아낌없이 주는 나무

삼각함수의 덧셈 또는 뺄셈을 곱셈으로 고치는 공식과 삼각함수의 극한을 이용하여 삼각함수의 도함수를, 지수함수와

로그함수의 극한을 이용하여 지수함수와 로그함수의 도함수를 구하는 방법을 알아 보자. 또한 이계도함수의 정의와

이계도함수의 계산법도 알아 보자.

​

1. 삼각함수의 도함수

삼각함수의 도함수를 구하려면 임의의 점에서의 미분계수를 구하면 되는데 삼각함수의 극한을 구할 수 있다.​

가. 삼각함수 y = sin x, y = cos x, y = tan x 의 도함수는 도함수의 정의와 삼각함수의 극한, 삼각함수의 합 또는 차를

      곱으로 변환하는 공식을 이용하여 구할 수 있다.

① y = sin x 의 도함수​

따라서 (sin x)' = cos x 이다.

​

② y = cos x의 도함수​

따라서 (cos x)' = - sin x 이다.

​

③ y = tan x 의 도함수​

   따라서 (tan x)' = sec2 x 이다.

​

나. 삼각함수 y=cosec x, y = sec x, y = cot x 의 도함수도 바로 위에서 구한 세 삼각함수의 도함수와 몫의 미분법을

      적용하여 구할 수 있다.

① y = cosec x 의 도함수​

② y = sec x 의 도함수​

   따라서 (sec x)' = sec x · tan x 이다.

③ y = cot x 의 도함수  ​

【 삼각함수의 도함수】​

2. 지수함수의 도함수

지수함수 y = e^x, y = a^x 의 도함수는 도함수의 정의와 지수함수의 극한을 이용하여 구할 수 있다.​

가. y = e^x 의 도함수를 구해 보자.

x의 변화량을 △x, x에 대한 y의 변화량을 △y이라고 하면​

나. y = ax (a >0, a ≠ 1) 의 도함수를 구해 보자.

x의 변화량을 △x, x에 대한 y의 변화량을 △y이라고 하면​

참고로 합성함수의 미분법을 이용하여 y = ex 의 도함수를 구할 수 있다.​

3. 로그함수의 도함수

로그함수 y = ln x, y = log ax (a >0, a ≠1)의 도함수는 도함수의 정의와 무리수 e의 정의에 의하여 구할 수 있다.​

가. 로그함수의 도함수

y = ln x 의 도함수를 구해 보자.

x의 변화량을 △x, x에 대한 y의 변화량을 △y이라고 한다면

△y = ln (x+△x) - ln x 가 되므로 도함의 정의에 의해​

또한 로그의 성질 log ax = ln x / ln a (a >0, a≠1)를 이용하면 다음과 같이 y =log ax 의 도함수를 구할 수 있다.​

나. 절대값을 포함한 로그함수의 도함수

미분가능한 함수 f(x)에 대하여 f(x) > 0 또는 f(x) <0 인 경우에 ln lf(x)l 의 도함수를 구해 보자.

① f(x) > 0 일 때, lf(x)l = f(x)이므로 u = f (x)로 놓으면 y = ln u​

② f(x) < 0 일 때, lf(x)l = -f(x)이므로 u = -f (x)로 놓으면 y = ln u​​

【 로그함수의 도함수 】​

따라서 ①, ② 를 정리하여 보면​

4. 로그 미분법

가. 로그 미분법

밑과 지수에 모두 변수를 포함하는 지수형태의 함수나 복잡한 분수함수의 도함수를 구하기 위해서는 양변에 로그를

취한 후 합성함수의 미분법이나 음함수의 미분법을 적용하면 된다.

이런 방법을 로그미분법이라고 한다. 이때 로그의 진수가 양수이어야 하므로 로그를 취하기 전에 식의 양변에 절대값을

먼저 취한 다음 로그를 택해야 한다. 만약 이미 양변이 양수일 때는 절대값을 취하지 않아도 된다.​

몫의 미분법과 합성함수의 미분법을 적용하면 도함수를 구할 수 있지만 식이 매우 복잡하므로 로그를 취한 후 음합수

미분법을 이용하여 도함수를 구하는 것이 보다 빠르고 쉽다.

양변이 모두 양수이므로 식의 양변에 자연로그를 취하여 로그의 성질을 이용한다.​

즉, 함수 y = f(x) 에서 f(x)의 형태가 일반적인 미분법을 적용하기에 복잡한 형태라면 로그미분법을 이용해서

다음 순서에 따라 함수의 도함수를 구할 수 있다.

【 로그 미분법 】

복잡한 지수와 몫으로 표현된 함수는 로그미분법을 이용하여 도함수를 구할 수 있다.

① 양변에 절대값을 취한다. ⇒ ㅣyㅣ= l f(x)ㅣ

② 양변에 자연로그를 취한다. ⇒ ln ㅣyㅣ = ln l f(x)ㅣ​

나. y = xa 의 도함수 (단, a는 실수)

자연수 지수에서 부터 유리수 지수까지는 함수 y = x'의 도함수가 y'=r xr-1 이다.

이제 로그미분법을 이용하여 a가 임의의 실수일 때, 함수 y = xa의 도함수를 구해 보자.​

【 로그 미분법의 활용 】

가. 지수함수 y = ax (a > 0, a ≠ 1)의 도함수를 로그미분법을 이용하여 구해 보자.

      y = ax 의 양변에 자연로그를 취하면 ln y = ln ax = x ln a

      양변을 x에 대하여 미분하면​

   위 식은 지수함수를 미분해서 얻은 도함수와 그 결과가 일치한다.

나. 이번에는 y =af(x) 의 도함수 (a>0, a≠1)를 로그미분법을 이용하여 구해 보자.​

   이 또한 지수함수를 포함한 합성함수의 도함수와 그 결과가 일치한다.

​

5. 이계함수

함수 y = f(x) 의 도함수 f'(x)가 미분가능하면 f'(x)의 도함수는 다음과 같다.​

이 때, f'(x)의 도함수를 함수 f(x)의 이계 도함수라고 하고 기호로는 다음과 같이 나타낸다.​

즉, 이 이계도함수는 어떤 함수를 두번 미분한 함수이다.

일반적으로 자연수 n 에 대하여 함수 y = f(x)가 n번 미분가능한 함수일 때 y = f(x)를 n번

미분하여 얻은 함수를 y = f(x)의 n계도함수라고 하고 기호로는 다음과 같다.​

【 이계 도함수 】

함수 y = f(x)의 도함수 f'(x) 가 미분가능할 때, f'(x)의 도함수를 y = f(x)의 이계도함수라

하고 기호로는 다음과 같이 나타낸다.​

#삼각함수 #도함수 #미분 #미분계수 #지수함수 #합성함수 #극한 #미분법 #평균변화율

#로그함수 #절대값 #로그미분법 #이계도함수

미분의 개념을 이야기할 때 미분계수는 어떤 함수의 특정점에서 접선의 기울기값이라고 했다.

특정 점에서 접선의 기울기를 구하기 위하여 극한값을 구하는 과정도 알아 보았다.

그런데 함수 y = f(x)에 대하여 f'(1), f'(2), f'(3) … f'(100)을 구한다면 미분계수의 정의

를 이용하여 미분값을 구한다면 평균변화율의 극한값을 100번을 계산하여야 하는데 이는

번거롭고 효율적이지 못하다. 이런 경우에 x에서의 f'(x)를 함수값으로 하는 새로운 함수

y = f'(x)를 구하여 x값을 대입하면 보다 효율적으로 미분값을 계산할 수 있다.

이와 같이 어떤 함수 y = f(x) 함수에서 x값에 있어서의 미분값으로 하는 새로운 함수

y = f' (x)를 y = f(x)의 도함수라고 한다.

​

1. 도함수의 뜻

​

가. 도함수의 정의

함수 f(x) = x2 의 x = a 에서의 미분계수 f'(a) 는​

따라서 f(x) = x2 의 x = a 에서의 미분계수 f'(a) 는 a의 값을 2배하여 구할 수 있다. 즉,

f'(1) = 2, f'(√2) =2 √2, f'(π) = 2π, … f'(x) = 2x 이다.

일반적으로 함수 y = f(x)가 정의역 X에서 미분가능하면 정의역에 속하는 모든 x에 대하여

미분계수 f'(x)를 대응시키는 새로운 함수​

이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

이 때, 함수 f'(x)를 f(x)의 도함수라고 하고, 이것을 기호로

함수 y = f(x) 에서 그 도함수 f'(x)를 구하는 것을 함수 y = f(x)를 x에 대하여 미분한다고 하고 그 계산법을 미분법이라고

한다.​

【평균변화율, 미분계수, 도함수의 비교】

함수 y = f(x) 에서​

   ① 구간에서 x의 증분과 y의 증분의 비율

   ② 기하학적 의미 : 두 점 P(a, f(a), Q (b, f(b))를 지나는 직선의 기울기​

   ① 특정한 값 x = a 에서 평균변화율의 극한

   ② 기하학적 의미 : 곡선 y = f(x) 위의 점 P(a, f(a) 에서의 접선의 기울기​

   ① 특정값이 아닌 정의역에 속하는 임의의 x에 대한 미분계수 함수

   ② 기하학적 의미 : 곡선 y = f(x) 위의 임의의 점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기

​

2. 미분법의 공식

도함수의 정의에서 도함수가 존재한다면 주어진 함수의 도함수를 구할 수 있게 된다.

그런데 도함수를 구할 때 정의에 의한 극한의 식으로 도함수를 구하기는 번거롭게 복잡

하다. 따라서 도함수를 구할 때 정의에 의해서 구하는 것보다 공식으로 도함수를 구하면

쉽고 편리하게 구할 수 있다.

​

가. 도함수의 정의에 이용하여 함수 f(x) = xn (n은 양의 정수)의 도함수를 구해 보자.​

인수분해 하면​

나. 상수함수 f(x) = C (C는 상수)의 도함수는

상수함수는 모든 점에서의 접선의 기울기가 항상 0이라는 것을 알 수 있다.

한편 아래의 미분법의 공식과 함수 y = xn 의 미분법을 이용하면 도함수의 정의를 이용하지

않더라도 다항함수​

의 도함수를 구할 수 있다.

【미분법의 도함수】

 두 함수 f(x), g(x)의 도함수가 존재할 때

   ① y = cf(x) 이면 y' = c f'(x) (단, c 는 상수)

   ② y = f(x) ± g(x) 이면 y' = f'(x) ± g'(x) (복부호 동순)

   ③ y = f(x) g(x) 이면 y' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) 가 된다.

또한 세함수 f(x), g(x), h(x)가 미분가능하면 함수 y = f(x) g(x) h(x) 도 미분가능하고

y' =f'(x) g(x) h(x)+ f(x) g'(x) h(x)+ f(x) g(x) h'(x) 이다.

​

다. 구간별로 정의된 함수의 도함수

구간별로 정의된 함수

f(x)= x (x < 0), x3 (x≥0) 의 도함수를 구할 때

각 구간의 도함수를 구하여 다음과 같이 나타내는 잘못을 해서는 안된다.

f'(x) = 1 (x <0), 3x2 (x ≥0)

구간의 경계가 되는 x = 0에서 평균변화율의 우극한은 0, 좌극한은 1로 같지 않기 때문에

x = 0 에서의 미분계수는 존재하지 않게 된다.

따라서 아래와 같이 나타내야 한다.

f'(x) = 1 (x <0), 3x2 (x >0)

일반적으로 구간별로 정의된 함수가 주어졌을 때, 그 구간의 경계점에서의 미분가능성은 알

수 없다. 경계점에서 미분가능하려면 미분계수가 존재해야 한다. 즉, 경계점에서의 평균변

화율의 극한이 존재해야 하므로 반드시 우극한과 좌극한이 서로 같은지 확인해야 한다.

참고로​

x = a 를 기준으로 나눠서 정의된 다항함수에서의 기하학적인 의미의 y = f(x)의 그래프가

x = a 에서 이어져 있고, 우극한에서의 접선의 기울기와 좌극한에서의 접선의 기울기가

같아야 한다.

​

#도함수 #비분 #우극한 #좌극한 #기하학 #다항함수 #기울기 #미분계수 #함수 #경계점

#평균변화율 #극한 #접선 #정의역 #방정식 #상수 #상수함수

또한 x의 증분에 대한 y의 증분의 비율​

위 식을 x값이 a에서 b로 변할 때의 함수 y=f(x)의 평균변화율이라고 한다.

함수 y=f(x)의 평균변화율은 두점 P(a, f(a)), Q (b,f(b))을 지나는 직선의 기울기와 같다.​

나. 미분계수 (순간변화율)

함수 y=f(x)에서 x의 값이 a 에서 a+△x (=b)까지 변할 때, 평균변화율은 다음과 같다.​

여기서 △x → 0 일 때 평균변화율의 극한값이​

함수 y=f(x)는 x=a에서 미분가능하다고 하고 이 극한값을 함수 y=f(x)의 x=a에서의 순간변화율 또는 미분계수라고 하며

기호로는 f'(a)와 같이 나타내고 f prime a라고 한다. 또한 함수가 어떤 구간에 속하는 모든 x의 값에서 미분가능할 때,

함수 y=f(x)는 그 구간에 서 미분가능하다고 한다. 특히 함수 y=f(x)가 정의역에 속하는 모든 x 의 값에서 미분가능할 때

함수 y=f(x)는 미분가능한 함수라고 한다. 한편, a+△x=x라고 하면 △x=x-a이고 △x →0일 때 x→a 이므로​

다음 함수는 미분이 가능할까 ?​

함수 f(x)=x2 은 x=2에서 미분가능하고 그 때의 미분계수는 f'(2)= 4 이다.

​

[정리하면]

함수 y = f(x)에 대하여

① x의 값이 a에서 b까지 변할 때의 평균변화율은​

② x = a 에서의 미분계수(순간변화율)은​

또한 미분계수(순간변화율)은 다음과 같이 나타낼 수도 있다.​

다. 미분계수의 기하학적 의미

앞에서 x의 값이 a 에서 b까지 변할 때 함수 y=f(x)의 평균변화율​

따라서 함수 y=f(x)의 x = a 에서의 미분계수

곡선 y=f(x) 위의 점 P(a,f(a))에서의 접선 ℓ의 기울기와 같음을 알 수 있다.

[미분계수 f'(a)의 기하학적 의미

함수 y=f(x)에 대하여 x=a에서의 미분계수 f'(a)는 곡선 y=f(x) 위의 점 (a, f(a)에서의 접선의 기울기와 같다.

점 (a, f(a))에서의 접선이 x축의 양방향과 이루는 각을 θ 라 하면, 미분계수 f'(a)는 다음과 같다. f'(a) = tan θ

​

[평균변화율과 미분계수의 대소 관계]

평균변화율과 미분계수의 기하학적 의미를 이용하면 그 대소 관계를 알 수 있다.

함수 y=f(x)의 그래프가 위 그림과 같을 때, 다음 식의 값의 대소를 비교하여 보자.

다음 함수 y=f(x)의 그래프가 다음 그림과 같을 때

다음 식의 값의 크기를 비교해 보자.​

위 그래프는 아래로 볼록한 그래프로 위 식의 크기는 다음과 같다.​

2. 미분가능과 연속

앞에서 미분계수의 기하학적 의미는 곡선의 접선의 기울기와 같다고 했다. 그런데 불연속점

에서는 접선을 그릴 수 없으므로 미분이 가능하지 않다는 것을 예상할 수 있다.

그러면 연속인 점에서는 항상 접선을 그릴 수 있어 미분도 가능할까 ? 이에 대한 생각을 하

면서 y = f(x)의 연속과 미분가능 사이에는 어떤 관계가 있는지 알아 보자.

​

가. 미분가능 : 연속

함수 y = f(x)가 x = a에서 미분가능하면 함수 y=f(x)는 x=a에서 연속이다.

[증명]

함수 f(x)가 x = a 에서 미분가능하면 미분계수​

f'(a)는 일정한 값이므로 다음이 성립한다.​

따라서​

나. 연속 ≠ 미분가능

앞의 명제의 역 '함수 y = f(x)가 x = a 에서 연속이면 y = f(x)는 x = a 에서 미분가능하다'

는 거짓이다. 즉, 함수 y = f(x)가 x = a 에서 연속이지만 y = f(x)는 x = a 에서 미분가능하지 않을 수 있다.

[증명]

함수 f(x) = ㅣx l 를 예로 들어 봅시다.

함수 f(x)는 x = 0 에서 미분가능하지 않다. 따라서 함수 f(x) = ㅣxㅣ는 x = 0 에서 연속이지만 미분가능하지는 않습니다.

미분 계수는 함수의 극한으로 정의되어 있다. 함수의 극한에서 좌극한과 우극한이 같은 값에 수렴할 때 함수의 극한이

존재한다고 한다. 즉, 미분계수가 존재하려면 △x → 0 일 때 평균변화율의 좌극한과 우극한이 같아야 한다.

따라서 위와 같은 반례에 의해 함수의 연속성이 함수의 미분가능성을 보장하지는 않는다.

즉, 함수 y = f(x)는 x = a 에서 연속이어도 일반적은로 함수 y = f(x)가 x = a 에서 미분이 가능한 것은 아니다. 또한 위의

함수에서와 같이 x = a 에서 연속이지만 x = a 에서 뽀족하면 (부드럽지 않으면) x = a 에서 미분가능하지 않다.

이러한 점을 뾰족한 점 또는 첨점이라 고 한다.

[함수의 미분가능과 연속]

함수 y = f(x)가 x = a 에서 미분가능하면 함수 y = f(x)는 x = a 에서 연속이다.

그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

[위 명제의 대우]

'함수 y = f(x)가 x = a 에서 연속이 아니면 함수 y = f(x) 는 x = a 에서 미분가능하지 않다' 도 성립한다.

[이차함수 접선의 기울기]