베르누이 방정식과 토리첼리의 정리

1. 베르누이 방정식

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베르누이 방정식은 에너지 보존의 법칙의 다른 표현이다. 베르누이 연속방정식은 에너지 보존의 법칙에 따라 물체가 이동하여도 그 물체가 한 일과 보유하는 에너지의 총합에는 변함이 없다는 것이다.

 

위 그림에서 어떤 관내에 흐르는 유체가 가지는 에너지의 총합은 위치가 변하고 관경의 크기가 변하여도 변함이 없다고 한다. 즉, 위 그림에서 관경이 작아지고 위치(높이)가 변해도 같은 배관 내에서 흐르는 유체가 보유하는 에너지 총합인 위치에너지, 속도에너지, 압력 등의 총합은 일정하다는 원리로 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.​

여기서, v : 유체의 유동속도

             g : 중력 가속도

             h : 높이

             P : 압력

             ρ : 유체의 밀도

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2. 토리첼리의 정리

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토리첼리의 정리는 베르누이의 연속방정식을 이용하여 일정한 규모의 수조에서 하부 측벽에 작은 구멍, 오리피스로 부터 분출되는 유체의 속도를 계산하는데 이용되는 정리라고 할 수 있으며 이는 다음 수식으로 나타낸다.​

여기서, v : 유체의 속도

             Cv : 유속계수 (보통 0.95 ~ 0.99) * 마찰계수 등

             g : 중력가속도 (9.81 m/s2)

             h : 높이

위 식이 유도되는 과정을 살펴 보면 다음과 같다.

 

위 그림에서 베르누이의 연속방정식에 의해 수조내에 있는 유체의 에너지와 측면의 작은 구멍 즉, 오리피스로 빠져 나가는 유체의 에너지의 같게 되고 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.​

그런데 어떤 물체에 작용하는 압력은 모든 방향(사방)에서 같게 되므로

P1 = P2 = Pa (대기압)이 된다.

또한 수조내에서 수면이 줄어 드는 속도 V1은 수조가 만약 오리피스 구멍보다 매우 크다면 그 속도는 매우 작아 무시해도 될 수 있다. (V1 ≒ 0)

또한 식을 간소화하기 위해 유체의 높이차 h1 - h2 = h 라고 하면 위식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.​

위 식에서 유체의 점성, 분출구에서의 마찰 손실 등을 고려하여 유출계수를 포함하여

다시 정리하면 다음 식이 된다.​

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