아낌없이 주는 나무

정수력을 적용하기 위해서는 작용점을 알아야 한다.

작용점을 알기 위해서는 정수압이 최종적으로 작용하는 면의 특성을 알아야 한다.

정수력이 작용하는 면이 곡면, 평면, 기타 면이냐에 따라 정수력의 작용이 달라지게 된다.

위 그림은 2차적인 면에 따라 기하학적 도형의 특징을 보여준다.

삼각형을 보면 밑변의 길이가 "b"이고 높이가 'h'이다. 이 삼각형의 도심은 밑변에서 높이

방향으로 1/3 지점에 있다는 것을 알 수 있다. 각각의 도형의 특징은 면적, 도심 등이 있다.

​

Centroid (도심), Center of Gravity (무게 중심)

​

위 그림과 같이 같은 굵기의 무게가 일정한 봉을 그림과 같이 한쪽에 치워쳐 끈으로 묶어

들게 되면 끈을 중심으로 긴쪽으로 기울고 또한 시계방향으로 회전하게 된다.

이는 긴 쪽에 무게가 더 나가고 큰 모멘트가 작용하기 때문이다.

​

반매 막대의 정중앙에 끈을 매달아 들게 되면 막대는 평형을 이루게 될 것이다.

이는 끈을 중심으로 좌우의 무게가 같고 모멘트도 상호 정반대방향으로 크기가 같기 때문에 서로 상쇄되기 때문이다. 이 때 끈으로 묶은 지점을 도심 또는 무게 중심이라고 한다.

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위 그림은 특정한 형상을 갖는 물체의 도심을 찾는 과정을 나타낸다. 위와같은 형상을 갖는

물체의 도심을 찾아 끈으로 매단다고 한다면 위 그림의 물체는 평형을 이루게 될 것이다.

도심을 찾아 매달았을 때 균형을 이루려면 위 물체는 모든 면에서 밀도가 균일하여야 한다.

또한 매달기 위해서 위 형태의 미소면적의 하중의 합과 같은 힘으로 매달아야 한다.

​

도심과 무게중심의 차이에 대해 알아 보자

​

위 그림은 막대에 밀도가 다른 무거운 물질을 붙인 후 도심부분에 끈으로 묶어서 들었다.

그러면 위 그림에서 보는 바와 같이 끈을 중심으로 좌우의 무게가 동일하지 않으므로

무거운 쪽으로 막대는 기울고 또한 시계방향으로 움직이게 될 것이다.

이와 같이 위 그림에서는 가운데 점이 도심이기는 하지만 무게 중심은 아니게 된다.

도심과 무게중심은 같을 수도 있고 다를 수도 있다. 도심과 무게 중심이 같으려면

그 물체를 구성하는 물질이 균질하여야 한다. 즉 단위면적당, 단위길이당 질량이 일정해야

한다.

​

​

물체를 구성하는 물질이 균질하지 않은 경우 무게 중심은 무거운 쪽으로 이동시키면 된다.

무게 중심에서는 좌우 힘의 평형을 이루게 된다. 또한 무게 중심에서는 모멘트가 같아지게

되므로 물체는 균형을 이루게 된다.

정리하면 도심은 면적, 길이와 같은 1차 모멘트의 중심을 말한다.

반면 무게 중심은 질량을 중심으로 한 1차 모멘트의 중심을 말한다.

여기서 1차 모멘트는 (힘, 거리) 곱하기 중심으로 부터의 거리를 말한다.

​

위 그림을 보면서 일반적인 형태의 도형의 도심과 무게 중심을 찾는 과정을 알아 보자.

수식상으로 무게 중심을 구하는 식은 선을 기준으로 무게 중심을 구하기 때문에 체적의 무

게 중심을 구하기 위해서는 체적을 면적으로 면적을 선으로 변환하는 과정이 필요하다.

따라서 체적을 미분하면 면으로 면을 미분하면 선이 되는데 x축을 기준으로 하는 모멘트와

x축을 기준으로 하는 모멘트로 구분하기 때문에 시작을 면을 기준으로 하므로 한번 미분을

하여 선을 기준으로 하는 모멘트를 구하고 이를 적분하여 전체의 모멘트를 구하게 된다.

위 그림의 오른쪽 그림을 보면 직사각형의 판이 놓여져 있다. 직사각형 판의 두께를 t라고

하고 길이 수평방향을 x축, 높이 방향을 y축이라고 하자. 이 직사각형 단면 모양에 도심의

위치를 yc 라고 하자. 물론 x축 방향의 도심의 위치도 같은 방법으로 찾을 수 있다. 왼쪽

그림은 이 직사각형 판을 x,y축의 관점에서 본 것이다. 즉, 위에서 바라 본 모양이다.

따라서 위 쪽 방향은 z축이 된다. x축의 길이는 "b"이고 y축 방향으로 yc만큼의 거리에

도심이 있다고 하자. 그러면 도심을 식으로 정의할 수 있다. 위와 같이 균일한 물질로 되어

있는 경우에는 도심과 무게 중심이 같게 된다. 무게 중심은 x축을 중심으로 이 판에 작용하

는 모든 힘들을, 힘에 의한 모멘트의 중심이라고 하였다. 무게 중심은 x축을 중심으로 이 판

에 작용하는 모든 힘들을, 힘에 의한 모멘트를 상쇄할 수 있는 어떤 힘이 작용하되, 그 힘이

작용하는 위치가 바로 도심의 위치 yc라고 할 수 있다. Y방향의 단위면적을 생각해 보자.

x축 방향으로는 폭이 일정하니까 y축 방향의 작은 폭을 갖는 조각을 dy라고 하자. 그럼,

이 dy라고 하는 조각에 중력에 의하여 가해지는 힘, 만약 아래쪽(지면)으로 가해진다고

하면 작은 조각에 작용하는 힘을 dF라고 하면 dF = γ tbdy라고 할 수 있다. 중력은 비중력

× 체적이기 때문이다. 여기서, γ는 단위중량(비중량), t는 무게, b는 x축 길이이고, dy는 미

소 y축 길이가 된다. 따라서 γtbdy가 이 미소조각에 작용하는 중력의 힘이라고 할 수 있다.

이 미소면적에 작용하는 힘을 모두 더하면 이 판에 작용하는 힘 F가 될 것이다. 그런데

"0"점을 기준으로 미소요소까지의 거리는 y축에 따라 변하게 된다. y축에 따라 dF라는 힘

에 의해서 작용하는 모멘트의 총합이 그 판재의 전체 무게인 F를 판재 위에 어딘가에 작용

해서 반대방향의 모멘트를 작용하면서 평형을 이룰 수 있다면 그것이 바로 단면 1차 모멘

트 중심 즉 도심이 될 것이다. 즉, 전체 힘은 γtbh가 될 것이고 이 힘에 여기에다가 우리가

구할려고 하는 모멘트의 중심 yc를 곱하면 모멘트가 될 것이다. 모멘트는 힘 × 거리(중심에

서 거리)라고 하였다. 이것이 무엇과 같을 까 ? 각 미소요소에 작용하는 힘 dF에 거기까지

의 거리 y를 곱한 모멘트 즉, ydF를 y방향으로 적분해 준 것과 같아지게 되고 이 것이 결국

힘 모멘트의 평형 중심이 된다. 위 식을 적분을 하면 yc = h/2이 된다.

​

앞서 폭이 일정할 때에는 무게 중심을 구하는 것이 단순하였는데 위 그림과 같이 폭이 변화

하는 경우는 좀 복잡해진다. 이 때 무게 중심을 찾는 방법에 대하여 알아 보자.

이 경우 x축을 기준으로 하는 이 평면의 무게 중심을 알아 보자. 먼저 전체 면적에 받는 힘은

단위중량 × 체적이므로 F = γ tb(h/2)+ γ t2b(h/2) = γ tb(3/2h)가 된다.

이 때 x축 방향의 모멘트를 구하면 무게 중심점에 모든 중량이 걸린다고 할 수 있으므로

ycF를 통하여 구할 수 있고 위 그림의 아래식과 같다. 그런데 모양이 정형이 아닌 여러가지

모양으로 변할 때 무게 중심을 간단히 구하는 방법은 다음과 같다.

위 단면적 전체에 작용하는 힘은 γtb3/2h라는 것을 이미 알았다. 이 힘을 이용하여 각각의

분할된 면적에 작용하는 전체힘과 분할된 면적의 yc에 작용하는 모멘트를 같게 하면 그 분

할된 면적의 무게중심이 된다. 따라서 무게 중심점을 찾기 쉽게 하기 위해서는 부정형 모양

을 중심점을 찾기 쉬운 정형의 모양으로 분할하면 중심점을 찾기 쉬워진다.

이번에는 모멘트 이누시아 또는 단면 이차 모멘트에 대해 알아 보자. 앞에서 살펴 본 바와

같이 폭이 "b"이고 높이가 "h"인 직사각형이 있다고 하자. 그리고 우리가 yc라는 무게 중심

을 알고 있다고 하자. 직사각형 이니까 무게 중심이 지나는 선을 h/2의 선이 될 것이다.

이번에는 도심을 지나는 선인 h/2 선을 x축이라고 하고 직사각형의 밑변을 지나는 선을

x'라고 하자. 단면 2차 모멘트 즉 도심을 지나는 축을 기준으로 하는 2차 모멘트 Ixx는 미소

면적 dA에다가 그 축으로 부터의 거리 y의 제곱를 곱한 것을 적분한 것으로 정의한다.

또한 도심을 지나는 축이 아닌 임의의 축 즉, 위 그림에서 직사각형의 밑변을 지나는 축을

기준으로 하는 2차 모멘트는 도심을 지나는 2차 모멘트와 면적 A와 도심까지의 거리의

제곱을 곱한 것을 합한 값으로 나타낸다.

​

#모멘트 #무게중심 #질량중심 #도심 #정수력 #단위중량 #비중량 #기하학 #직사각형

#미분 #적분

또한 x의 증분에 대한 y의 증분의 비율​

위 식을 x값이 a에서 b로 변할 때의 함수 y=f(x)의 평균변화율이라고 한다.

함수 y=f(x)의 평균변화율은 두점 P(a, f(a)), Q (b,f(b))을 지나는 직선의 기울기와 같다.​

나. 미분계수 (순간변화율)

함수 y=f(x)에서 x의 값이 a 에서 a+△x (=b)까지 변할 때, 평균변화율은 다음과 같다.​

여기서 △x → 0 일 때 평균변화율의 극한값이​

함수 y=f(x)는 x=a에서 미분가능하다고 하고 이 극한값을 함수 y=f(x)의 x=a에서의 순간변화율 또는 미분계수라고 하며

기호로는 f'(a)와 같이 나타내고 f prime a라고 한다. 또한 함수가 어떤 구간에 속하는 모든 x의 값에서 미분가능할 때,

함수 y=f(x)는 그 구간에 서 미분가능하다고 한다. 특히 함수 y=f(x)가 정의역에 속하는 모든 x 의 값에서 미분가능할 때

함수 y=f(x)는 미분가능한 함수라고 한다. 한편, a+△x=x라고 하면 △x=x-a이고 △x →0일 때 x→a 이므로​

다음 함수는 미분이 가능할까 ?​

함수 f(x)=x2 은 x=2에서 미분가능하고 그 때의 미분계수는 f'(2)= 4 이다.

​

[정리하면]

함수 y = f(x)에 대하여

① x의 값이 a에서 b까지 변할 때의 평균변화율은​

② x = a 에서의 미분계수(순간변화율)은​

또한 미분계수(순간변화율)은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.​

다. 미분계수의 기하학적 의미

앞에서 x의 값이 a 에서 b까지 변할 때 함수 y=f(x)의 평균변화율​

따라서 함수 y=f(x)의 x = a 에서의 미분계수

곡선 y=f(x) 위의 점 P(a,f(a))에서의 접선 ℓ의 기울기와 같음을 알 수 있다.

[미분계수 f'(a)의 기하학적 의미

함수 y=f(x)에 대하여 x=a에서의 미분계수 f'(a)는 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a)에서의 접선의 기울기와 같다.

점 (a, f(a))에서의 접선이 x축의 양방향과 이루는 각을 θ 라 하면, 미분계수 f'(a)는 다음과 같다. f'(a) = tan θ

​

[평균변화율과 미분계수의 대소 관계]

평균변화율과 미분계수의 기하학적 의미를 이용하면 그 대소 관계를 알 수 있다.

함수 y=f(x)의 그래프가 위 그림과 같을 때, 다음 식의 값의 대소를 비교하여 보자.

다음 함수 y=f(x)의 그래프가 다음 그림과 같을 때

다음 식의 값의 크기를 비교해 보자.​

위 그래프는 아래로 볼록한 그래프로 위 식의 크기는 다음과 같다.​

2. 미분가능과 연속

앞에서 미분계수의 기하학적 의미는 곡선의 접선의 기울기와 같다고 했다. 그런데 불연속점

에서는 접선을 그릴 수 없으므로 미분이 가능하지 않다는 것을 예상할 수 있다.

그러면 연속인 점에서는 항상 접선을 그릴 수 있어 미분도 가능할까 ? 이에 대한 생각을 하

면서 y = f(x)의 연속과 미분가능 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아 보자.

​

가. 미분가능 : 연속

함수 y = f(x)가 x = a에서 미분가능하면 함수 y=f(x)는 x=a에서 연속이다.

[증명]

함수 f(x)가 x = a 에서 미분가능하면 미분계수​

f'(a)는 일정한 값이므로 다음이 성립한다.​

따라서​

나. 연속 ≠ 미분가능

앞의 명제의 역 '함수 y = f(x)가 x = a 에서 연속이면 y = f(x)는 x = a 에서 미분가능하다'

는 거짓이다. 즉, 함수 y = f(x)가 x = a 에서 연속이지만 y = f(x)는 x = a 에서 미분가능하지 않을 수 있다.

[증명]

함수 f(x) = ㅣx l 를 예로 들어 봅시다.

함수 f(x)는 x = 0 에서 미분가능하지 않다. 따라서 함수 f(x) = ㅣxㅣ는 x = 0 에서 연속이지만 미분가능하지는 않습니다.

미분 계수는 함수의 극한으로 정의되어 있다. 함수의 극한에서 좌극한과 우극한이 같은 값에 수렴할 때 함수의 극한이

존재한다고 한다. 즉, 미분계수가 존재하려면 △x → 0 일 때 평균변화율의 좌극한과 우극한이 같아야 한다.

따라서 위와 같은 반례에 의해 함수의 연속성이 함수의 미분가능성을 보장하지는 않는다.

즉, 함수 y = f(x)는 x = a 에서 연속이어도 일반적은로 함수 y = f(x)가 x = a 에서 미분이 가능한 것은 아니다. 또한 위의

함수에서와 같이 x = a 에서 연속이지만 x = a 에서 뽀족하면 (부드럽지 않으면) x = a 에서 미분가능하지 않다.

이러한 점을 뾰족한 점 또는 첨점이라 고 한다.

[함수의 미분가능과 연속]

함수 y = f(x)가 x = a 에서 미분가능하면 함수 y = f(x)는 x = a 에서 연속이다.

그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

[위 명제의 대우]

'함수 y = f(x)가 x = a 에서 연속이 아니면 함수 y = f(x) 는 x = a 에서 미분가능하지 않다' 도 성립한다.

[이차함수 접선의 기울기]