아낌없이 주는 나무

미분의 개념을 이야기할 때 미분계수는 어떤 함수의 특정점에서 접선의 기울기값이라고 했다.

특정 점에서 접선의 기울기를 구하기 위하여 극한값을 구하는 과정도 알아 보았다.

그런데 함수 y = f(x)에 대하여 f'(1), f'(2), f'(3) … f'(100)을 구한다면 미분계수의 정의

를 이용하여 미분값을 구한다면 평균변화율의 극한값을 100번을 계산하여야 하는데 이는

번거롭고 효율적이지 못하다. 이런 경우에 x에서의 f'(x)를 함수값으로 하는 새로운 함수

y = f'(x)를 구하여 x값을 대입하면 보다 효율적으로 미분값을 계산할 수 있다.

이와 같이 어떤 함수 y = f(x) 함수에서 x값에 있어서의 미분값으로 하는 새로운 함수

y = f' (x)를 y = f(x)의 도함수라고 한다.

​

1. 도함수의 뜻

​

가. 도함수의 정의

함수 f(x) = x2 의 x = a 에서의 미분계수 f'(a) 는​

따라서 f(x) = x2 의 x = a 에서의 미분계수 f'(a) 는 a의 값을 2배하여 구할 수 있다. 즉,

f'(1) = 2, f'(√2) =2 √2, f'(π) = 2π, … f'(x) = 2x 이다.

일반적으로 함수 y = f(x)가 정의역 X에서 미분가능하면 정의역에 속하는 모든 x에 대하여

미분계수 f'(x)를 대응시키는 새로운 함수​

이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

이 때, 함수 f'(x)를 f(x)의 도함수라고 하고, 이것을 기호로

함수 y = f(x) 에서 그 도함수 f'(x)를 구하는 것을 함수 y = f(x)를 x에 대하여 미분한다고 하고 그 계산법을 미분법이라고

한다.​

【평균변화율, 미분계수, 도함수의 비교】

함수 y = f(x) 에서​

   ① 구간에서 x의 증분과 y의 증분의 비율

   ② 기하학적 의미 : 두 점 P(a, f(a), Q (b, f(b))를 지나는 직선의 기울기​

   ① 특정한 값 x = a 에서 평균변화율의 극한

   ② 기하학적 의미 : 곡선 y = f(x) 위의 점 P(a, f(a) 에서의 접선의 기울기​

   ① 특정값이 아닌 정의역에 속하는 임의의 x에 대한 미분계수 함수

   ② 기하학적 의미 : 곡선 y = f(x) 위의 임의의 점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기

​

2. 미분법의 공식

도함수의 정의에서 도함수가 존재한다면 주어진 함수의 도함수를 구할 수 있게 된다.

그런데 도함수를 구할 때 정의에 의한 극한의 식으로 도함수를 구하기는 번거롭게 복잡

하다. 따라서 도함수를 구할 때 정의에 의해서 구하는 것보다 공식으로 도함수를 구하면

쉽고 편리하게 구할 수 있다.

​

가. 도함수의 정의에 이용하여 함수 f(x) = xn (n은 양의 정수)의 도함수를 구해 보자.​

인수분해 하면​

나. 상수함수 f(x) = C (C는 상수)의 도함수는

상수함수는 모든 점에서의 접선의 기울기가 항상 0이라는 것을 알 수 있다.

한편 아래의 미분법의 공식과 함수 y = xn 의 미분법을 이용하면 도함수의 정의를 이용하지

않더라도 다항함수​

의 도함수를 구할 수 있다.

【미분법의 도함수】

 두 함수 f(x), g(x)의 도함수가 존재할 때

   ① y = cf(x) 이면 y' = c f'(x) (단, c 는 상수)

   ② y = f(x) ± g(x) 이면 y' = f'(x) ± g'(x) (복부호 동순)

   ③ y = f(x) g(x) 이면 y' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) 가 된다.

또한 세함수 f(x), g(x), h(x)가 미분가능하면 함수 y = f(x) g(x) h(x) 도 미분가능하고

y' =f'(x) g(x) h(x)+ f(x) g'(x) h(x)+ f(x) g(x) h'(x) 이다.

​

다. 구간별로 정의된 함수의 도함수

구간별로 정의된 함수

f(x)= x (x < 0), x3 (x≥0) 의 도함수를 구할 때

각 구간의 도함수를 구하여 다음과 같이 나타내는 잘못을 해서는 안된다.

f'(x) = 1 (x <0), 3x2 (x ≥0)

구간의 경계가 되는 x = 0에서 평균변화율의 우극한은 0, 좌극한은 1로 같지 않기 때문에

x = 0 에서의 미분계수는 존재하지 않게 된다.

따라서 아래와 같이 나타내야 한다.

f'(x) = 1 (x <0), 3x2 (x >0)

일반적으로 구간별로 정의된 함수가 주어졌을 때, 그 구간의 경계점에서의 미분가능성은 알

수 없다. 경계점에서 미분가능하려면 미분계수가 존재해야 한다. 즉, 경계점에서의 평균변

화율의 극한이 존재해야 하므로 반드시 우극한과 좌극한이 서로 같은지 확인해야 한다.

참고로​

x = a 를 기준으로 나눠서 정의된 다항함수에서의 기하학적인 의미의 y = f(x)의 그래프가

x = a 에서 이어져 있고, 우극한에서의 접선의 기울기와 좌극한에서의 접선의 기울기가

같아야 한다.

​

#도함수 #비분 #우극한 #좌극한 #기하학 #다항함수 #기울기 #미분계수 #함수 #경계점

#평균변화율 #극한 #접선 #정의역 #방정식 #상수 #상수함수

또한 x의 증분에 대한 y의 증분의 비율​

위 식을 x값이 a에서 b로 변할 때의 함수 y=f(x)의 평균변화율이라고 한다.

함수 y=f(x)의 평균변화율은 두점 P(a, f(a)), Q (b,f(b))을 지나는 직선의 기울기와 같다.​

나. 미분계수 (순간변화율)

함수 y=f(x)에서 x의 값이 a 에서 a+△x (=b)까지 변할 때, 평균변화율은 다음과 같다.​

여기서 △x → 0 일 때 평균변화율의 극한값이​

함수 y=f(x)는 x=a에서 미분가능하다고 하고 이 극한값을 함수 y=f(x)의 x=a에서의 순간변화율 또는 미분계수라고 하며

기호로는 f'(a)와 같이 나타내고 f prime a라고 한다. 또한 함수가 어떤 구간에 속하는 모든 x의 값에서 미분가능할 때,

함수 y=f(x)는 그 구간에 서 미분가능하다고 한다. 특히 함수 y=f(x)가 정의역에 속하는 모든 x 의 값에서 미분가능할 때

함수 y=f(x)는 미분가능한 함수라고 한다. 한편, a+△x=x라고 하면 △x=x-a이고 △x →0일 때 x→a 이므로​

다음 함수는 미분이 가능할까 ?​

함수 f(x)=x2 은 x=2에서 미분가능하고 그 때의 미분계수는 f'(2)= 4 이다.

​

[정리하면]

함수 y = f(x)에 대하여

① x의 값이 a에서 b까지 변할 때의 평균변화율은​

② x = a 에서의 미분계수(순간변화율)은​

또한 미분계수(순간변화율)은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.​

다. 미분계수의 기하학적 의미

앞에서 x의 값이 a 에서 b까지 변할 때 함수 y=f(x)의 평균변화율​

따라서 함수 y=f(x)의 x = a 에서의 미분계수

곡선 y=f(x) 위의 점 P(a,f(a))에서의 접선 ℓ의 기울기와 같음을 알 수 있다.

[미분계수 f'(a)의 기하학적 의미

함수 y=f(x)에 대하여 x=a에서의 미분계수 f'(a)는 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a)에서의 접선의 기울기와 같다.

점 (a, f(a))에서의 접선이 x축의 양방향과 이루는 각을 θ 라 하면, 미분계수 f'(a)는 다음과 같다. f'(a) = tan θ

​

[평균변화율과 미분계수의 대소 관계]

평균변화율과 미분계수의 기하학적 의미를 이용하면 그 대소 관계를 알 수 있다.

함수 y=f(x)의 그래프가 위 그림과 같을 때, 다음 식의 값의 대소를 비교하여 보자.

다음 함수 y=f(x)의 그래프가 다음 그림과 같을 때

다음 식의 값의 크기를 비교해 보자.​

위 그래프는 아래로 볼록한 그래프로 위 식의 크기는 다음과 같다.​

2. 미분가능과 연속

앞에서 미분계수의 기하학적 의미는 곡선의 접선의 기울기와 같다고 했다. 그런데 불연속점

에서는 접선을 그릴 수 없으므로 미분이 가능하지 않다는 것을 예상할 수 있다.

그러면 연속인 점에서는 항상 접선을 그릴 수 있어 미분도 가능할까 ? 이에 대한 생각을 하

면서 y = f(x)의 연속과 미분가능 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아 보자.

​

가. 미분가능 : 연속

함수 y = f(x)가 x = a에서 미분가능하면 함수 y=f(x)는 x=a에서 연속이다.

[증명]

함수 f(x)가 x = a 에서 미분가능하면 미분계수​

f'(a)는 일정한 값이므로 다음이 성립한다.​

따라서​

나. 연속 ≠ 미분가능

앞의 명제의 역 '함수 y = f(x)가 x = a 에서 연속이면 y = f(x)는 x = a 에서 미분가능하다'

는 거짓이다. 즉, 함수 y = f(x)가 x = a 에서 연속이지만 y = f(x)는 x = a 에서 미분가능하지 않을 수 있다.

[증명]

함수 f(x) = ㅣx l 를 예로 들어 봅시다.

함수 f(x)는 x = 0 에서 미분가능하지 않다. 따라서 함수 f(x) = ㅣxㅣ는 x = 0 에서 연속이지만 미분가능하지는 않습니다.

미분 계수는 함수의 극한으로 정의되어 있다. 함수의 극한에서 좌극한과 우극한이 같은 값에 수렴할 때 함수의 극한이

존재한다고 한다. 즉, 미분계수가 존재하려면 △x → 0 일 때 평균변화율의 좌극한과 우극한이 같아야 한다.

따라서 위와 같은 반례에 의해 함수의 연속성이 함수의 미분가능성을 보장하지는 않는다.

즉, 함수 y = f(x)는 x = a 에서 연속이어도 일반적은로 함수 y = f(x)가 x = a 에서 미분이 가능한 것은 아니다. 또한 위의

함수에서와 같이 x = a 에서 연속이지만 x = a 에서 뽀족하면 (부드럽지 않으면) x = a 에서 미분가능하지 않다.

이러한 점을 뾰족한 점 또는 첨점이라 고 한다.

[함수의 미분가능과 연속]

함수 y = f(x)가 x = a 에서 미분가능하면 함수 y = f(x)는 x = a 에서 연속이다.

그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

[위 명제의 대우]

'함수 y = f(x)가 x = a 에서 연속이 아니면 함수 y = f(x) 는 x = a 에서 미분가능하지 않다' 도 성립한다.

[이차함수 접선의 기울기]