자동제어계의 주파수 영역해석

  ⊙ 주파수 영역해석 : 입력 주파수가 0~ ∞ 로 변화할 때 출력의 크기나 위상변화 즉 벡터궤적이나 보드 선도를 보는 것

  ⊙ 주파수 응답 : 입력 주파수 변화에 대한 입력과 출력의 진폭비, 위상차가 어떻게 변화하는지 특성을 나타내는 것

  ⊙ 진폭비 : 출력크기 / 입력크기

  ⊙ 위상차 : 입력과 출력의 위상차

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    ※ 시간영역 해석은 시간(t)를 라플라스 변환(s)하여 계산하여 역라플라스 변화하여 해석

       주파수 영역해석은 시간(t)를 라플라스변환(s) 후 주파수변환(jω)하여 해석

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     f ⇔ ω = 2πf

    주파수 영역 해석은 ω가 0 ~ ∞ 로 변할 때 영역해석

    시간영역해석은 t가 0 ~ ∞로 변할 때 영역 해석

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    주파수 영역방법에는 벡터 궤적, 보드 선도가 있다. ​​

1. 주파수 전달함수​​

2. 주파수 전달함수가 주어졌을 때 이득과 위상을 구하는 방법

 

      위상계산시 전달함수가 분모에 있을 때 위상각은 앞에 "(-)"가 붙는다.

      jb 형태시 각도는 j=90˚, -1=180˚, -j = 270˚

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3. 벡터 궤적

  ⊙ 벡터궤적 : 주파수 전달함수 G(jω)를 복소평면상에 벡터로 나타낸 크기로서

                        G(jω)와 각도(Θ)에서 각주파수 G(jω)를 0 ~ ∞ 까지 변화시킬 때 그려진 궤적

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                       G(jω) 에서 ω 가 0 ~ ∞로 변할 때

                      ◎ 비례요소 : k ⇒ k

                      ◎ 비분요소 : k · s ⇒ k · jω

                      ◎ 적분요소 : k / s ⇒ k / jω

                      ◎ 1차 지연 요소

                      ◎ 2차 지연 요소

                      ◎ 부동작 등

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  ① 비례요소

      G(jω) = K​

② 미분요소

    G(s) = k · s ⇒ G(jω) = k · jω

 

③ 적분요소

    G(s) = k / s ⇒ G(s) = k / jω

 

④ 비례미분요소

    G(s) = 1+Ts ⇒ G(s) = 1+jωT

 

⑤ 1차 지연

 

⑥ 2차 지연 (3차 지연, 4차 지연)

⑦ 부동작(K−τs)

 

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4. 형에 따른 벡터 궤적 그리는 방법

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5. 보드 선도

⊙ 보도 선도 : 자동제어계에서 안정 · 불안정에 관한 정보 및 안정계에서 방법 등에 관한

                       도식화를 하기 위해 널리 사용되는데 이득특성곡선과 위상특성곡선 2가지 종류의 선도가 있다.

⊙ 이득특성곡선 : 주파수 변화를 대수눈금으로 log식의 "ω"를 횡축으로 하고 주파수 전달

                             함수 이득을 종축으로 표시하고 이득은 20log10의 진폭비로 표시한다.

⊙ 위상특성곡선 : 주파수 눈금을 대수 눈금으로 log식의 "ω"를 횡축으로 하고 주파수 전달

                              함수의 위상차를 종축으로 표시하고 위상차는 20log10의 진폭비로 표시한다.

◎ 위상각 Θ = G(jω) 의 각도 : 도수법 90˚ 180˚ 등

     [보드 선도] ⇒ 특성 변화를 확인하기 쉽도록 그린 것

                              ( ω : 10의 배수로 나타냄)

 

※ 보드 선도에는 이득, 위상 곡선이 있음​

 

[이득]​

     ⊙ 절점 주파수 : 굴곡점이 발생하는 주파수

                               전달함수에서 실수부 = 허수부일 때의 주파수

     ⊙ 분자는 출발점

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ex) 1차 지연요소 보도 선도를 예를 들면

각주파수	이 득	위상차
ωT = 0.1	g = 0.043	θ = −5.7°
ωT = 1	g =  −3	θ  =  −45°
ωT = 10	g =  −20	θ =  −84°
ωT=100	g =  −40	θ =  −90°

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6. 주파수 특성에 관한 상수 (용어 정리)​

   ① 영주파수의 이득 M0

        : 정상값 ⇒ 최종값의 정리

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    ⊙ 영주파수의 이득 Mo (정상값) : 최종값 정리에 의하여 단위 계단 입력에 대한

         정상응답은 폐회로 전달함수에서 "S = 0"으로 놓았을 때 얻을 수 있는 정상값

 

  ② 대역폭 (BW : Bandwidth)

 

    ◎ 대역폭이 크면 응답속도가 빠르다

    ◎ 대역폭이 넓을 수록 응답속도가 빠르다

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  ③ 공진정점 Mp(최대값)

    ◎ Mp가 너무 크면 오버슈트가 너무 커진다.

    ◎ 제어계에서 적당한 공진정점 Mp는 1.1 ~ 1.5 이다.

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  ④ 공진주파수 ωp

    ◎ 공진 정점에서 일어나는 주파수

        (주파수 ↑ ⇒ 주기 ↓) 주파수가 크면 주기는 작아진다.

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  ⑤ 분리도

      : 신호와 잡음을 분리하는 제어계의 특성으로서 예리한 분리특성은 공진정점(Mp)가 크다.

          (분리도 ↑ ⇒ 공진정점 ↓ ⇒ 분안정하기 쉽다)