아낌없이 주는 나무

가우스의 법칙은 독일의 수학자 칼 프레드리히 가우스가 1867년 발표한 전기력학의 기초라고 할 수 있다. 이 법칙은 대칭성을 가진 전하분포상에서 전기장을 구하는데 아주 유용하게 쓰인다.

전기력의 세기를 구하거나 전기장을 정의할 수 있는 공식 중의 하나인 쿨룽의 법칙이 있는데 이 쿨룽의 법칙은 모든 전기력을 구하는데는 한계가 있다. 쿨룽의 법칙은 '점전하 (point charge)를 가정하여 전기력을 구한다. 그런데 현실에서는 전기력이 점전하 뿐만 아니라 다양한 형태로 존재하고 이런 전기력을 구하는데에는 쿨룽의 법칙은 한계가 있다.

일상에서는 위 그림 처럼 원형, 육각형, 사각형 등의 다양한 형태의 크기와 넓이를 가진 물건들이 많은데 크기를 고려하지 않는 쿨룽의 법칙으로는 이들의 전기력, 전기장을 계산하기가 힘들다. 이런 것들의 전기장을 구하려면 적분을 통해 이 물체의 전하분포를 엄청 잘게 잘라서 점전하급으로 잘게 나눈 후, 그 점전하들의 전기장을 합하여 계산할 수 있지만 전기장은 크기 뿐만 아니라 방향도 가지고 있어 계산이 매우 어렵게 된다.

위 식과 같이 매우 복잡한 계산을 해야 한다.

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위와 같은 복잡한 계산 식을 사용하지 않고 전기장을 쉽게 구하기 위해 나온 계산식이 바로 '가우스의 법칙'이다. 그러나 가우스의 법칙도 선, 구, 면 처럼 전하의 분포가 대칭성을 가지는 경우에만 적용이 가능하지만 적어도 대칭성을 가진 전하분포일 때 전하를 구하는 방식은 가우스 법칙하나만으로 아주 간단하게 구할 수 있다.

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가우스의 법칙은 무엇일까 ?

위 식은 가우스의 법칙을 나타낸 식이다.

이를 우리말로 표현을 하면 '임의의 폐곡면 (가우스면)을 통과하는 전기선속은 폐곡면내의 총 전하량에 비례한다'라고 할 수 있다. 이말은 어떤 의미일까 ? 상세히 알아 보자.

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1. 전기선속 (electric flux)이란 ?

위 그림처럼 넓이가 A인 사각형 단면을 전기력선이 통과하고 있다고 가정해 보자. 전기력선의 밀도는 전기장의 크기에 따라 달라지는데 그렇다면 단면 A를 지나가는 전기력선의 갯수는 E × A 에 비례한다. 이것을 '전기장 다발' 혹은 '전기력선속'으로 부르며 electric flux 라고 하며 기호로는 ф 대문자 파이 (phi)로 나타낸다.

그런데 위 그림에서 처럼 맨 앞 그림은 단면이 전기력선속과 수직으로 되어 있지만 경우에 따라서는 가운데 그림처럼 비스듬하게 놓여 있을 수도 있고 극단적으로 면이 수평으로 누워있을 수도 있다. 그렇다면 전기력선과 단면이 수직인 경우에 비해 전기력선이 단면에 통과하는 경우에 통과하는 양이 적어지므로 전기선속 Φ = EA cos θ 로 구하게 된다. 즉, 전기선속은 단면과 전기력선속이 수직일 때 제일 크고, 수평일 때 가장 작다.

그렇다면, 단면이 아닌 닫힌 곡면, 즉, 폐곡면의 경우를 살펴보자. 위 그림과 같이 구체 모양인 곡면의 정중앙에 양전하 q가 있다고 하자. 이 양전하 q가 뿜어내는 전기장에 의해 구체 표면으로 빠져 나가는 전기선속을 구하려면 곡면을 잘게 나누어서 잘게 나눈 면의 전기장을 구한 다음 각각의 전기장을 합하면 될 것이다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

위와 같이 전기장 (방향을 가진 벡터값)과 면적벡터를 폐곡면에서 모두 적분을 하면 되지만 이는 계산하기 매우 까다롭다.

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2. 점전하에 대한 가우스 법칙

그렇다면 점전하 q가 반지름이 R(=r)인 구의 중심에 잇다고 가정을 하자. 쿨룽의 법칙에 의하면 전기장의 크기는 다음과 같이 구할 수 있다.

구의 표면적은 4πr2 이므로 가우스면 (폐곡면)을 일컫는 dA = 4πr2 이 된다. 이를 식으로 표현하면 다음과 같다.

여기서 알수 있는 중요한 사실은 구체의 반지름 r이 어떻게 되든 전기선속의 값에는 아무런 영향을 주지 않는다는 것이다. 결국, 전기선속의 값은 입실론 (ε)의 값도 정해져 있으므로 가우스면 내부의 '총 전하량'에만 영향을 받는다는 것을 알 수 있다.

만약에 점전하 하나가 위 그림의 S1이라는 폐곡면의 중심에 있는데 폐곡면이 만약 구체 형태가 아닌 S2, S3와 같이 찌그러진 곡면이라고 하면 이 때 폐곡면에서 나가는 전기력선의 수가 달라질까 ? 위의 오른쪽 그림만 보아도 그렇지 않다는 것을 쉽게 알 수 있다. 결국 가우스면 이기만 하면 곡면의 반지름과는 상관없이 총 전하량에 의해서만 전기력선속이 정해진다는 것을 그림으로 알 수 있다.

결국 폐곡면이기만 하면, '임의의 폐곡면(가우스면)을 통과하는 전기선속은 폐곡면 내의 총전하량에 비례한다'는 법칙이 성립하는데 이것이 바로 전자기학에서 말하는 가우스 법칙 (Gauss's law)이다.

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※ 주의

⊙ 가우스 법칙에서 가장 오른 쪽 Q는 가우스면 내부의 알짜 전하량을 의미하나 E는 가우스면 내외부의 전체 전기장임을

     염두에 두어야 한다.

⊙ 전기선속이 "0"이면 전기장도 "0"이다. 아니다.

     가우스 법칙은 전기선속이 폐곡면 내부의 알짜 전하량에 비례한다는 것이지, 전기장이 폐곡면 내부의 알짜 전하량에

     비례한다는 것이 아니다.

가우스 법칙은 대칭성을 가진 전하 분포에 대한 전기장을 계산할 때 아주 유용하게 쓰이는데 이를 구하려면 가우스 법칙만으로는 계산이 어렵고 대칭성을 이루는 형태 (구, 원통, 평면 등)에 대한 '표면전하 밀도'를 알고 있어야 계산이 가능하다.

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#가우스 #폐곡면 #전기력선속 #전기력선 #점전하 #쿨룽 #알짜 #전기장

1. 소거법과 피벗 (Pivot)

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피벗을 한마디로 정의하기는 어렵습니다. 피벗의 정의를 무작정 들으면 이해하기 어려우므로 우선 아래 연립방정식의 해를 구하는 과정을 살펴 보면서 알아 보도록 하자.

이 방정식을 소거법으로 푼다고 하면 소거법은 여러가지 방법이 있을 것이다. 위의 식에 3을 곱해서 아래식을 빼서 x를 소거할 수도 있고 위에 식에 -3을 곱해서 아래 식을 더할 수도 있고 아래식에 1/3을 곱해서 위의 식에서 아래식을 뺄 수도 있고 아래식에 -1/3을 곱해서 위 아래식을 더할 수도 있다. 결국 미지수 앞의 계수의 절대값을 맞추어 주면 두 식을 더하거나 빼서 소거할 수 있게 된다.

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그런데 앞으로, 소거법을 적용하여 연립방정식을 풀 때 피벗(Pivot)을 사용할 때는 이렇게 다양한 방법으로 하지를 않고 정하진 숫자를 곱해 더하거나 빼는 규칙에 따라 하게 된다. 이렇게 하는 이유는 랭크(Rank)와 가역성, 다각화, LU분해 등 여러가지가 연관되어 있어서 이다. 그럼 먼저 피벗을 정의를 알아 보자.

기본행연산과 행사다리꼴(REF)에 다음에 알아 보기로 하자.

첫번째 Pivot 의 정의에 주목을 하자. 내용이 이해하기 어려운데 차근차근 알아보자.

먼저 한 행에서 일차방정식의 첫번째 미지수 앞의 계수라고 했다.

에서 1행의 첫번째 미지수의 계수는 1이고 2행의 첫번째 미지수 계수는 3이니 pivot은 1,3 아닌가 생각할 수 있는데 그렇지 않다. ②를 보면 미지수 하나에 대한 Pivot은 1개라고 했다. 결론 부터 말하자면1행에 대해서 미지수 x에 대한 Pivot은 1이 맞다. 그런데 Pivot의 정의에 의하면 이 형태에서는 y의 Pivot을 찾을 수 없고 x의 Pivot만 2개 인 것 처럼 보인다. 이러한 모순은 ①을 해석하면 되는데, y의 Pivot을 구하려면 소거를 한번 해야 한다.

연립방정식을 보면 그대로 (1)식+(2)식을 해서 x값을 구할 수도 있지만 지금 방정식의 해를 찾는 것이 아니라 Pivot을 찾는 것이니 Pivot의 법칙에 따라야 한다.

(1)식에 3을 곱하고 (2)식에서 (1)식을 뺀 것으로 (2)식을 대체해 보자.

3x + 2y = 11 에서 3x - 6y = 3 을 빼면 8y = 8 이니

으로 연립방정식의 형태가 바뀐다. 즉 (2)식이 (3)식으로 대체되고 미지수 x가 소거되어 y만 남게 되고 이렇게 하여 두번째 Pivot을 말할 수 있게 되었다. 2행의 y에 대한 Pivot은

8이 된다.

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이 과정을 보면 생소하고 까다롭게 느껴질 것이다. 첫번째 Pivot은 그냥 1행에서 x의 계수를 읽으면 되지만 두번째 Pivot을 구하는 과정은 낯설다. 익숙해지기 위해서는 우선적으로 필요한 것은 소거를 어떻게 해야 하는지 명확한 기준을 세우는 것이다. 앞으로 Pivot을 구하기 위한 소거는 다음과 같은 방법으로 한다.

①에서 말하는 미지수를 소거할 방정식은 식 (2)를 말하는 것으로 식(3)으로 만들어 x를 소거시키겠다는 뜻이다. 그 다음 ②에서, 소거할 미지수의 계수는 3이기 때문에 위 방정식 (1)의 Pivot = 1 로 나눈다. 이 값 3/1 = 3 이 승수(multiplier)이다. 마지막으로 ③의 내용은 승수에 음의 기호를 붙인 -3을 (1)식의 양변에 곱한 뒤 (2)식과 더해 (3)식을 만들라는 것이다. 그러면 Pivot을 구하는 과정이 완성된다.

x항이 소거된 식 (3)에서 등장하는 첫 미지수 y의 계수는 8이다. 이 8이 두번째 피벗(Pivot)이다. 이 형태의 연립방정식을 이제 행렬로 바꿔 보면 특징이 나타나게 된다.

바로 #계수행렬 A가 상삼각행렬 U로 바뀐다.

이 예시 뿐만 아니라 일반적으로 한 쌍의 해를 가지는 연립방정식의 행렬표현에서 소거법(Elimination)을 진행하면 n행 n열, 즉 대각성분의 위치에 Pivot 들이 놓이며 대각 성분들 아래는 모두 0으로 채워진 상삼각행렬이 만들어 진다.

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Elimination makes Ax = b ⇒ Ux = b'

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2. 0은 피벗이 될 수 없다.

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가. 해가 존재하지 않는 경우 (불능)

종종 연립방정식의 한쌍에 해가 없는 경우가 있다.

이 연립방정식의 해는 없다고 한다. 행관점에서 보았을 때 두 직선은 평행하고 y절편이 달라 만나는 점이 하나도 없기 때문이다. 이것을 행렬로 바꾸면 이 방정식에 대한 소거법을 적용하면 Pivot을 구할 수 없게 된다. 소거법을 적용하면 승수는 3/1=3이고 승수의 음수값

-3을 (4)식에 곱한 뒤 (5)식에 더해 아래와 같이 (6)식을 만든다.

이를 만족하는 해는 당연히 존재하지 않으며 (6)식에서 y의 계수는 0이다. 그러나 Pivot은 "0"이 될 수 없다고 정의했으므로 이 행렬은 Pivot이 1개 밖에 존재하지 않는다.

이 경우 해가 존재하지 않게 된다.

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나. 무수히 많은 해를 가지는 경우 (부정)

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반면 두 직선이 y #절편 과 #기울기 가 모두 같다면 두 직선이 일치하는 관계를 가지게 되고 이 경우 연립방정식의 해는 무수히 많게 된다.

위 식에 소거법을 적용하면 해는 무수히 많지만 y의 계수는 "0"이니 두번째 Pivot은 값을 찾을 수가 없게 된다. 이 때도 Pivot 의 개수는 1개가 된다.

3. 여러가지 사각행렬에 대한 Pivot

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위에서 설명한 방법은 정사각행렬이 아닌 행렬의 Pivot을 구할 때 난관을 맞게 된다. 열백터나 행벡터 같은 하나의 행, 열을 가진 행렬이나 정사각행렬이 아닌 사각행렬에 대한 Pivot 및 Pivot의 개수는 어떻게 구할까 ? 정사각 행렬이 아니라는 뜻은 연립방정식의 개수(=행의 개수=m)이 미지수의 개수(열의 개수=n)보다 작은 m<n과 같은 뜻이다. 이 때 부터는 결론적으로 말하면 행렬의 랭크와 기본행연산, #사다리꼴 행렬에 대한 기초 지식을 쌓은 다음 진행하는 것이 좋다. 간단히 몇가지 특징만 알아 보자.

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가. #행벡터, #열벡터 즉 1개의 행이나 열로 이루어진 행렬의 Pivot은 1개이다. 1행의

      첫 성분이 Pivot에 해당한다.

나. #성분 이 1개 뿐인 행렬도 Pivot은 1개로 취급하고 그 성분이 Pivot이다.

다. m × n 행렬의 경우, 최대 n개의 Pivot을 가질 수 있고 Pivot을 구하려면 행사다리꼴 형

     태로 바꾸는 #소거법 을 진행하는 것이 좋다. 최대 n개라고 했지 항상 n개를 가지는 것

     은 아니어서 Pivot의 개수는 직접 구하기 보다 행렬의 랭크와 같으므로 랭크(Rank)를

     먼저 구하는 것이 Pivot을 구하는데도 수월하게 된다.

이제 Pivot에 대해 어느 정도 감을 잡았을 것이다. 그런데 연립방정식을 푸는 방법을 아는데 왜 굳이 Pivot을 배우는 걸까 ? 연립방정식의 방정식 계수 m과 #미지수 개수 n을 확장하였을 때는 소거법의 계산 횟수가 급증하기 때문이다. #이원연립방정식 까지는 소거법으로 푸는 속도가 월등히 빠른데 3 × 3 계수 #행렬 을 포함한 #연립방정식 만 되더라도 기존의 연립방정식 풀이법이 복잡해 지기 시작한다. 사실 #Pivot 을 포함한 #상삼각행렬 로 바꾸어 소거하는 방법을 ' #가우스 #소거법 ( #Gaussian #Elimination )'이라 하고 #행사다리꼴 과 같은 다른 행렬 주제와 연결된다.