아낌없이 주는 나무

Darcy's Law : 달시의 법칙

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1856년 프랑스인 다르시(H. Darcy)가 여과사(濾過沙)의 실험에서 발견한 법칙으로

한마디로 말하면 모래로 가득 채운 원통에 물을 통과시키는데 필요한 압력과 원통의 길이와의 관계를 나타내는 식을 말한다.

즉, 다공성 매질(모래)를 통과하는 수량(물의 양)이 압력과 원통의 길이에 따라 얼마나 달라 지는가를 나타내는 식이다.

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다르시는 모래 내부에서 물의 움직임을 규명하기 위해 실험을 하였다.

시간(t) 동안 모래 단면적 A를 통하여 흐른 물의 체적(수량, Vol), 수두(水頭, h1과 h2)를 측정한 결과 물의 체적(수량, Vol)과 다른 요소들 사이에는 일정한 관계법칙이 있음을 발견하였다.

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Darcy는 모래층을 통과하는 물의 유동을 연구하던 중에 모래층을 통과하는 물의 유량 Q는 모래층의 지점1의 수두 h1과 지점2의 수두 h2의 차에 비례하고, 1, 2 지점간의 거리 L에 반비례하며, 단면적 A와 매질의 성질에 따라 좌우되는 계수 K 즉, 수리전도도에 비례함을 알아 냈다.

다르시의 법칙은 다공성 매질을 통과하는 유체의 단위 시간당 유량과 유체의 점성, 유체가 흐르는 거리와 그에 따른 압력 차이 사이의 비례관계를 보여준다. 유체로 포화된 다공성 물질(多孔性物質) 매체 속을 통과하는 수량(水量)은 수두손실(水頭損失)에 비례하고 통과하는 매체의 거리에 반비례한다는 것을 보여준다.

유량 Q (㎥/s)는 매질의 투과율 (Permeability, K), 물이 흐르는 매질의 내부 단면적 A과 유체가 흐르는 두 점간 압력차이 (Pb - Pa)의 곱을 유체가 흐르는 길이(ℓ)로 나눈 것과 같다. 음의 기호는 압력이 낮아지는 방향으로 유체가 흐른다는 것을 의미한다.

여기서 투수계수는 유체의 점성, 매질의 특성 (흙 입자의 크기와 모양, 배열 상태, 포화도,

간극비 등)과 관련 되어 정해지는 값이다.

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적용범위

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다르시의 법칙은 유속이 느린 점성 흐름에 대해서만 유효한데 대부분의 흐름에는 다르시의 법칙을 적용할 수 있다. 일반적으로 레이놀즈 수가 1보다 작은 흐름은 층류이고 다르시의 법칙을 적용할 수 있으며 실험에 의하면 레이놀즈수가 약 10 정도인 흐름까지도 다르시의 법칙을 적용할 수 있다.

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#달시 #다르시 #유체 #손실수두 #유량 #압력 #매질 #투과율 #단면적 #길이 #레이놀즈

1. 상대속도

 ▣ 운동하고 있는 관찰자가 본 물체의 속도

  ⊙ A가 본 B의 상대속도 = B의 속도 - A의 속도

    ※ 속도에는 방향이 있다. 즉, 플러스 (+)와 마이너스 (-)가 있게 된다.

위 그림에서 왼쪽은 A가 10 m/s 으로 가고 있고 B가 20 m/s 으로 가고 있다면 상대 속도는 20 - 10 = 10 m/s 가 된다.

오른쪽 그림은 A가 10 m/s 으로 가고 있고 B가 20 m/s 으로 다가 오고 있다면 상대속도는 20 - (-10) = 30 m/s 가 된다.

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2. 특수상대성 이론의 배경

 ▣ 에테르 : 빛을 전파시키는 매질 ( 매질 : 파동을 매개하는 물질)

  ※ 에테르는 빛을 전파시키는 매질을 일컫는 것인데 빛은 입자지만 매질을 통해 전파시킬 수 있다고 한다.

 ▣ 마이컬슨 - 몰리 실험

  ⊙ 에테르를 통해 전달되는 빛의 속력 차이로 부터 에테르의 존재를 확인하기 위한 실험

위 그림과 같이 매질을 강물이라고 하고 배가 빛이라고 하면 왼쪽은 빛이 매질을 타고 흐르므로 속도가 빠르고 오른쪽 그림은 빛이 매질을 거슬러 올라가므로 속도가 늦어질 것이다.

이와 같이 매질의 상태에 따라서 빛의 속도가 변하게 될 것이라고 생각하고 실험을 해 보았다. 실험의 결과는 다음 그림으로 설명할 수 있다.

  ▣ 예측 : 에테르 바람에 의하여 빛 검출기에 도달하는 시간 차이 존재

  ▣ 결과 : 1 → 2 → 3 과 1' → 2' → 3' 경로의 빛이 검출기에 동시에 도달

  ▣ 결론 : 빛의 속력 차이가 없으므로 에테르가 존재하지 않는다.

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3. 특수상대성 이론의 두 가정

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아인슈타인은 마이컬슨 - 몰리의 실험을 바탕으로 특수상대성 원리를 발견하게 된다.

 ▣ 상대성 원리 : 모든 관성계 좌표계에서 물리법칙은 동일하게 성립

   ※ 관성 좌표계란 정지 또는 등속운동을 하는 좌표계를 말함

 ▣ 마이컬슨 - 몰리 실험 : 에테르를 통해 전달되는 빛의 속력 차이로 부터 에테르의 존재를 확인하기 위한 실험

 ▣ 관성 좌표계에서 관찰되는 물리랭은 다를 수 있지만 그 물리량 사이의 관계식은 동일하게 성립한다. 예를 들어 지구에

      서 몸무게가 60 kg인 사람은 달에 가면 10 kg으로 줄어 든다. 중력의 차이 때문이다. 이와 같이 물리량은 달라지지만

      적용하는 공식은 F = ma로 같다.

위 그림의 왼쪽의 경우 트럭에서 공을 위로 던졌다가 받으면 트럭 위에 있는 실험자 입장에서는 공이 위 아래로 움직였다고 생각하지만 지면 위에 있는 관찰자 입장에서는 공이 포물선을 그리며 움직이는 것으로 보인다. 따라서 공의 움직임은 보는 시각에 따라서 달라 보일 수가 있게 된다. 그런데 힘의 공식 F = ma는 동일하게 적용될 수 있다. 즉, 시각적으로는 달라 보이나 공식만은 동일하게 적용된다. 이 상대성 원리가 특수상대성 원리의 하나이다.

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4. 광속 불변의 원리

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 ▣ 광속 불변의 원리

   ⊙ 모든 관성 좌표계에서 보았을 때 진공중에서 진행하는 빛의 속력은 관찰자나 광원의 속도에 관계없이 일정하다.

다른 속도는 관찰자와 보는 시각에 따라 변할 수 있어도 진공 중에서 진행하는 빛의 속력은 관찰자나 광원의 속도에 관계없이 일정하다. 빛의 속력은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

    빛의 속력 = 30만 ㎞/s = 3 × 108 ㎞/s = C

위 그림에서 왼쪽은 어떤 사람이 기차 안에서 얼굴을 내밀고 기차 전진 방향으로 화살을 쏘는 장면이다. 기차의 속도가 100 ㎞/h 이고 화살의 속도가 200 ㎞/h 라면 기차 밖 지면에서 보는 관찰자 입장에서 보면 화살의 속도는 100 + 200 = 300 ㎞/h가 될 것이다.

그런데 오른 쪽 그림은 기차가 100 ㎞/h로 달리고 광원에서 빛을 기차의 전진 방향으로 쏜다면 지면에 있는 관찰자 입장에서 볼 때 빛의 속도는 기차의 속도와 관계없이 일정한 C가 된다.

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5. 동시 상대성

 ▣ 동시 상대성

  ⊙ 한 관성 좌표계에서 동시에 일어 난 두 사건은 다른 관성 좌표계에서 볼 때 동시에 일어 난 것이 아닐 수 있다.

위 그림을 보자. 위 그림에서 우주선이 광속에 가까운 0.9C로 움직이고 있다고 하자.

그런데 우주선의 중앙에서 빛이 발사되어 우주선 양쪽에 있는 검출기로 이동한다고 하자.

이 경우 2가지 경우의 상황이 발생할 수 있다. 먼저 관찰자가 우주선 안에 있는 경우에는 빛은 양쪽 검출기에 동시에 도달되는 것으로 관찰될 것이다. 따라서 사건 a, b는 동시에 일어나게 된다.

위 그림의 오른쪽을 보면 우주선 밖에 관찰자가 있다. 우주선 밖에 있는 관찰자 입장에서 보면 광선의 움직임은 상황이 달라지게 된다. 우주선 중앙에서 빛이 발사되었지만 그와 동시에 우주선이 빛과 비슷한 속도 움직이고 있다. 우주선 밖의 관찰자 입장에서 보면 빛이 우주선 중앙에서 발사되었지만 우주선의 빠른 이동으로 빛이 우주선의 중앙이 아니라 중앙 보다 왼쪽에서 출발한 것으로 보일 것이다. 따라서 오른쪽 그림에서는 왼쪽 검출기에 빛이 먼저 도달한 것 처럼 우주선 밖의 관찰자에게 보이며 사건 b가 a보다 먼저 일어난 것 처럼 보일 것이다.

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6. 시간 지연

 ▣ 시간지연 : 정지한 관찰자가 빠르게 운동하는 관찰자를 보면 상대편의 시간이 느리게 가는 것으로 관찰된다.

 ▣ 고유시간 : 좌표계 내에서 물체와 함께 운동하는 관찰자가 측정한 시간

위 그림에서 우주선은 오른쪽 방향으로 빠르게 이동한다고 가정을 하면 우주선 안에 있는 관찰자는 우주선 밖에 정지해 있는 사람이 왼쪽 방향으로 빠르게 움직이는 것 처럼 보일 수 있고 우주선 밖에 정지해 있는 관찰자 입장에서는 우주선이 오른쪽 방향으로 빠르게 움직이는 것으로 관찰될 것이다. 우주선 안에 있는 사람이 측정한 시간을 고유시간이라고 하고 우주선 밖에 정지해 있는 관찰자가 측정한 시간에 대하여 알아 보면 위 그림에서 관찰자가 S' 이건 S 이건 간에 빛의 속력은 항상 일정하므로 C가 될 것이다. 빛의 이동거리를 보면 우주선 안에 있는 관찰자 입장에서 볼 때에는 빛이 위로 올라갔다 아래로 곧 바로 내려 오는 것으로 보일 것이다. 즉, 빛의 수직거리 L' × 2 가 빛의 이동거리가 될 것이다. 그런데 우주선 밖에 정지해 있는 관찰자가 보았을 때는 우주선이 오른쪽 방향으로 빠르게 움직이고 있다. 따라서 우주선 밖의 관찰자 입장에서 빛의 움직임은 오르쪽 경사방향으로 우상향으로 올라갔다가 경사선을 이루며 우하향 방향으로 내로오는 것 처럼 관찰될 것이다. 결과적으로 우주선 외부에 있는 관찰자 시각에서는 빛의 이동거리가 늘어난 것이다.

위 그림에서 지구와 달 그리고 목성은 정지해 있고 우주선이 지구에서 목성 방향으로 움직이고 있고 관찰자 S'는 우주선에 있고 관찰자 S는 정지해 있는 달에 있다고 가정을 하자.

달에 있는 관찰자 S가 측정했을 때 정지해 있는 지구와 목성까지의 길이를 고유길이라고 한다. 그런데 우주선 안에 있는 관찰자 S'의 입장에서 볼 때 지구와 목성과의 거리는 짧아진다는 것이다.

우주선이 V라는 속도로 움직이고 있다고 하자. 우주선 안에 있는 S'의 관점에서는 V라는 속도로 T고유 시간 동안 이동하게 된다. 우주선 밖에 정지해 있는 관찰자 S 입장에서 보면 우주선은 V라는 속도와 T' (팽창된 시간) 시간 동안 이동하게 된다. 따라서 우주선 안에 있는 관찰자 S' 입장에서 측정한 지구와 목성까지의 거리가 짧아지게 된다. 이 때 주의 할 점은 우주선 진행방향으로 거리가 짧아진다는 것이다. 결국 빠르게 움직이는 물체의 거리는 짧아진다고 할 수 있다.

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1. 열기관

  ▣ 열기관 : 열원으로 부터 받은 열에너지를 유용한 일로 바꾸는 장치

위 그림을 보면 높은 고열이 있고 그 열이 열기관으로 흡수된다. 흡수된 열은 열기관을 이용하여 일을 하고 낮은 저열원이 된다. 이 때 받은 열로 외부에 일을 다하지 못한 열은 외부에 열로 방출하게 된다. 이 때 높은 고열원은 Q1이라 하고 방출된 열을 Q2라고 하고 한 일을 W라고 한다.

이를 이용하여 열기관의 열효율을 알 수 있다.

열효율은 기호로 e라고 쓰고 식으로는 W/Q1으로 나타낼 수 있다.

다른 식으로는 W = Q1 - Q2 가 된다.

따라서 열효율은 (Q1 - Q2) / Q1 가 된다.

즉, 열효율이 1인 열기관은 없다고 할 수 있다.

그 이유는 고온에서 시작한 열에너지가 이동하면서 저온으로 되는데 고온의 열이 저온의 열로 빠져 나가고 저온으로 된 열에너지는 다시 고온의 열에너지로 보낼 수가 없다.

따라서 저온이 된 열은 고온으로 바꾸는 일을 할 수 없다.

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2. 카르노 기관

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  ▣ 카르노 기관 : 열효율이 가장 높은 이상적인 열기관

카르노 기관에서도 일반적인 열효율은 다른 열기관과 같은 식을 적용 한다. 그런데 표현을 조금 다르게 한다. 일단 소문자 e는 열효율을 나타낸다. 그리고 카르노 기관에서는 절대온도를 사용한다. 따라서 고열원의 절대온도 분의 저열원의 절대온도 이런 식으로 열효율 표현식이 달라진다.

위 그래프는 카르노 기관에서의 열순환과정을 나타낸 것인데 순환과정에서 일을 하는 과정을 나타낸 것이다. 왼쪽 맨 위 지점에서 열을 받으면서 같은 등온선 내에서 이동하는 등온현상을 나타낸다. 이 구간을 등온팽창이라고 하고 오른 쪽 위 지점에서 오른쪽 아래 지점으로의 이동은 열은 출입이 없이 부피가 팽창하는 단열팽창이 일어나고 그리고 오른쪽 아래에서 왼쪽 아래로 이동하는 것은 같은 온도에서 열을 방출하는 등온압축이 일어난다. 마지막으로 왼쪽 아래에서 왼쪽 위로 이동하는 것은 단열압축이 일어난다.

카르노 기관이 하는 일은 곡선 내부의 면적이 된다.

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3. 영구기관

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▣ 제1종 영구기관 : 외부 에너지의 공급없이 작동하는 기관

     ※ 열역학 제1법칙에 위배된다.

▣ 제2종 영구기관 : 열기관이 작동하며 방출한 낮은 온도의 열을 다시 높은 온도로 보내 사용할 수 있는 열효율이 100%인

                                 열기관

  ※ 이는 열역학 제2법칙에 위배된다.

  ※ 현실세계에서는 영구기관이란 있을 수 없다.

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#카르노맵 #카르노 #열기관 #에너지보존법칙 #열역학 #열효율

⊙ 운동에너지 (Kinetic energy) : Ek 는 물질의 운동과 관련되고 시스템의 속도가 V 일 때  운동에너지는 다음과 같다.​

  따라서 운동에너지와 위치에너지를 다시 쓰면 다음과 같다.​

 ⊙ 위의 운동에너지와 위치에너지를 질량으로 나눈 단위 질량당 위치에너지와 운동에너지를 각각 ek, ep 로 나타내면

      다음과 같다.​

 ⊙ 역학적 에너지 (Mechanical energy) : 위치에너지와 운동에너지의 합을 역학적 에너지 또는 기계적 에너지라 한다.

      시스템의 역학적 에너지를 Eme 라고 하면 다음과 같다.​

  ⊙ 시스템의 단위 질량당 역학적 에너지를 eme 라고 하면 다음과 같다.​

[보충설명]

검사체적(개방계)에서는 검사체적을 흘러들어 오고 나갈 때, 유동일을 추가적으로 고려하여야 하고 흐르는 유체의 압력에 의한 단위 질량당 유동 에너지 (또는 압력에너지)는

  pv =P/ρ 이다.

따라서 이 경우 유동에너지를 포함한 단위 질량당 역학적 에너지는 다음과 같다.​

또는 밀도 대신에 비체적을 사용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.​

유체역학에서 사용하는 베르누이 방정식과 비교해 보자.​

베르누이방정식에서 양변을 ρ로 나누어 주면 다음과 같다.​

⊙ 비엔탈피 h는 비내부에너지 u와 다음의 관계가 있다.

       h = u + pV ⇔ H = U + pV

⊙ 내부에너지나 엔탈피는 종량성 성질(상태량)이고 비내부에너지와 비엔탈피는 강성적 성질 (상태량)이다.

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#에너지 #위치에너지 #운동에너지 #엔탈피 #기계적에너지 #내부에너지 #열역학

1. 열역학 제1법칙 : 에너지 보존법칙

가. 열역학 제1법칙

  ▣ 기체에 공급된 열 = 기체가 외부에 한 일 + 증가한 기체의 내부 에너지

       ※ 열 : 고온에서 저온으로 접촉하여 이동하는 에너지 형태

       ※ 온도 = 기체 분자의 운동에너지 = 기체의 내부 에너지

           T = Ek = U

       ※ 기체 내부에너지 : 기체 운동에너지의 총합이다.

       ※ 기체가 한일은 기체의 압력과 부피의 곱에 비례한다.

           W ∝ P · △ V

        단, 기체의 분자수에 변화가 없는 경우에 적용된다.

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[참고] 열역학 제0법칙

 ▣ 열역학 제0법도 있는데 이는 가장 기본이 되는 당연한 법칙이다.

        TA = TB, TB = TC ∴ TA = TC

  열역학 제0법칙은 물체 A와 B가 열평형상태 (온도가 같음)에 있고 B와 C도 열평형상태에 있다면 물체 A와 C도 열평형

   상태에 있다는 당연한 법칙을 말한다.

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열역학 제1법칙은 다른 말로 하면 에너지 보존법칙이다. 에너지라는 것은 스스로 창조될 수 없고 사라지지 않고 다른 형태로 변환된다는 것이다. 기체가 열을 받으면 일단 온도가 올라간다. 또한 기체의 부피가 증가한다. 위 내용을 식으로 쓰면

다음과 같다.

    Q = U + P ·△V = W + △T

 즉, 기체가 열을 받으면 내부에너지에 변화가 생기고 외부에 일을 할 수 있게 된다.

기체의 부피가 증가하면 외부에 일을 하는 것이고 기체의 부피가 축소되면 외부로 부터 일을 받게 된다. 마찬가지로 열량값인 Q값도 플러스(+)와 마이너스(-)가 있다. Q값이 플러스 (+)인 경우는 기체가 외부에서 열을 받는 경우이고 Q값이 마이너스(-)인 경우는 기체가 외부로 열을 방출하는 경우이다.

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나. 가역과정과 비가역과정

자연상태에서 반응과정은 가역과정과 비가역과정이 있다.

가역과정은 정반응과 역반응이 모두 일어날 수 있는 반응이다. 예를 들어 다음 식을 보자.

   2H2 + O2 ↔ 2H2O

위식은 수소와 산소가 만나 물을 만드는 반응을 보여준다. 그런데 이 반응은 역으로 물을 전기분해하여 산소와 수소를 얻는 역반응도 가능하다.

대부분의 화학반응은 가역반응이다. 그런데 자연현상은 정·역 반응이 가능한 가역반응보다 대부분이 비가역 반응이다.

위 그림과 같이 물 속에 잉크 한방울을 떨어 뜨리면 물과 잉크가 혼합하게 된다. 시간이 지나면 잉크가 물 전체에 골고루 퍼지는데 역으로 퍼진 잉크나 물이 저절로 분리되지는 않는다. 실에 매달린 추도 마찬가지이다. 실에 매달린 추를 흔들면 움직이는데 공기저항에 의해 움직이는 폭이 점차 줄어들어 어느 시간이 되면 멈추게 된다. 그런데 이 멈춘 추는 시간이 지나도 더 이상 움직이지 않는다. 이처럼 자연현상은 대부분이 비가역반응이다.

왜 비가역 반응으로 진행될까 ?

물리학자들이 찾아낸 법칙은 자연현상의 반응은 무질서도 (엔트로피)가 증가하는 방향으로 반응이 일어 난다고 한다.

  ▣ 자연계에서는 대부분이 비가역적인 현상

  ▣ 계는 무질서도(=엔트로피)가 증가하는 무질서한 방향으로 진행

  ▣ 열은 항상 고온에서 저온으로 이동

  ※ 무질서도가 증가한다는 말은 구별이 안되는 방향으로 반응한다는 말로 표현할 수 있다.

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위 그림과 같이 뜨거운 물과 찬물을 섞으면 어느 것이 뜨거운 물이고 찬물인지 구별할 수 없는 방향으로 반응이 진행된다. 또한 자연계에서 발생하는 반응은 확률이 높은 쪽으로 진행한다고도 말한다.

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2. 열역학 제2법칙 (가역 · 비가역 과정, 엔트로피, 무질서도)

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  ▣ 가역과정 : 처음의 상태로 완전히 되돌아 갈 수 있는 반응 과정

  ▣ 비가역과정 : 한쪽 방향으로만 일어나 스스로 처음 상태로 되돌아 갈 수 없는 과정

   ※ 자연계에서 일어나는 대부분의 반응은 비가역 반응이다.

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위 그림에서 1기압인 기체와 진공인 기체를 담은 비이커를 연결하면 1기압인 기체가 진공쪽으로 확산될 것이다. 반대 방향으로 진행은 불가능할 것이다. 공기중의 진자운동은 점점 그 진동폭이 줄어 드나 그 반대로 더 늘어 나는 방향으로 운동이 진행되지는 않는다. 더운 물과 찬물을 섞으면 미지근한 물이 되고 반대 방향으로 반응은 일어 나지 않는다.

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열역학 제2법칙 : 자연현상에서 일어나는 변화의 비가역적인 방향성을 제시하는 법칙

   ▣ 열 이동 : 고온 → 저온

  ▣ 엔트로피 증가 : 질서있는 배열 → 무질서한 배열

    ※ 엔트로피 : 분자배열의 무질서도

자연현상은 미시상태의 경우의 수가 커지는 방향, 확률이 높은 방향으로 진행한다.

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#열역학 #엔트로피 #무질서도 #에너지 #열평형 #온도 #압력

1. 기체가 한일과 내부에너지

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가. 열에너지

  ▣ 열에너지 : 물체 내부의 분자운동에 의해 나나타는 에너지

    ⊙ 온도 : 물체의 차갑고 뜨거운 정도를 기준을 정해 수치로 나타낸 것

    ⊙ 열 : 온도가 높은 물체에서 낮은 물체로 스스로 이동하는 에너지

  ▣ 열 평형상태 : 온도가 다른 두 물체가 접촉해 있을 때 두 물체의 온도가 같아지는 상태

위 그림에서 온도가 높은 물체와 낮은 물체가 접촉하면 결국 열평형상태가 된다는 것을 보여 준다.

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나. 기체가 하는 일

  ▣ 여기서 일은 물체가 힘 방향으로 이동하는 것을 말한다.

       W = P · △ V [단위 : J]

       여기서, W : 기체가 외부에 한 일

                     P : 압력

                    △V : 부피의 변화 (이동한 거리)

위 그림에서 압력은 기체가 벽면을 때리는 힘으로 보면 되는데 이 힘에 의하여 피스톤이 힘 방향으로 이동하게 되면 이를 일을 한 것으로 볼 수 있다. 즉, 일정한 압력일 때 부피를 증가시키면 일을 하게 된다. W = F · d 에서 W = P · △V 가 된다.

이 때 일이란 부피의 변화가 있어야 한다. 부피의 변화가 없다면 일을 한 것이 아니다.

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 ▣ 기체의 부피 변화와 외부에 한 일의 관계

   ⊙ 기체가 팽창할 때 : △V > 0 이므로 W > 0 이다. ⇒ 기체가 외부에 일을 한다.

   ⊙ 기체가 수축할 때 : △V < 0 이므로 W < 0 이다. ⇒ 기체가 외부에서 일을 받는다.

 ▣ 압력과 부피의 관계 그래프

   ⊙ 기체가 한 일은 압력 - 부피 그래프 아랫부분의 넓이와 같다.

위 그래프에서 압력은 힘이고 부피는 이동거리이므로 P × V는 일의 양 W가 된다.

그런데 압력 - 부피 곡선이 직선일 경우 P × V는 직선 아래 부분 면적이 되므로 P - V 곡선 아래 부분 면적이 일의 양이 된다.

위 그림의 오른쪽 순환과정의 경우에는 순환과정 위 부분 곡선 아래 부분면적에서 아래 부분 곡선 아래 부분 면적을 뺀 면적이 일의 양이 되는데 이는 순환곡선 내부의 면적이 된다.

즉, 순환과정의 경우에는 순환곡선내부의 면적이 일의 양이 된다.

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나. 기체의 내부 에너지

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▣ 기체 내부 에너지 : 이상기체의 경우 내부에너지는 기체 분자운동에너지의 총합이다.

     기체의 내부에너지는 열역할 제1법칙을 이해하는데 매우 중요한 개념이다. 내부에너지는 이상기체상태를 가정해서 알       아 볼 것인데 이상기체란 기체 분자간 힘을 거의 무시하는

     상태를 말한다. 분자간 힘이 작용하지 않고 분자간 충돌이 일어나지 않는 상태를 말한다.

        U ∝ N Ek ⇒ U ∝ NT

        여기서, U : 이상기체 내부에너지

                     Ek : 분자의 평균 운동에너지

                      N : 기체 분자수

이상기체 내부에너지는 기체의 평균운동에너지에 비례하고 기체의 분자수와 절대온도의 곱에 비례한다. 즉, 기체의 내부에너지는 기체의 분자수와 절대온도에 의해 결정된다. 특히, 절대온도에 의해 내부에너지가 결정된다.

위 그림의 그래프는 등온선을 나타낸다.

등온선은 온도가 같은 점을 이은 선이다. 위 그래프에서 T1선과 T2선 상에 있는 점들은 온도가 같게 된다. 등온선의 특징중에 하나가 P × V 값이 같다. 따라서 동온선 내에서는 모두 P × V 값이 같고 동온선이 우상향하게 되면 P × V 값이 커지게 된다.

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2. 열역학 제1법칙

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    Q = △ U + W = △U + P · △V

      여기서, Q : 외부에서 가해지는 열량

                 △U : 기체 내부의 에너지 변화량

                  W : 기체가 외부에 한 일

                  P : 압력

                △ V : 기체의 부피 변화량

위 식의 의미는 어떤 기체에 외부에서 열을 가해 주면 기체의 내부에너지를 증가시키거나 기체가 외부에 일을 할 수 있게 도와 준다라고 할 수 있다. 즉, 외부에서 받은 열이 기체의 내부에너지로 변화되거나 외부에 하는 일로 변환된다는 에너지 보존 법칙을 말한다.

위 그림의 실린더를 예를 들면 외부에서 열이 가해지면 실린더 내의 기체의 내부에너지는 증가하데 된다. 왜냐하면 실린더 내의 기체의 온도가 증가하기 때문이다. 또한 기체 내부에 증가한 에너지로 외부에 일을 할 수 있게 된다.

그런데 위 식에서 △U ∝ N · T 이다. 즉, 내부에너지는 기체의 분자수와 절대온도에 비례하게 된다.

위 그래프에서 곡선은 동온선을 나타낸다.

이 등온선에서는 P × V 값이 같게 된다. 등온선에서는 온도가 같게 되는데 온도가 같다는 말은 내부에너지가 같다는 의미이다. 이는 기체 분자의 운동에너지도 같다는 것과 같다.

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가. 등적 과정 (부피가 일정한 과정)

등적과정은 부피가 일정할 때의 과정을 말한다.

즉, 부피의 변화량 △V가 "0"일 때의 과정이다. 위 그림에서 실린더 내에 외부로 부터 열이 가해지는데 부피가 변화할 수 없는 상황이다.

Q = △U + P · △V 의 식에서 △V=0 이면 Q = △U 가 되므로 외부에서 가해준 열은 모두 내부에너지 증가로 변환된다.

위 그래프를 보면 부피가 변하지 않고 있다. T1 곡선에서 T2 곡선으로 올라가는 모습을 보여준다. 등온 곡선이 우측 상단으로 이동하였으므로 내부에너지는 증가하고 온도도 증가하고 압력도 증가하게 된다.

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나. 등압과정 (압력이 일정한 과정)

등압과정은 압력이 일정한 과정이다. 위 그림의 실린더를 보면 외부로 부터 열을 받고 부피가 증가하는 모습을 보여 준다. 식으로 표현을 하면 다음과 같다.

       Q = △U + P · △V

위 식에서 압력이 일정하다고 하였으므로 P값이 일정하다. 외부에서 열이 가해지면 압력 P값만 제외하고 모두가 증가하게 된다. 외부에서 열이 전달되니 온도가 올라가서 내부에너지가 증가하게 되고 부피가 팽창하게 된다. 열이 들어 오면 내부 에너지가 증가하고 동일한 압력 내에서 부피가 증가하므로 외부에 일을 하게 된다.

위 그림의 그래프를 보면 압력은 일정한 상황이고 부피가 쭉 증가하게 된다. 압력 - 부피 그래프에서 그래프 아랫쪽 부분의 면적이 일의 양이 된다.

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다. 등온과정 (온도가 일정한 과정)

등온과정은 온도가 일정한 과정을 말하는데 위 그림에서 온도가 일정하다는 것은 동온선을 변화하는 과정을 말한다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

      Q = △U + P · △V

위 식에서 외부에서 열을 받는데 온도가 일정하다 하였으므로 내부에너지의 변화량은 없게 된다. P · △V 는 일을 나타내는데 외부에서 받은 열이 모두 일로 변화한다는 것이다.

위 그래프를 보면 그래프 아래쪽 면적이 일의 양이 된다. 일을 할려면 부피가 증가해야 한다. 즉, 외부에서 열을 받아 부피가 증가하게 된다. 등온선은 P × V가 일정하다고 했다. 따라서 P × V 가 일정하려면 P·△V에서 부피가 증가해야 하므로 압력은 감소해야 한다.

종합하면 동온 과정에서는 내부에너지의 변화가 없으므로 외부에너지를 받은 만큼 일을 하게 된다. 압력은 감소하면서 부피가 증가하여 외부에 일을 하게 된다.

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라. 단열과정

단열과정은 열의 출입이 없는 과정을 말한다. 즉, Q의 값이 변화가 없다. △Q = 0 인 상태를 말한다. 열량 즉, Q값에 변화가 없다. △Q = 0 인데 위 식에서 보면 부피가 증가하고 있다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

Q = △U + P · △V

위 식에서 Q는 변화가 없는데 부피가 증가하려면 내부에너지를 소모하면서 일을 해야 하는 과정을 말한다. 위 그림에서 그래프를 보면 내부에너지가 감소하므로 등온선이 아래로 떨어지게 된다. 이는 P × V 값이 감소함을 나타낸다. 따라서 부피는 증가하는데 P × V값이 감소하므로 압력 P값은 감소해야 된다.

이를 종합하면 외부에 한 일 W = - △U 가 된다. 즉, 내부에너지를 소모하면서 일을 하는 과정을 나타낸다.

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#등압과정 #단열과정

위 그림과 같이 막대가 바닥에 고정되어 있고 그 위로 당기는 힘이 작용한다고 하자. 외력 (External force)는 Fe라고 하고 이에 대응하여 물체를 지지하기 위한 반력(Reaction Force)를 Fr 이라고 하면 두 힘의 크기는 같게 된다.

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위 그림의 오른 쪽 부분은 막대의 일부분을 나타낸 것이다. 응력 (Stress)이란 단위 면적당 물체가 원래 형태로 돌아 가려고 하는 저항력을 말한다. 위, 오른쪽 그림과 같이 막대기의 절단면을 따로 떼어내 살펴보면 외력에 의해 동일한 힘 Fs 로 원래 상태로 되돌리려는 복원력이 생기게 된다. 즉, 이 힘은 변형시키려는 힘에 대응하여 견디려고 하는 힘인 내력이 된다. 정지된 상태를 유지하기 위한 내력 Fi가 동일하게 작용하게 된다. 이를 아래와 같이 표현할 수 있다.

∑ 응력 = 내력

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2. 응력 (Stress, σ)의 측정 및 사용 목적

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응력 (σ) 값은 다양한 분야에서 사용되며 해당 분야에 따라 다양한 분석과 응용이 이루어 진다.

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Structural Engineering and Construction : 응력값은 구조물이나 기계요소의 강도와 안정성을 평가하는데 사용된다. 응력값을 분석하여 부재의 최대 응력, 응력 분포 · 집중 등을 확인할 수 있다. 이를 통해 구조물의 강도를 검증하고 재료의 파괴 가능성이나 변형 가능성을 예측할 수 있다. 응력값 분석은 구조 설계, 재료 선택, 부품 제작 등 다양한 공학 응용에 활용된다.

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Manufacturing and Material Science : 응력값은 재료의 기계적 특성을 평가하는데 사용된다. 재료의 응력 변형 특성을 분석하여 인장강도, 굽힘 강도, 연신율 등을 평가할 수 있다. 이를 통해 적절한 재료 선택, 재료의 가공 공정 최적화, 구성요소의 재료 개선 등이 가능하다.

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Geotechniacl Engineering : 응력 값은 지반의 응력 상태와 안정성을 평가하는데 사용된다. 지반에 가해지는 응력을 분석하여 지진, 토사의 소용돌이 등의 자연재해로 부터 지반의 반응을 예측하고 토설 및 지반 안정성 설계 등에 활용된다.

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Biomechics and Biomedical Engineering : 응력값은 생체재료나 조직에서의 응력 분석에 사용된다. 예를 들어 인체 뼈나 조직에서 응력을 분석하여 부하에 대한 반응을 평가하고 인공장기 설계, 의학적 치료 기술 개발 등에 사용된다.

위 그림과 같이 열화상 촬영 등을 활용하여 온도에 따른 변위를 측정하여 Stress와 온도 사이의 관계를 분석하는 등, 응력을 측정하여 재료 분석에 활용할 수 있다.

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#응력 #전단력 #압력 #연신률 #변형 #인장응력 #인장강도

재료역학(材料力學, Mechanics of materials)은 고체역학(Solid mechanics)이라고도 불리는 개념으로, 고체 재료의 강도와 역학적 움직임을 다룬다. 건축물, 교량, 기계부품, 압축용기 등 뼈대를 형성하고 힘을 지탱하는 구조물은 모두 재료역학의 대상이 된다.

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재료역학의 주 목적은 구조물의 안전한 설계에 필요한 움직임 해석을 위해, 구조물 및 관련 물체에 작용하는 하중에 따른 응력, 변형, 변형률을 파악한다. 공학의 모든 분야에 있어 중요한 기초학문인 재료역학에 대해 알아 보자.

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우선 외부에서 주어지는 힘 즉, 외력(外力)이 작용하면 재료 내부에는 이에 저항하는 힘이 생기는데 이를 응력(stress)이라 한다. 응력이란 단위 면적당 작용하는 힘을 말하며, 같은 힘을 주더라도 힘을 받는 면적이 넓으면 응력은 작아지게 된다.

응력을 식으로 나타내면 다음과 같다.​

또한, 응력은 면에 수직으로 작용하는 성분과 면에 나란하게 작용하는 성분으로 나눠진다.

먼저 수직으로 작용하는 성분은 다시 2가지로 나뉘는데, 물체를 누를 때 생기는 응력을 '압축응력'이라고 하며 '압력'과 같은 의미이다. 반대로 잡아당길 때 생기는 응력을 '인장응력'이라고 한다. 예를 들어, 달콤한 엿을 망치로 내려치면 압축응력이 생기고, 반대로 엿을 양 손으로 잡아당기면 인장응력이 생긴다.

전단응력을 식으로 나타내면 다음과 같다.​

수직 성분과 달리 물체의 면에 나란히 작용하는 응력으로는 '전단응력(shear stress)'이 있다. 물체의 단면을 절단하는 힘이 작용해 면에 나란한 방향으로 작용하는 응력을 전단응력이라 한다. 예를 들어 두꺼운 책을 놓고 책 표지에 손바닥을 댄 다음 옆으로 밀었을 때 책의 옆면이 틀어지면서 직사각형에서 평행사변형 모양으로 바뀌는 것이 바로 전단응력과 전단응력에 의한 변형의 예이다.

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인장 응력에 의한 변화

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어떤 재료에 인장응력이 가해진다고 생각해 보자. 막대를 양쪽에서 잡아 당기면 용수철 처럼 힘에 비례해서 길이가 늘어난다. 여기서 늘어난 길이를 변형이라고 하며, 변형을 원래 길이로 나눈 상대적인 값을 변형률(strain)이라 한다. 예를 들어, 10cm였던 고무줄을 잡아 당겨서 15cm가 됐다면 늘어난 5cm만큼을 원래의 길이인 10cm로 나누는 계산법이며, 이 인장응력에 따른 변형률은 5 ÷10 = 0.5가 된다.

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응력과 관련한 유명한 법칙 중 하나인 ‘후크의 법칙(Hook’s law)’에 따르면 탄성범위 내에서 ‘응력(σ)과 변형률(ε)은 비례한다’고 한다. 즉 σ = Е ε라는 수식으로 나타낼 수 있다. 이 수식 중에 E는 비례상수로, 물질의 ‘탄성계수’라 하고 탄성계수가 큰 재료는 잘 늘어나지 않는 딱딱한 특성이 있다.

만약 재료를 세게 잡아당겨 응력이 탄성범위를 넘어서면, 재료는 원래의 상태로 돌아오지 못하게 된다. 고무줄을 적당히 잡아당겼다 놓으면 원래 모습으로 돌아가지만, 너무 세게 잡아 당기면 끊어져 버리듯이, 고체가 외부에서 탄성 한계 이상의 힘을 받아 형태가 바뀐 뒤, 가해지던 힘이 없어져도 더 이상 본래의 모양으로 돌아가지 않는 성질을 소성(塑性, plasticity)이라고 한다.

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응력이 항복점(降伏點, 탄성과 소성의 경계점)까지 넘어서면 재료는 엿가락처럼 늘어나게 되는데 이것을 ‘소성변화’라고 한다. 여기서 더욱 세게 잡아 당기면 재료는 늘어지며 목이 가늘어지는 네킹(necking) 현상이 발생하고 결국은 끊어지게 된다. 따라서 구조물을 설계할 때 재료에 주어지는 응력이 항복점을 넘지 않도록 유의해야 한다.

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반복 응력에 의한 피로와 파괴

항복점을 넘지 않더라도 응력이 반복해서 작용하면, 재료가 피로(fatigue)해져 파괴될 수도 있다. 철사를 이쪽저쪽으로 반복해서 구부리다 보면 결국 끊어지게 된다. 또 멀쩡하던 교량이 어느 날 특별한 이유 없이 무너지기도 한다. 이것은 반복 응력에 의한 재료의 피로 때문에 일어나는 현상이다.

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저항성이 높은 '2차 단면 모멘트'

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보통 구조물을 만들 때는 막대 형태의 재료(부재)가 가장 많이 쓰인다. 이 때 길이 방향으로 압축 힘을 받는 막대를 ‘기둥’이라 하며, 옆으로 놓여 수직 힘을 받는 막대를 ‘보’라고 한다. 또 비틀림을 받는 원통형 막대를 ‘축’이라 한다.

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부재료들의 역할은 다르지만 누르거나 당기거나 비트는 등 응력이 작용하는 방향이 다르더라도 한계를 넘으면 파괴된다는 점은 모두 같다. 아래 그림처럼 나무판 의자로 쓰인 수평 보는 앉은 사람의 몸무게를 받아 휘어지는데, 가장 큰 전단응력을 받는 가운데가 먼저 부러지기 쉽다. 보의 윗 부분은 압축응력을 받고, 아랫 부분은 인장응력을 받아 휘게 되는데 화살표와 같이 이렇게 일종의 회전방향의 성격을 가진 외력을 모멘트(moment)라고 한다. 예를들어, 양손으로 연필을 부러뜨리듯이 힘을 줄 때 그러한 힘을 모멘트라고 한다.

모멘트가 가해지더라도 이를 버틸 강도를 생각하면 두껍고 튼튼하게 만들어야겠지만, 가능하면 재료를 덜 쓰고 가볍게 만드는 것이 좋다. 이를 경량화 설계라고 하며, 보의 단면 모양을 적절히 설계함으로써 최소한의 재료로 튼튼한 보를 만들 수 있다.

우리는 주변 건물 공사장에서 ㄷ자나 H자형 철강 구조물을 흔히 볼 수 있는데 이러한 철강 구조물은 꽉 찬 사각 막대 보다 가벼우면서 강도도 높일 수 있다. 이유는 단면 2차모멘트(moment of inertia)가 크기 때문인데, 단면 2차 모멘트는 다른 말로 단면 관성 모멘트라고 하며 휨 또는 처짐에 대한 저항을 나타내는 단면의 성질을 말한다. 모멘트가 가해지는 보에서 응력은 재료의 중심선에서 멀어질수록 커진다. 따라서 그림에서 예를 든 H형강은 응력이 많이 발생하는 양 끝단에 질량을 집중함으로서 응력을 견디는 강성을 높일 수 있는 형태를 갖추게 된다.

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안정적인 삼각형 형태, 트러스 구조

트러스 구조는 교량이나 건축물 등 우리 주변에서 흔히 찾아볼 수 있다. 대표적인 트러스 구조물로 에펠탑이다. 에펠탑의 총책임자는 구스타브 에펠이었지만, 실제 구조설계는 당시 수석 엔지니어였던 모리스 쾨클랭이다.

쾨클랭은 당시 철탑에 대한 비판과 안정성 논란을 불식시키기 위해 오랜 고민을 했다. 고심 끝에 철골 부재를 연결하여 작은 삼각형을 만들고, 이것을 다시 연결하여 큰 삼각형을 만드는 대대적인 트러스 격자 구조를 고안했습니다. 이러한 트러스 격자 구조로 만들어진 에펠탑은 구조설계 측면에서 최고의 걸작품으로 인정받고 있다.

우리는 재료역학 덕분에 현대문명의 뼈대를 이루는 구조물에 대한 체계적인 설계가 가능해졌다. 아무리 복잡한 형상과 구조를 갖는 구조물일지라도 컴퓨터의 도움을 받아 응력과 변형에 대한 구조해석을 할 수 있다. 인공 구조물 뿐만 아니라 세상에 존재하는 형체가 있는 모든 물체는 구조를 가지고 있다. 특히 잎사귀 줄기, 나뭇 가지, 동물 뼈 등 생명체 구조물은 자신만의 독특한 모양과 구조를 유지하고 있는데, 신비스러운 것은 외부에서 주어지는 힘과 중력의 무게를 잘 견딜 수 있도록 최적의 경량화 설계가 되어 있다는 사실이다.

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