 가해지는 힘, 만약 아래쪽(지면)으로 가해진다고

하면 작은 조각에 작용하는 힘을 dF라고 하면 dF = γ tbdy라고 할 수 있다. 중력은 비중력

× 체적이기 때문이다. 여기서, γ는 단위중량(비중량), t는 무게, b는 x축 길이이고, dy는 미

소 y축 길이가 된다. 따라서 γtbdy가 이 미소조각에 작용하는 중력의 힘이라고 할 수 있다.

이 미소면적에 작용하는 힘을 모두 더하면 이 판에 작용하는 힘 F가 될 것이다. 그런데

"0"점을 기준으로 미소요소까지의 거리는 y축에 따라 변하게 된다. y축에 따라 dF라는 힘

에 의해서 작용하는 모멘트의 총합이 그 판재의 전체 무게인 F를 판재 위에 어딘가에 작용

해서 반대방향의 모멘트를 작용하면서 평형을 이룰 수 있다면 그것이 바로 단면 1차 모멘

트 중심 즉 도심이 될 것이다. 즉, 전체 힘은 γtbh가 될 것이고 이 힘에 여기에다가 우리가

구할려고 하는 모멘트의 중심 yc를 곱하면 모멘트가 될 것이다. 모멘트는 힘 × 거리(중심에

서 거리)라고 하였다. 이것이 무엇과 같을 까 ? 각 미소요소에 작용하는 힘 dF에 거기까지

의 거리 y를 곱한 모멘트 즉, ydF를 y방향으로 적분해 준 것과 같아지게 되고 이 것이 결국

힘 모멘트의 평형 중심이 된다. 위 식을 적분을 하면 yc = h/2이 된다.

​

앞서 폭이 일정할 때에는 무게 중심을 구하는 것이 단순하였는데 위 그림과 같이 폭이 변화

하는 경우는 좀 복잡해진다. 이 때 무게 중심을 찾는 방법에 대하여 알아 보자.

이 경우 x축을 기준으로 하는 이 평면의 무게 중심을 알아 보자. 먼저 전체 면적에 받는 힘은

단위중량 × 체적이므로 F = γ tb(h/2)+ γ t2b(h/2) = γ tb(3/2h)가 된다.

이 때 x축 방향의 모멘트를 구하면 무게 중심점에 모든 중량이 걸린다고 할 수 있으므로

ycF를 통하여 구할 수 있고 위 그림의 아래식과 같다. 그런데 모양이 정형이 아닌 여러가지

모양으로 변할 때 무게 중심을 간단히 구하는 방법은 다음과 같다.

위 단면적 전체에 작용하는 힘은 γtb3/2h라는 것을 이미 알았다. 이 힘을 이용하여 각각의

분할된 면적에 작용하는 전체힘과 분할된 면적의 yc에 작용하는 모멘트를 같게 하면 그 분

할된 면적의 무게중심이 된다. 따라서 무게 중심점을 찾기 쉽게 하기 위해서는 부정형 모양

을 중심점을 찾기 쉬운 정형의 모양으로 분할하면 중심점을 찾기 쉬워진다.

이번에는 모멘트 이누시아 또는 단면 이차 모멘트에 대해 알아 보자. 앞에서 살펴 본 바와

같이 폭이 "b"이고 높이가 "h"인 직사각형이 있다고 하자. 그리고 우리가 yc라는 무게 중심

을 알고 있다고 하자. 직사각형 이니까 무게 중심이 지나는 선을 h/2의 선이 될 것이다.

이번에는 도심을 지나는 선인 h/2 선을 x축이라고 하고 직사각형의 밑변을 지나는 선을

x'라고 하자. 단면 2차 모멘트 즉 도심을 지나는 축을 기준으로 하는 2차 모멘트 Ixx는 미소

면적 dA에다가 그 축으로 부터의 거리 y의 제곱를 곱한 것을 적분한 것으로 정의한다.

또한 도심을 지나는 축이 아닌 임의의 축 즉, 위 그림에서 직사각형의 밑변을 지나는 축을

기준으로 하는 2차 모멘트는 도심을 지나는 2차 모멘트와 면적 A와 도심까지의 거리의

제곱을 곱한 것을 합한 값으로 나타낸다.

​

#모멘트 #무게중심 #질량중심 #도심 #정수력 #단위중량 #비중량 #기하학 #직사각형

#미분 #적분

1. 질량중심

▣ 질량중심 (質量中心) 은 물체 전체의 질량의 중심점으로 전체 질량이 질량 중심에 있는 것처럼 외부 계와 작용한다.

    미분질량의 위치를 질량가중치(미분질량/전체질량)를 곱하여 적분한 것이다. 중력이 균일한 경우 무게 중심과 같기

    때문에 혼용하기도 한다.  이 때 물체의 각 부분에 작용하는 중력를 합한 합력의 작용점을 무게 중심이라고 한다.

​

2. 직선에 놓인 점들의 질량 중심

아래 그림과 같이 지렛대가 놓은 받침점을 원점으로 하여 좌표 xk인 점에 질량 mk가 놓여 다고 가정하자. (k = 1,2,3)

각 질량 mk에 아래 쪽으로 중력이 작용한다. 중력가속도 g가 작용하여 원점을 중심으로 회전하려는 힘이 생긴다.

이 힘을 토크(toque)로 부르는데 크기는 gmk이고 부호는 위치 xk에 따라 결정된다. 양(+)이면 시계방향으로 음(-)이면

반시계 방향으로 회전하는 힘이 작용한다. 토크를 모두 더한 값이 시스템 토크다.  (참고 토크 τ는 변위 벡터 r과 힘 F의

외적이다. τ = r × F 이다. 따라서 편하기 다루기 위해  '+'는 반시 계방향, '-'는 시계방향인 오른손 법칙을 따라 방향을 정한다)

시스템 토크가 0이면 어느 쪽으로도 기울지 않는다. 시스템은 균형을 이룬다. 시스템 토크를 다시 정리하면 아래와 같다.​

여기서 중력가속도 g는 시스템의 환경에 따라 달라진다. 지구라면 중력가속도 9.8 [m/sec2) 이지만 다른 천체라도면 달라

질 것이다. 하지만 중력가속도를 제외한 m1x1+ m2x2 + m3x3는 환경에 영향이 없이 어디서든 똑같다. 이 값을 원점에

대한 모멘트 (moment of the system about the origin)이라고 하며 식으로는 다음과 같다.​

시스템이 균형을 이루는 점을 찾아 보자. 균형점 x바에 대한 토크는 질양 mk가 있는 위치 (xk-x')와 중력가속도의 곱이 토크

의 합이 0이 되어야 균형점이다.

이 식을 x바에 대한 식으로 정리하면 다음과 같다.​

위 식에서는 질량이 질량중심에 집중되어 있다면 그것의 모멘트는 전체 모멘트의 합과 같음을 의미한다. 이는 질량이

균일할 경우인데 만약 질량이 균일하지 않으면 밀도가 함수로 주어질 것이고 함수를 적용하여 계산하게 된다.

밀도 = 질량 / 길이(체적)을 말한다. 따라서 질량은 밀도 × 길이가 된다. 즉, △mk = δ(x) × △xk가 된다. 따라서 질량중심을

밀도로 나타낸 다면 다음과 같이 나타낼 수 있다.​

3. 평면에 놓인 질량중심

​

평면 위에 작용하는 질량 중심을 알아 보기 위해서는 먼저 면적을 선의 개념으로 변환하는 것이 필요하다. 면적을 선개념

으로 변환하기 위해서는 미분을 해야 하는데 여기서는 미분방법 보다는 x축, y축을 기준으로 하여 모멘트를 구하는 방식을

취한다. x축을 기준으로 한다는 말 속에는 x축을 미분하여 한 점으로 만든다는 의미와 같게 된다. 그 이유는 x축을 기준으

로 하는 모멘트 예를 들어 my1x1, my1x2, my1x3, my1x4 ··· my1xn은 모두 x축을 기준으로 하는 모멘트 같기 때문이다.

따라서 x축을 기준으로 한다고 하면 어떤 주어진 면을 y축으로 평행한 선으로 변형할 수 있게 된다. y축을 기준으로 할 때

에도 x축을 기준으로 할 때와 같다. 이를 바탕으로 면에 대한 질량 중심을 구할 수 있게 된다.

이제 면적에 대한 질량중심을 알아 보도록 하자.

평면위에 좌표 (xk,yk)인 점에 질량 mk가 놓여 있다고 하자. 즉, 이 평면은 질량이 일정한 균질의 평면이라고 하자.

이 때 이 평면의 전체 질량 M은 각각의 질량의 합이 될 것이고 x축과 y축에 대한 모멘트는 다음과 같은 식으로 표현할 수

있다.

또한 질량중심을 좌표 x바, y바라고 한다면 이는 다음 식으로 나타낼 수 있다.​

질량이 두께가 아주 얇고 평평한 판에 고르게 퍼져 있다고 가정하면 위에서 정리한 내용을 폭이 "0"에 아주 가까운 매우

가는 띠로 나누어 구하는 것으로 생각할 수 있다. 이는 x축을 미분하는 것으로 앞에서 말한 바와 같이 x축을 기준으로 하면

모멘트는 y축 방향으로 x으로 부터 떨어진 거리에 의해 영향을 받고 x축 방향으로 y축에서 떨어진 값 즉, x값에는 영향을

받지 않기 때문이다. 따라서 x축은 선전체를 한 점으로 생각해도 된다. 이제 y축에 평행한 직선으로 n등분하고 부분합을

구하고 이 부분합의 극한값을 구하는 것은 바로 정정적분으로 질량중심을 구하는 것이 된다.

위 식에서 띠의 넓이를 A라고 하고 미분면적의 질량 dm 대신에 밀도 δ가 주어진다면 질량 dm 대신에 δdA를 대입하면

된다.

​

예제 : 세 직선 y = 2x, y = 0, x = 1로 둘러 쌓인 삼각형에 밀도 δ = 3g /㎠ 로 고르게 질량이 분포되어 있다고 할 때 질량중심

          을 구하여라.

위 그림과 같이 먼저 y축과 평행하고 폭이 dx인 띠를 생각하자. 이 때의 질량중심으로 (x출결, y물결)이라고 하면 띠의 면적 A는 미분면적으로 2xds가 되고 미분면적에 대한 질량은

미분밀도와 면적의 곱이 된다. 이를 이용하여 식을 전개하면 다음과 같다.​

질량중심 y 좌표도 x좌표와 동일한 방식으로 구할 수 있다.

#무게중심 #질량중심 #밀도 #질량 #적분 #미분 #모멘트 #평면 #직선

▣ 어떤 용기에 담겨있는 물의 압력이나 고인 물의 압력을 계산하는데는 정수압에 대한 관련식이 필요하다.

물에 의한 압력이 작용하는 사례는 우리 주변에 매우 많다. 위 그림은 미국 콜로라도의 후버댐과 우리나라 소양강댐의

사진이다. 이들 댐을 설계할 때는 정수압의 계산이 필요하다.

즉, 정수력, 유체의 수심에 따라 선형적으로 변동하는 유체의 압력 계산이 필요하다.

그런데 위 그림에서 소양강댐은 댐체가 직선이고 후버댐은 곡선이다. 따라서 수압이 소양강

댐은 평면에 작용하고 후버댐은 곡면에 작용한다. 평면과 곡면에 작용하는 수압을 측정하는 방법에 대하여 알아 보자.

수압의 영향을 받는 구조물은 댐 뿐만 아니라 하천에 설치하는 교각, 가물막이 막, 방파제,

교각설치를 위한 케이슨 등 다양하다.

​

먼저, 평면에 가해지는 정수력에 대해 알아 보자.

대표적인 형태로 소양강댐에 대해 살펴보자. 위 그림의 왼쪽 그림은 소양강댐 전경사진이고

오른쪽 그림은 개념적으로 댐의 단면을 보여주고 있다. 그림에서 댐체의 단면중 공기와 닿

는 부분을 제외한 수중 부분을 보면 댐체와 물을 평면으로 닿고 있음을 알 수 있다.

그런데 평면이냐 곡면이냐에 따라 수압이 댐체에 미치는 영향이 달라진다.

​

정수력은 어떤 면에 수직적으로 작용하는 단위 면적당 힘인데 이 때 입력은 위치에 따라

달라질 수 있기 때문에 수학적으로는 dF/dA에 대하여 극한값을 취하게 된다. 그렇다면

거꾸로 어떤 면에 작용하는 힘은 어떤 면에 작용하는 압력의 미분값을 적분하면 얻을 수

있다. 그런데 어떤 면에 압력이 균일하게 작용한다면 압력 P가 상수가 될 것이다.

이런 경우 작용하는 힘은 압력상수에 면적 곱하여 산정된다.

즉 F = PA로 나타낼 수 있다.

​

앞에서 어떤 면에서 균일하게 압력이 작용한다면 그 면에 작용하는 힘은 압력 × 면적으로

산정할 수 있다고 하였다. 그런데 힘은 벡터이므로 벡터적 관계에서 살펴보자.

위 그림의 왼쪽 그림을 보면 압력이 균일하게 작용한다고 하였으므로 압력 P는 상수가 되고

작용하는 힘은 P × A 가 되는데 힘은 벡터인데 P와 A는 스칼라값이므로 물의 압력에 대응

하는 힘을 산정하려면 압력과 반대방향으로 단위 벡터 n벡터를 추가해야 한다.

오른쪽 아래 그림을 보면 비어있는 십자원은 압력중심이고 유체의 하중을 받는 압력의 중심

을 말한다. 반면 센트로이드는 도심을 의미한다. 위쪽 압력은 균일하므로 압력중심과 도심

의 위치가 같다.

​

이번에는 균일한 압력이 평면이 아닌 곡면에 작용하는 경우를 알아 보자. 위 그림을 보면

비정형인 파란색의 물체가 있다고 하자. 위와같은 물체가 대기중에 있다고 하면 물체의 상

부 쪽 빨간색 화살표 쪽으로 대기압이 작용하게 된다. 물론 위치에 따라 대기압이 다르지만

물체가 크지 않다고 한다면 모든 위치에서 대기압이 같다고 하여도 무방하다. 그러면 이 물

체에 작용하는 힘을 구한다고 한다면 힘은 -nPdA를 적분하면 된다.

그런데 n벡터는 위치에 따라 방향이 바뀌게 되므로 적분할 때 상수로 취급할 수 없게 된다.

따라서 힘을 구하기 위해서는 적분을 해서 구해야 하는데 dA =rdθ 이고 n 벡터는

icosθ + jsinθ 가 된다. 이를 적분을 하면 합이 "0"이 된다.

​

위 그림 왼쪽을 보면 풍선의 내부압력은 풍선이 커지거나 작아지지 않으므로 대기압력과

평행을 이루고 있다고 할 수 있다. 즉 대기압과 같다고 할 수 있으므로 내부 압력은 계기압

력 "0"이 된다. 또한 오른 쪽 그림은 풍선에 작용하는 힘은 풍선에 수직방향으로 균일하게

작용하게 되므로 압력 P에 풍선의 단면적을 곱한 값이 될 것이다. 풍선의 단면적은 πr2이다.

아래 그림에서 물방울의 경우 대기압력과 물방울의 표면장력과 같은 경우와 같은 예라고

할 수 있다.

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이제 본격적으로 평면에 작용하는 정수력의 크기를 산정하는 방법에 대해 알아 보자.

위 그림의 오른쪽은 소양강댐 사진이고 왼쪽 그림은 댐을 내부에서 바라본 것이라고 가정을

하면 댐체는 수직으로 서 있지 아니하고 경사면을 띠게 된다. 댐체의 면을 Y축이라고 하고

Y축과 수면이 만나는 점을 "O", 수면에서 하늘 쪽 수직방향이 "Z"이라고 하자. 또한 수면과

댐체면이 이루는 각도를 "α"라고 하자.

Y방향으로 작용하는 정수압은 위치에 따라 선형적으로 작용한다는 것을 알 수 있다.

깊이가 깊어지면 압력이 높아진다. 압력을 식으로 나타내면 압력 P = γysinθ라고 할 수 있

다. 여기서 γ 는 물의 단위 중량, 비중량이고 수심은 ysinα 가 된다. 댐체의 어떤 미소면적을

dA라고 하자. 미소면적에 작용하는 힘은 dF =PdA가 된다. 아주 작은 미소면적이므로

압력은 위치에 따라 변하지 않는다고 할 수 있으므로 압력 P'를 상수취급해도 된다.

이 때 P'를 기준으로 하중을 구하자. P'는 도심에 작용하는 압력이다. 작용하는 힘을 구하려

면 적분을 y 즉 도심까지 거리로 적분을 해야 하는데 도심에서의 압력으로 구할 수 있다.

즉, F = P'A로 구할 수 있다.

위 그림의 오른쪽 그림을 보면 노란색 선이 보이는데 이 노란색 단면이 우리가 구하고자 하

는 압력의 단면이다. 미소면적 dA이고 도심까지의 거리가 y, 도심의 압력을 P'라고 하자.

작용하는 힘은 압력 × dA를 적분하면 된다. 그런데 압력 P =γysinα라고 하였으므로

위의 식으로 정리할 수 있다. γsin θ 는 상수이므로 적분식에서 밖으로 나올 수 있으므로

결국 정리하면 F = P'A 가 된다.

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#압력 #정수압 #벡터 #곡면 #평면 #방정식 #수압 #적분 #미분 #균일압력 #선형적

#소양강댐 #후버댐 #극한값 #상수

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【 뉴톤의 냉각법칙 】

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커피온도는 몇 [℃]일 때 가장 맛이 있을까 ?

커피는 맛으로 마시는 게 아니라 멋으로 마시는 것일 수 있지만 일반적으로 70 [℃]라고

한다. 그럼 100[℃]의 커피를 맛있게 먹으려면 얼마나 기다려야 하는지 알아 보자.

뉴턴의 냉각법칙에 따르면 냉각속도 즉, 온도의 변화속도는 dT/dt는 냉각되는 물체의

온도 T와 주변의 온도 T주변온도 와의 차이에 비례한다.

이것을 식으로 나타내면 다음과 같다.​

이처럼 미분방정식이 성립된다.

이제 100 [℃]의 커피를 30[℃]의 방에 놨을 때 마시기 좋은 온도가 될 때 까지는 몇 분이나

기다려야 하는지 계산해 보자.​

T(t)를 구하기 위해 양변을 적분을 하게 되면​

위 식은 분류를 잘못했다. T는 시간에 따라 변화하는 시간 t의 함수인데

위 식에서는 우변 시간 T를 상수 취급을 하는 오류를 범했다.

온도 T와 시간 t를 따로 모아서 적분을 해야 한다.​

위 식을 적분을 해서 소요되는 시간을 계산해 낼 수 있겠다.​

분모를 미분한 것이 분자에 있으면 ln l분모l가 된다. 위식은 다음과 같이 변한다.​

정리하면 ln lT-30l = kt + C가 되니까.

이제 상수 C를 구해야 하는데 초기조건을 사용하면 된다.

처음(t=0) 커피온도가 100[℃] 즉 T(0)=100 이니까​

하지만 지금도 시간을 구하려 하니 상수 k가 있어서 조건이 하나 더 필요로 한다.

조건하나를 더 추가해 보자. 커피를 놔 두고 3분이 지났더니 커피온도가 85[℃]가

되었다고 하자. 그러면 k를 구할 수 있겠다.​

이제 커피가 70[℃]까지 식는데 소요되는 시간을 구할 수 있겠다.

커피가 100[℃]에서 70[℃]로 식는데는 약 7분 정도 소요되겠다.

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【 리비의 탄소연대 추정정】 - 방사성 물질의 붕괴

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탄소연대추정법은 물질속에 C14와 C12의 구성비를 근거로 방사성 동위원소인 C14의 반감기를 추정하여 연대를 추정하는 것이다.

생물의 경우 사체 내에 있는 C14와 C12의 구성비로 연대를 추정한다.

공기중에는 C14와 C12의 구성비율이 일정하다. 식물이건 동물이건 살아있는 동안에는 호

흡을 광합성 또는 음식물 섭취를 통하여 동일한 비율을 유지한다. 그런데 생물이 죽으면 호

흡이나 음식물 섭취가 중단되어 탄소공급이 끊긴다. 그런데 생물이 죽으면 C14 는 방사성

동위원소이니까 스스로 붕괴를 하지만 C12는 그대로 남아 있게 된다. 따라서 세월이 흐르

면 C14 대 C12의 구성비가 변하게 된다.

따라서 생물의 사체내에 존재하는 C14의 양이 공기중의 C14에 비해 몇 [%]나 감소했는

지 알게 되면 생물의 사망연대를 추정할 수가 있다.

그럼 어떤 생물의 사체에서 생존했을 때 있어야 할 C14의 양보다 20[%]밖에 남아 있지

않았다면 이 사체의 사망시점이 몇년 전인지 알아 보자.

C14 는 방사성동위원소로서 붕괴속도는 현재 질량에 비례한다. 이것을 미분방정식으로

나타내면 현재의 질량을 y라 하면 dy/dt =ky이 된다.​

양변에 적분을 해보자.

사망시점 t=0 에서 질량을 yo라고 하면 y(0)= yo 가 된다.​

비례상수 k를 구하기 위해서는 조건이 하나더 주어져야 한다.

또하나의 조건은 C14의 반감기는 5730년이다. 반감기는 질량이 반으로 줄어드는데 소요

되는 시간이므로 초기질량 yo 가 절반으로 줄어드는데 소요되는 시간이 5730년이다.

따라서 이를 아래식에 적용하여 비례상수 k를 구할 수 있다.​

이를 이용하여 C14가 당초 보다 20[%]밖에 남아 있지 않으므로 사망연대를 추정할 수

있다. 20 [%]는 1/5이므로 이를 위 수식에 적용하면 다음과 같다.​

#뉴톤 #냉각법칙 #미분방정식 #상수 #적분 #미분 #리비 #탄소연대추정 #방사성 #동위원소 #탄소 #반감기 #비례상수

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1. 미분방정식이란 ?

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미분방정식이 왜 중요한 걸까 ?

우리가 사는 세상의 모든 물체를 볼 때 물체의 변화(운동, 상태 등)에 관심을 갖기 때문이다.

물체의 변화는 움직임일 수도 있고 얼었다 녹는 상태의 변화일 수도 있고 부피나 모양의

변화일 수 있다. 이처럼 우리는 물체의 변화에 관심을 갖게 되는데 이런 물체의 변화를 나타내는 것이 미분이다.

물체의 변화 중에서 속도를 예를 들어 보자. 물체의 속도에는 3가지가 있다.

▣ 속도가 없거나

▣ 속도가 일정하거나

▣ 속가 변하거나 이 3가지가 있다.

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그런데 속도는 거리(L)를 시간(t)로 미분한 것(dℓ/dt)인 것이다.

속도를 수식으로 표현하면 미분항 (dℓ/dt)이 들어가는 미분방정식으로 표현하게 된다.

뉴턴의 운동법칙 1,2,3법칙 중에서 제1법칙이 관성의 법칙이다.

관성의 법칙도 등속도를 유지하려는 법칙이므로 속도와 관련되어 미분과 관련이 있다.

뉴턴의 제1법칙은 속도의 특수한 경우인 "0"인 경우를 제외하고 등속도에 관한 법칙이다.

뉴턴의 제1법칙을 식으로 나타내면 속도 v = k(일정)이 되며​

뉴턴의 제2법칙은 가속도에 관한 법칙이다. 이것도 미분방정식에 해당한다.

뉴턴의 가속도의 법칙도 식으로 나타내면 다음과 같다.​

이처럼 가속도도 미분방정식과 관련이 있다.

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상대성원리도 마찬가지이다. 상대성원리는 물체가 빛의 속도에 가깝게 빠르게 움직일 때

두드러지게 나타나는 현상인데 그중 특수상대성 원리란 등속도에 관한 것이고 일반상대성

원리는 가속도 운동에 관한 것이다. 이 상대성 원리도 속도와 관련된 사항이므로 미분

방정식에 해당하는 것이다.

우리가 관심을 갖고 있는 것들을 식으로 나타내면 이처럼 많은 것들이 미분방정식으로

표현되는 것들이다. 왜냐하면 우리는 변화하는 것들에 대하여 관심이 많기 때문이다.

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2. 간단한 미분방정식의 예

【 뉴톤 역학 】

① 썰매장에서 몸무게 50[kg]의 아이를 5[Newton]의 힘으로 계속하여 밀면 10초 후에는 아이는 얼마의 속도로 밀려

     나갈까 ? (얼음과의 마찰력은 없다고 가정한다)

 [풀이] 뉴턴의 제2법칙 가속도의 법칙에 의하면 가속도는 다음과 같다.​

여기서 F = 5N, 질량(아이 몸무게) = 50kg 이므로 이를 위식에 대입하면​

v(10) 을 구하기 위해서는 C를 구해야 하는데 C는 초기조건이라고 한다. 조건에서

처음상태는 아이를 밀기 전이므로 즉, 처음에 아이는 정지해 있었으므로 v(0) = 0이다.

위 식에서 시간 t = 0 일 때 속도 v = 0, v(0) = 0 을 만족해야 한다.​

② 위 조건에서 10초 후에는 처음 위치에서 얼마만큼 떨어져 있겠는가 ?

  ▣ 잘못된 풀이 : ℓ = v × t 이므로 ℓ = 1 × 10 = 10 [m] 이다.

  ▣ 올바른 풀이법 : 아이를 밀 때 계속하여 힘을 가해 주므로 가속도 운동을 하게 된다.

처음 밀 때 속도가 "0" 에서 변화를 하므로 위에서 처럼 등속도 운동으로 풀면 안된다.

속도 v(t)는 거리를 시간으로 미분한 것이다.​

거리(ℓ)을 풀기 위해서 양변을 적분을 하면 다음과 같다.​

여기서도 초기조건 C은 정지상태이므로 ℓ(0) = 0 이란 조건을 이용하여 C를 구한다. 

#미분 #적분 #미분방정식 #뉴턴 #관성법칙 #가속도 #운동법칙 #변화율 #접선 #속도