자기 모멘트 (magnetic moment)란 무엇일까 ?

전자기학을 공부한 사람이라면 자기모멘트(Magnetic Moment)란 개념을 많이 들어 봤겠지만 그 의미를 정확히 아는 사람은 많지 않은 것 같다.

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Magnetic field는 우리말로 자기장이라고 번역한다. Field란 단어는 '장'이란 말로 번역한다. 하지만 Moment는 우리말로 번역하지 못하고 모멘트라고 한다.

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그럼 이 모멘트(Moment)란 무엇인가 ?

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고등학교 물리시간에 '운동량'을 영어로 Momentum이라고 했던 것 같다. 이와 유사한 관성 모멘트 (moment of inertia)라는 것도 들어 봤을 것이다. 자기모멘트(Magnetic moment)도 관성 모멘트의 Moment와 같은 Moment일까 ?

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Wikipedia에 따르면 Moment를 다음과 같이 정의한다.

물리학에서 Moment란 그 식 안에 Distance(거리)와 Physical quantity(물리량)를 곱한 값이다. 이를 통해 Moment는 어떤 방식으로 이 물리량이 놓여지는지 / 정렬되는지 설명한다. 원리상으론 어떤 물리량도 Distance를 곱해서 Moment로 표현할 수 있다.

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위키피디아에 따르면 moment는 어떤 물리량과 거리의 곱과 관련된 것과 같다. 실제로 관성모멘트를 찾아보면 물리량 (여기선 질량 m)에 거리를 곱한 형태가 식에 포함되어 있음을 알 수 있다. 어떤 물리량에 거리를 곱한다는 것이 어떤 물리적 의미를 갖는 것일까 ?

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이해를 돕기 위해 예를 들어 물리량을 힘 F로 놓고 거리 r을 곱해 보자.

힘 F에 거리 r을 곱한 값, 어디서 많이 본 식이다.

바로 Moment of force의 다른 이름인 torque (토크, 돌림힘)이다. 기계공학에서는 torque를 Moment라고 부르기도 한다. 하지만 엄밀한 의미에서 토크(torque : moment of force)는 관성모멘트(moment of inertia) 처럼 moment의 한 종류다.​

모멘트를 이해하는 것은 어렵더라도 토크는 머리속으로 그리기가 상대적으로 쉽다.

토크도 모멘트의 한 종류라고 했으니, 토크를 통해서 모멘트를 이해하여 보자.

토크란 개념에서 중요한 것이 무엇일까 ? 바로 회전축 (axis of rotation)이다.

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예를 들어 완벽한 구체(sphere)인 축구공이 있다고 하자.

이 공의 회전축인 정가운데에 힘을 가하지 않고, 조금이라도 다른 곳에 힘을 가한다면

이 축구공은 회전하게 된다. 이 때 물체가 얼마나 회전하려는 지를 나타내는 것이 토크(torque)식이다. 토크식에서 거리 r은 회전축과 힘을 가하는 지점 사이의 거리이다.

 

 

위 그림에서 ----O 모양의 물체가 있다. 이 때 이 물체에 파란색 방향으로 힘을 가하면 축을 중심으로 왼쪽 방향으로 회전할 것이다. 여기서 검정색 방향으로 토크(torque)가 표현되는데, 화살표의 크기는 토크(torque)의 세기를 뜻한다. 화살표 방향은 단지 규칙으로 정한 것 뿐이다. (아마 오른손잡이였을) 누군가가 오래전에 오른손 법칙으로 하자고 정해서 위 그림과 같은 방향이 된 것 뿐이다.

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자, 그러면 토크(torque)는 어떤 물리량일까 ? 우리말로 돌림힘이니까 힘의 한 종류일까?

아니면 단위가 N·m 이니까 에너지 혹은 일의 한 종류일까 ?

둘 다 아니다.

토크(torque)는 '거리에 따라 변화하는 새로운 물리량'을 나타낸 것이다. 위 그림에서 처럼 똑같은 (파란색) 힘을 가했는데도 거리에 따라 (위 그림에서는 정비례) 달라지는 새로운 물리량이라 할 수 있다.

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그럼 이런 것을 뭐라고 부르면 좋을까 ? 바로 이런 것을 moment라고 한다.

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어떤 물리량이 일정하지 않고 변하면 정말 계산하기 귀찮을 것이다. 예를 들어 질량은 언제 어디서나 m으로 일정해야지, 이것이 기준점에 따라 바뀐다고 생각해 보자. 그냥 계산하는 것도 벅찬데, 머리가 더 복잡해진다. 하지만, 사실 방금 말한 것이 바로 관성모멘트 (moment of inertia)의 정의이다.

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즉, Moment란 어떤 물리량이 거리와 연관이 있을 때, 이 연관성을 나타내기 위해서 해당 물리량과 거리 r을 조합해서 새로운 물리량을 표현한 것을 말한다.

이 때 토크 (torque)의 경우 물리량 F와 거리 r과 연관되므로 단순히 거리 r을 곱해 주었고 관성모멘트의 경우 거리의 제곱(r2)과 관련되므로 제곱(r2)을 곱해 준 것이다. 거리(r)과 거리의 제곱(r2)은 차원이 다르지만 거리를 나타내며 물리량과 r의 곱이므로 관성모멘트나 토크는 모두 moment라고 부른다.

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그렇다면 거리와 연관이 있다는 것은 무엇을 의미하는 것일까 ?

여기서 중요한 키워드는 바로 회전이다.

Moment에서 물리량과 곱해지는 거리(distance)는 회전축(axis)과 특정지점 사이의 거리를 말한다. 어떤 물체가 회전한다는 것은, 그냥 정적으로 (static) 가만히 있는 것이나 단순히 한 방향으로 움직이는 것과는 차원이 다르다. 지구도 스스로 돌고 (rotation) 있고, 아주 작은 전자도 스스로 돈다(spin). 이 세상 모든 것들이 모두 돌고 있다고 보아도 무방하다. 사실상 모멘트(mement)는 회전하는 어떤 물리량을 수학적으로 나타내기 위해서 만들어 낸 중요한 개념 중 하나이다.

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앞서 말한 torque (moment of force)도 결국 회전하는 물체를 해석하는데 필요한 새로운 힘을 정의한 것이고, 관성 모멘트 역시 회전하는 물체에 필요한 새로운 질량을 정의한 것이다. 즉, 기존 물리량에다 얼마나 잘 회전하는지를 포함한 새로운 물리량이다.

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이제 모멘트(moment)란 개념에 대해 어느 정도 감이 잡혔을 것이다. Moment는 결국 어떤 물체가 회전하는 것을 수학적으로 이해하기 위해 거리와 연관된 새로운 물리량을 기존 물리량과 거리의 곱으로 표현한 것이다.

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이제 자기모멘트 (magnetic moment)에 대해 알아 보자.

먼저, 'magnetic'에 대해서 짚고 넘어가자. '자기'란 무엇일까? 자기장은 왜 생길까 ?

모든 과학은 단순화(simplification)하는 것으로 시작된다. 가장 간단하게 음전하를 띤 전자 1개가 공간 중에 있다고 가정하자. 이 전자에서는 전기장이 사방으로 퍼져 나간다. 이것이 바로 그 유명한 '가우스 법칙'이다.

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그런데 관찰자가 갑자기 움직인다고 생각해 보자.

그러면 이 관찰자에게는 더이상 전기장이 보이지 않는다. 이젠, 자기장이 관측된다! 반대로 관찰자는 가만히 그대로 있는데, 그 전자 1개가 움직인다고 가정해 보자. 결국 관찰자 입장에서는 전류를 보는 것과 같게 된다. 즉, 관찰자에겐 자기장이 보인다.

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결국 전기장과 자기장은 같은 것이며, 상대적인 움직임에 따라 다르게 보일 뿐이다. 이것이 아인슈타인의 특수상대성이론이다. 물론 시공간을 다룬 재미난 이야기들이 더 유명하지만, 실제 특수상대성 이론 논문의 제목은 'On the Electrodynamics of Moving Bodies" 이다. 사실 전자기학을 제대로 공부하려면 특수상대성 이론을 공부해야만 한다. (이에 대해 더 자세한 것을 알고 싶다면 Purcell의 "Electricity and Magnetism"이란 책을 보면 된다.)

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어쨌든, '자성'은 상대적인 개념이다. 그런데 관찰자로 부터 상대적으로 계속 움직여서 너무 멀어지는 것은 아닐까 ? 너무 쉬운 문제지만, 답은 당연히 '회전'이다. 관찰자 주위를 계속 돌면, 일정한 거리에서 계속 상대적인 움직임을 유지할 수 있다.

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위의 말이 어렵다면 자석(magnet)을 생각해 보자. 관찰자인 나도 가만히 있고 자석도 가만히 있는데, 자기장이 느껴진다. 어떻게 된 것일까 ? 답은 자석 안에 있다. 자석 자체는 가만히 있는 것처럼 보여도, 자석 내부에서는 전하를 띤 무엇인가가 계속 돌고 있는 것이다. 이러한 개념을 '자화(magnetization)'라고 한다.

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어쨌든 왜 이 이야기를 꺼냈는지 눈치챘을 것이다. 바로 '회전'과 모멘트(moment)의 관계에 대해 앞에서 그리도 오랫동안 이야기 했기 때문이다. 'magnetic'이 붙은 모든 것은 '회전'과 관련이 있기 때문에, 'magnetic moment'도 당연히 매우 중요한 개념인 것이다.

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사실 정확한 명칭은 'magnetic dipole moment'이다. 우리말로는 '자기 쌍극자 모멘트'라고 할 수 있다. 자기 쌍극자 (magnetic dipole)란 무엇일까 ? 위키피디아에서는 아래 그림으로 설명을 한다.

 

왼쪽 그림이 바로 자기 쌍극자(magnetic dipole)이다. 전기장과 달리 자기장에서는 아직 단극 (monopole)이 밝혀지지 않았기 때문에, 위와 같은 쌍극(dipole)이 최소 단위이다. 물론 왼쪽 그림은 이름에 맞춰서 두개의 극(pole)로 표현만 한 것이다. 현실에서는 우측 그림과 같은 '아주 작은 전류 고리'가 있어야 마치 쌍극(dipole)이 있는 것처럼 역할한다. (사실 우측 그림의 고리면적을 극한으로 작게 하면 왼쪽 그림과 같이 된다.)

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좀 전에 전기장을 설명할 때 가장 단순화된 개념으로 전자 1개를 제시했듯이, 자기장을 만들수 있는 가장 단순한 개념은 위의 전류 고리(current loop)이다. 이 고리에 흐르는 전류를 I, 고리 면적을 A라고 하면, 이 때의 magnetic moment는 다음과 같이 나타낸다.​

이것이 magnetic moment의 가장 간단한 모양이다.

물론 전류가 흐르는 구조가 단순한 원형 고리가 아니라 복잡하다면, 식도 복잡해진다.

수학공부가 목적이 아니라 개념 이해가 목적이므로, 가장 간단한 꼴을 가지고 이해해 보자.

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위에서 moment는 물리량과 거리의 곱이 포함된다는 것을 알았다. 여기서 물리량 역할을 하는 것은 전류인 I임이 자명하다. 그렇다면 거리 역할은 면적(area)인 A가 된다. 사실 면적은 r2의 함수이기 때문에 모멘트(moment)의 조건인 물리량과 거리(r)의 곱이라 할 수 있다. 여기서 회전축은 고리의 중심이 되며, 이 축으로 부터 전류가 흐르는 고리 테두리 사이의 거리가 r이 될 것이다.

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전류 곱하기 r2이 아니라 전류 곱하기 면적 A인 이유는, 당연한 이야기지만 전류가 원통 루프(loop)만을 흐르는 것이 아니기 때문이다. 직사각형 loop일 수도 있고, 어떤 모양일 지라도 2차원(flat)이면 위 식을 만족한다.

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이제 위 식을 간단히 해석해 보자. magnetic moment는 전류가 커지면 그 값도 커진다. 당연하다. '전류'라는 것을 인용해서 회전하는 무엇인가를 설명하기 위해 만든 새로운 물리량이기 때문이다. 또한 같은 전류가 흐른다하더라도 회전 고리가 넓어지면 힘이 세진다. 이것이 물리적으로 무엇을 의미할까 ? 이것에 대해서 좀더 숙고가 필요하다. 결국 왜 회전축에서 멀리 떨어질 수록 torque는 커지는지와 같은 문제이다.

 

위 그림이 왼쪽 끝에 경첩이 달린 문이라고 하자. 위 그림에서 갈색 문을 연다고 한다면, A지점에서 미는 것이 쉬울까? 아니면 B지점을 미는게 쉬울까 ? 당연히 B지점일 것이다. 이는 직관(intuition)이 가능한 문제이다. 그럼 왜 그럴까 ? 이것을 이해하려면 어릴 적에 배운 물리 지식이 좀 더 필요하다. 여러 방법이 있겠지만 한번 일(work)로 설명해 보자.

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일(work, Joule)의 공식은 힘 곱하기 이동거리이다. 일(J) = 힘(F) × 거리(s) [N·m]이다. 이는 매우 당연한 것이다. 더 무거운 것을 들면 더 힘들고, 그것을 들고 더 멀리 움직인다면 더욱더 힘이 든다. '일'이 커지기 때문이다. 일은 곧 에너지이므로, 에너지를 더 많이 소모하는 것이기 때문이다.

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이제 위 그림에서, A와 B사이의 중점 C에서 문을 미는 것과 B에서 문을 미는 것을 비교해 보자. 같은 각도로 문을 열었을 때, h1과 h2는 2대가 차이가 난다고 하자. 하지만 이 둘의 경우에는 같은 '일'을 한 것이다. 즉 일은 힘 곱하기 이동거리이므로, B지점에서 밀 때 필요한 힘은 C지점에서 필요한 힘의 1/2이 됨을 알 수 있다.

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그렇다면 이번에는 같은 '일'을 하지 않고, 같은 '힘'으로 B지점과 C지점에서 문을 민다고 생각해 보자. 같은 원리로 B지점에서 C지점 보다 2배 더 많이 움직일 것이다. B지점에서는 적은 힘을 주어 밀어도 되는데 미련하게도 굳이 같은 힘으로 밀었기 때문이다. 어쨌든, 회전축에서 거리가 멀수록 더 잘 돌아 문이 잘열리게 된다.

 

마찬가지로 이제 Magnetic moment를 생각해 보자.

위 그림에서는 면적이 A가 아니라 S이다. 왜 magnetic moment에서 같은 전류일 때 면적값이 커질 수록 magnetic moment 값이 커지는 것일까? 문을 열 때와 같이 회전축에서 멀어질 수록 더 잘 돌기 때문이다. Moment의 한 종류인 토크(torque)와 같이 생각하면 된다. 다만, 토크(torque)는 1차원이고 자기모멘트(magnetic moment)는 2차원이라고 생각하면 된다.

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토크 (torque : moment of force)에서 거리 r이 멀어지면 더 잘 도니까 토크값이 커진다. 마찬가지로 자기모멘트(magnetic moment)에서도 면적이 커질수록 (2차원적으로) 더 잘 도니까 값이 커진다. 위 내용을 이해하면 어느 정도 자기모멘트(magnetic moment) 무엇인지 감이 잡힐 듯 하다.

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회전하는 전류를 나타내는 새로운 물리량이므로, 전류가 커질수록 모멘트(moment)값이 커지고, 면적이 커질수록 회전을 잘하니까 값이 커지는 것이다.

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그렇다면 왜 하필 전류일까 ? 그 이유는 우리가 보통 자기장을 전류의 함수로 표현하기 때문이다. 좀 전에 전기장과 자기장이 같은 것이라고 설명했다. 전기장은 전하 q의 함수로 표현한다. 그런데 이 때 q가 움직이면 전기장은 자기장으로 '보인다'라고 하였다. 전하가 움직이면 무엇인가 ? 전류라고 한다. 즉, 회전하는 전하 (곧 전류)를 설명하는 새로운 물리량이 있으면 수학적으로 정리하기도 쉽고 이해하기도 쉽기 때문에 자기모멘트(magnetic moment)가 도입된 것이다.

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이제 자기모멘트(magnetic moment)가 어떤 것인지 물리적으로 어느 정도 감이 온다면, 다음의 중요한 식을 살펴 보자. 이 식은 기본적인 식인 F = q × B 에서 유도한 F = BIL에서 유도된 식이다.

 

위 식에서 좌변의 타우(tau : τ)는 토크(torque)이다. 우변의 뮤(mu : μ)는 자기모멘트(magnetic moment)이고 B는 외부 자기장이다. 이미 자기모멘트(magnetic moment) μ가 존재한다는 것만으로도 우리는 무엇인가 화전하는 전하가 있다는 것이며, 이에 따른 자체 자기장이 있다는 것을 알고 있다.

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즉, 이미 돌면서 자기장을 만들고 있는 자기모멘트(magnetic moment)가 다른 외부 자기장을 만나면, 회전하려는 힘을 또 받는다는 것을 위식은 나타내 주고 있다. 즉, 회전축이 점점 변하게 되는데, 이를 세차운동(procession)이라 한다. 회전축은 외부 자기장과 같은 방향이 될 때까지 점점 정렬(align)된다.

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이 식은 어떻게 보면 자기모멘트(magnetic moment)의 존재 이유이기도 하다. 좀 전에 외전하는 전하에 대하여 자기모멘트(magnetic moment)라는 새로운 물리량을 도입한 이유는 수학적 편리함을 위해서라고 했다. 바로 위식에서다.

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전기장을 생각해 보자. 전기장에서 전하는 회전하지 않는다. 따라서 전기장을 해석할 때 q의 절대적인 크기와 위치만 필요하다. 하지만 자기장은 다르다. 자기장은 위에서 설명했듯이 '전하의 상대적인 움직임'이 꼭 필요하기 때문이다. 가장 쉬운 예인 '회전하는 전하', 즉, 고리(loop)에 흐르는 전류는 회전축이 존재한다.

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이 때 회전축이 서로 다른 자기장끼리 만나면 어떻게 될까 ? 즉, 자기장에서는 회전축이 고려되어 있는 수식이 꼭 필요한 것이다.

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물리학자들은 이를 너무도 예쁘게 (간결하게), torque와 B (field)의 수식으로 표현하였다. 이 때 이 들을 이어주는 벡터 값을 자기모멘트(magnetic moment)라고 정의한 것이다. 이것이 사실 자기모멘트(magnetic moment)의 정의이다.

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위에서 길게 쭉 설명한 것은 이 자기모멘트(magnetic moment)가 내포하는 자세한 의미에 대해, 그리고 왜 하필 모멘트(moment)라고 이름이 붙여졌는지에 대한 이유에서였다.

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번외로, 우리의 자기모멘트(magnetic moment)를 위한 가장 간단한 예시는 작은 전류 고리였다. 전자기학에서 '회전'을 나타내는 최소 단위이다. 하지만 전류 고리 안을 들여다 보자. 그 안에서 움직이고 있는 전자들은 사실 스스로도 자전을 하고 있다. 이것이 그 유명한 스핀(spin)이다. 위의 내용을 다 읽었다면 당연히 spin moment라는 것도 존재함을 생각할 수 있어야 한다. 이에 대해선 양자역학에서 재밌게 배울 수 있다.

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