아낌없이 주는 나무

일반 기체 상수 : P V = n R T , 특정 기체 상수 : P V = m R T

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이상기체 상태방정식에 적용하는 기체상수에는 일반기체 상수 (R)와 특정기체상수(R')가 있다. 이 기체 상수는 모두 기호로 R을 똑 같이 사용하기 때문에 혼동하는 경우가 많다.

이들 기체 상수가 어떻게 구분되는지 알아 보자.

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기체의 상태를 분석하는데 사용하는 기본 공식으로 이상기체 상태방정식이 있는데 여기에 사용하는 기체상수로 일반기체상수가 적용되느냐, 특정기체상수가 적용되느냐에 따라 이상기체 상태방정식이 다음과 같이 구분된다.

​1. 일반 기체 상수

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가. 보일의 법칙

보일의 법칙에 따르면 온도가 일정하다면 표준상태 (0℃, 1기압)에서 기체의 부피는 압력에 반비례한다고 한다.

P1 · V1 = P2 · V2

나. 샤를의 법칙

샤를의 법칙에 따르면 압력이 일정하다면 표준상태에서 기체의 부피는 절대 온도와 비례한다고 한다.

그런데 보일의 법칙과 샤를의 법칙은 합하여 하나의 식으로 나타낼 수 있다.​

다. 아보가드로의 법칙

아보가드로는 표준상태 (0℃, 1기압)에서 기체 상태의 물질은 원자량, 분자량 만큼의 질량(g)을 가진 기체의 부피를 1몰 (mol)이라 하는데 모든 기체는 표준상태에서 원자량, 분자량은 달라도 그 부피는 22.4 ℓ 로 동일하고 입자수도 6.02 × 10^23 개로 같다는 것을 알아 냈다.

따라서 아보가드로의 법칙에 따르면 표준상태에서 기체의 부피는 그 기체의 몰수에 의해 결정된다고 한다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

그런데 위 비례식을 등식으로 만들기 위해서 사용하는 비례상수가 일반기체상수 (R)이다.

표준 상태에서 1기압 (101,325 [Pa] = 101,325 [N/㎡]), 0 [℃] (273.15 K)인 이상 기체 1 몰(mol)의 부피는 22.41 [ℓ] 이다. 이를 위 식에 대입하여 일반기체상수 (R)을 계산해 보면 8.314 [J/mol · K]이라는 값을 얻을 수 있다.​

기체상수는 기체가 이상기체라고 가정한다면 기체의 종류와 관계없이 일정한 값이 된다.

일반기체상수를 이용하여 이상기체상태방정식을 다음과 같이 표현한다.

P V = n R T

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2. 특정 기체 상수

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일반기체상수는 모든 기체에 동일하게 적용되는 비례상수이다. 아보가드로 법칙에 의하면 모든 기체는 표준상태에서 1 몰 (mol)의 부피가 같기 때문에 1 몰 (mol)을 기준으로 모든 기체에 적용할 수 있는 비례상수를 도출하게 되는데 이를 일반기체상수라고 부른다.

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반면, 특정 기체 상수는 특정한 기체, 개별 기체의 상태방정식에 적용하는 비례상수를 말한다. 개별 기체에 적용하기 위해 일반 기체 상수를 해당 기체의 몰 질량으로 특정기체상수를 산정한다. 즉, 일반기체 상수는 모든 기체에 적용하기 위해 기체 1몰 (mol)을 기준으로 비례상수를 정하는 반면, 특정 기체 상수는 해당 기체에 적용하기 위해 일반 기체 상수를 해당 기체의 몰질량으로 나누어 해당 기체 1 [g]을 기준으로 비례상수를 산정한다.

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예를 들면, '수증기'의 분자식은 H2O이다. 분자량은 18이고 몰질량은 약 18 [g/mol] 이다. (수증기 1몰 (mol)의 무게가 18[g]이라는 뜻이다)

이를 이용하여 일반기체상수 8.314 [J/mol ·K]의 몰 단위 일반기체상수를 몰질량 18 [g/mol] 으로 나누어 주면 수증기의 특정기체상수 0.462 [J/g · K]를 얻을 수 있다.

같은 방법으로 '공기 (몰질량 : 약 29 [g/mol]), 암모니아 (약 17[g/mol]), R-22 (약 86.5 [g/mol]) 등을 이용하여 해당 기체의 특정 기체상수를 구할 수 있다.

위에서 말한 기체의 몰질량과 특정기체상수는 다음과 같다.

일반기체 상수를 Rideal, 특정 기체상수를 Rspecific 라고 하면 이상기체 상태방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.​

             여기서, M : 몰(mol) 질량, m : 기체의 질량

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특정기체상수를 이용한 이상기체상태방정식도 일반적으로 PV = mRT 등으로 나타내는데,

이 때 기체상수 R은 특정기체상수임을 주의해야 한다.

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3. 비열과의 관계

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어떤 기체가 열을 받으면 이 기체는 온도가 상승함과 동시에 부피가 증가하게 되는데

이 때 '온도 상승'과 '부피의 팽창' 비율은 특정 기체 상수에 따라 정해진다.

어떤 기체가 동일한 '정적 비열'을 가진다고 가정한다면 '특정 기체 상수'가 높으면 이 기체가 열을 받았을 때 외부로 더 많은 일을 하게 된다(온도 변화 대비)고 한다.

특정 기체 상수는 기체의 몰질량이 작을 수록 (다시 말하면 기체가 가벼울 수록) 커지므로

'열을 받은 기체의 몰질량'이 작을 수록 외부로 더 많은 일을 한다(단, 비교하는 기체들이 동일한 정적 비열을 가진다는 가정에서)는 의미가 된다.

        여기서, P · △V : 열을 받은 기체가 외부에 한 일

                     R' : 특정기체 상수, M : 기체의 몰질량

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#기체상수 #일반기체상수 #특정기체상수 #몰질량 #이상기체 #상태방정식 #비열 #온도

Determining the density and molar mass of gas from the ideal gas law.

(이상기체 상태방정식에서 기체의 몰과 질량의 산정)

이상기체 방정식을 변형해서 기체의 밀도를 구하는 식을 유도해 보자.

여기서, P : 압력 (절대압력),        M : 기체의 분자량,               ρ : 기체의 밀도

             R : 기체 상수,                 T : 온도 (절대온도)

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유도과정에 앞서 이상 기체 방정식은 다음과 같다.

여기서, 기체의 몰수 n 은 (기체의 질량 / 분자량) 으로 바꾸어 쓸 수 있다.

기체의 몰수 n은 다음 식으로 나타낼 수 있다.​

위 식을 이상기체상태방정식에 대입하면 다음과 같다.​

이 때 밀도는 질량 / 부피 이므로 ρ = W/V 를 위 식에 대입하면 다음 식이 된다.

다시 분자량을 좌변으로 옮기면 우리가 원하는 식이 유도된다.

1. 밀도 (Density)

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밀도는 단위 부피에 대한 질량으로 나타내며 어느 공간에 어떤 물질이 얼마나 빼곡히 존재하는지를 나타내는 지수이다.​

2. 기체의 밀도와 몰질량

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이상 기체 상태방정식은 다음 식과 같다.

  여기서,  P : 압력 (절대 압력),              V : 기체의 부피,                   n : 기체의 몰수

                R : 기체상수,                         T : 온도 (절대온도)

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위 식은 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있다.​​

그런데 기체의 몰수 n은 다음과 같이 쓸 수 있다.​

       여기서, n : 기체의 몰 수,      W : 기체의 질량,         M : 기체의 분자량 (= 몰질량)

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위 식의 양변에 몰질량 [g/mol], M을 곱하면​

따라서

이를 차원으로 나타내 보면 다음과 같다.​​

따라서 기체의 밀도를 알면 다음 식으로 부터 기체의 몰 질량을 알 수 있다.​​

#몰질량 #몰수 #mol #질량 #부피 #이상기체상태방정식 #기체상수 #절대온도

#절대압력 #대기압 #밀도 #질량

1. 몰 (mol)과 아보가드로 수

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몰(mol)은 원자의 양 (입자의 양)을 나타내는 단위이다.

아보가드로 수는 물질 1몰 (mol)에 포함되어 있는 기체 입자의 개수를 말한다.

물질 1몰 (mol) 속에 있는 입자의 개수는 6.02 × 1023 개이다.

만약, 물 분자 1몰에는 산소 원자 1몰과 수소원자 2몰이 들어 있게 된다.

각각의 원자 입자수는 몰수에 아보가드로 수를 곱하여 구할 수 있다.

따라서 다음과 같이 구할 수 있다.

몰 질량은 물질 1몰의 질량을 말하며, 화학식에서 물질 1몰의 질량을 나타내며 단위로는 [g/mol]을 쓴다.

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  ※ 아보가드로는 이탈리아의 과학자이다. 분자의 개념을 확립하였으며 아보가드로 법칙이라는 표준상태에서의

      기체의 부피에 대한 가설을 수립하였다.

  ※ 표준 상태란 Standard Temperature and Pressure (STP)로 0 ℃ 1기압 상태를 말한다.

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2. 몰 (mol)과 질량

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몰질량은 입자 1몰을 포함하고 있는 부피의 질량을 말한다. 보통 화학식량에 그램 [g]을 붙인 값이다.

어떤 물질의 몰수는 그 물질의 질량을 몰질량이나 화학식량으로 나누어 구한다.​​

3. 몰 (mol) 과 부피

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아보가드로 법칙은 압력과 온도가 모두 일정할 때 모든 기체상태의 물질은 같은 부피를 갖게 되고 그 속에 포함한 물질의 입자수도 같다고 한다.

이 때 몰 부피는 표준상태 (0℃, 1기압(atm))에서 모든 기체상태의 물질 1 몰 (mol)의 부피는 22.4 ℓ로 동일하다고 한다. 따라서 기체의 몰수는 다음 식으로 구할 수 있게 된다.​​

4. 몰(mol)과 질량, 부피, 입자수 사이의 관계

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어떤 물질이 기체 상태일 때 몰 (mol)과 몰질량, 기체의 부피, 입자수 사이의 관계는 다음 그림과 같이 나타낼 수 있다.

#몰 #mol #몰질량 #몰부피 #아보가드로 #부피 #압력 #온도 #표준상태 #기압 #입자

#아보가드로수 #질량

1. 운동량 (Momentum)

운동량은 영어로 Momentum 이라고 한다.

운동량은 선형 운동량과 각 운동량으로 나뉘는데 선형 운동량은 Linear momentum이라 하고 각 운동량은 Angluar momentum이라고 한다.

여기서는 선형 운동량에 대해서만 다룬다.

선형 운동량은 물체의 속도와 질량의 곱으로 나타낸다. 이 때 운동량은 벡터량이다.

위 식에서 속도가 벡터량이기 때문에 질량과 속도의 곱인 운동량도 벡터가 된다.

선형 운동량은 단순하다.

질량 10 ㎏의 물체가 5 [m/s]의 속도로 날아 가고 있다면 10 ㎏ × 5 m/s = 50 [㎏·m/s]의

운동량을 갖게 된다. 운동량은 벡터량 이기 때문에 방향이 중요하다. 오른쪽 방향으로의 운동량을 (+)로 잡으면 왼쪽 방향으로의 운동량은 (-)로 표시하게 된다.

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2. 충격량 (Impulse)

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충격량은 영어로 Impulse라고 한다.

충격량은 물체에 얼마 만큼의 힘이 얼마나 오랫동안 가해졌는가를 나타내는 벡터량이다.​

충격량은 기호로 I 를 쓰고 벡터량이다. 충격량은 힘을 시간에 대하여 적분한 것이다.

충격량의 단위는 힘 [N]과 시간 [sec]의 곱으로 나타낸다.

위 그래프에서 힘과 시간의 곡선 아래의 면적이 충격량, 역적(力積)이라고 한다.

여기서 역적은 힘의 적분을 말한다.

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3. 운동량과 충격량

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운동량과 충격량의 관계는 "물체에 가해진 충격량 만큼 물체의 운동량이 변한다"라고

할 수 있다.

위 그림에서 왼쪽 그림은 벽면이 물체에 가한 충격량은 10 ㎏의 물체가 5 m/s 로 움직이다 멈추었기에 50 ㎏·m/s 가 되고 오른쪽 그림은 5 m/s로 부딪히고 다시 5 m/s로 튕겨져 나갔으므로 벽면이 물체에 가한 충격량은 50 + 50 = 100 ㎏·m/s 로 나타나고 충격량의 단위는 [N/s]로 나타낸다.

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4. 운동량과 충격량의 관계

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운동량과 충격량은 벡터값이기 때문에 다음 그림과 같이 2차원상에서 알아 보자.

P1의 운동량을 가지고 이동하는 물체가 이동을 하고 있는데 어느 순간 충격을 받아서 P2의 운동량을 갖게 되는 경우, 운동량과 충격량의 관계를 이용하여 충격량을 구할 수 있다.

물체가 받은 충격량 만큼 운동량이 충격량이 되므로 운동량의 변화량이 곧 충격량이 된다.

즉, 운동량의 차이를 이용하여 운동량을 변화시킨 충격량을 구할 수 있게 된다.

위 그림은 운동량과 충격량의 관계를 나타내 주는데 똑같은 높이에서 달걀을 떨어 뜨렸는데 스펀지에 떨어진 계란은 깨지지 않고 딱딱한 물체에 떨어진 계란은 깨지는 것을 보여준다. 왜 그럴까 ? 계란이 떨어지면 운동량이 "0"이 되는데 운동량이 모두 충격량으로 변하게 되는데 이 때 충격량으로 변하는 시간이 다르기 때문에 스펀지에 떨어진 경우 충격이 가해지는 시간이 길어 물체에 가해지는 힘의 크기가 작아지기 때문이다.

야구에서 공을 짧게 끊어 치면 충격량이 가해지는 시간이 짧아져 운동량에 변화를 많이 줄 수가 없어 공이 멀리가지 않고 밀어치게 되면 충격량이 많아져서 운동량 변화를 많이 줄 수가 있어 공이 멀리가게 되는 원리를 설명해 주고 있다.​

물체가 어떤 충격량을 받게 되면 그 받은 충격량 만큼 운동량이 변하게 된다고 할 수 있다.

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#운동량 #충격량 #모멘텀 #임펄스 #momentum #Impulse #벡터 #적분

1. 베르누이 방정식

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베르누이 방정식은 에너지 보존의 법칙의 다른 표현이다. 베르누이 연속방정식은 에너지 보존의 법칙에 따라 물체가 이동하여도 그 물체가 한 일과 보유하는 에너지의 총합에는 변함이 없다는 것이다.

위 그림에서 어떤 관내에 흐르는 유체가 가지는 에너지의 총합은 위치가 변하고 관경의 크기가 변하여도 변함이 없다고 한다. 즉, 위 그림에서 관경이 작아지고 위치(높이)가 변해도 같은 배관 내에서 흐르는 유체가 보유하는 에너지 총합인 위치에너지, 속도에너지, 압력 등의 총합은 일정하다는 원리로 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.​

여기서, v : 유체의 유동속도, g : 중력 가속도, h : 높이, P : 압력, ρ : 유체의 밀도

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2. 토리첼리의 정리

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토리첼리의 정리는 베르누이의 연속방정식을 이용하여 일정한 규모의 수조에서 하부 측벽에 작은 구멍, 오리피스로 부터 분출되는 유체의 속도를 계산하는데 이용되는 정리라고 할 수 있으며 이는 다음 수식으로 나타낸다.​

여기서, v : 유체의 속도    Cv : 유속계수 (보통 0.95 ~ 0.99) * 마찰계수 등    g : 중력가속도 (9.81 m/s2),   h : 높이

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위 식이 유도되는 과정을 살펴 보면 다음과 같다.

위 그림에서 베르누이의 연속방정식에 의해 수조내에 있는 유체의 에너지와 측면의 작은 구멍 즉, 오리피스로 빠져 나가는 유체의 에너지가 같게 되고 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.

그런데 어떤 물체에 작용하는 압력은 모든 방향(사방)에서 같게 되므로

   P1 = P2 = Pa (대기압)이 된다.

또한 수조내에서 수면이 줄어 드는 속도 V1은 만약 수조의 단면적이 만약 오리피스 구멍의 면적 보다 매우 크다면 그 속도는 매우 작을 것이므로 무시해도 될 수 있다. (V1 ≒ 0)

또한 식을 간소화하기 위해 유체의 높이차 h1 - h2 = h 라고 하면 위식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.​

위 식에서 유체의 점성, 분출구에서의 마찰 손실 등을 고려하여 유출계수를 포함하여

다시 정리하면 다음 식이 된다.​

#점성계수 #베르누이 #토리첼리 #유속 #압력 #연속방정식 #위치에너지 #속도에너지

#에너지보존법칙 #중력가속도 #비중량 #위치수두 #수두

1. 포물선 운동

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포물선 운동에 대하여 알아 보자.

포물선 운동을 분석하기 위해서는 먼저 벡터운동의 합성에 대해 알아야 한다.

벡터는 수평성분 cos 성분과 수직성분 sin 성분으로 구성되어 있다.

포물선 운동에서도 이들 벡터성분을 구분하여 합성을 하면 이해하기 쉽다.

다음 그림을 보면서 포물선 운동에 대하여 알아 보자.

어떤 물체를 지면에서 30°의 방향으로 40m/s의 속도로 던졌다고 하고 이 때 공기저항은 없다고 가정을 해 보자. 공기저항이 없기 때문에 이 물체는 오로지 중력의 영향만 받는다.

초기 속도 Vo = 40 m/s 이다. 이는 벡터 성분이므로 높이 방향으로 움직이는 연직 상향 운동 성분과 거리, 시간 방향인 등속직선운동 성분으로 구분할 수 있다.

수직 운동 성분인 연직 상향 운동 성분은 초기 속도에 sin θ 를 곱해 주어 Vo sinθ 로 나타낼 수 있고 40 sin 30° = 20 m/s가 된다. 마찬가지로 수평 운동 성분인 등속직선운동은 초기 속도에 cos θ를 곱해 주어 Vo cos θ 로 나타낼 수 있고 40 cos 30° = 20 √3 m/s가 된다.

포물선 운동을 분석할 때는 최고점 높이에 도달하는 시간을 먼저 구하면 다른 것 들을 쉽게 구할 수 있게 된다. 최고점 높이에 도달하는 시간을 구해 보면 다음과 같다.​

또한 물체가 공중에 체공하는 시간은 최고점에 도달하는 시간의 2배이므로

다음은 최고점 도달 높이에 대하여 알아 보자. 도달 높이는 평균속도 × 시간으로 구할 수 있다. 그런데 초기 속도를 V 라고 한다면 마지막 속도는 "0"이 된다. 따라서 평균속도는 V/2로 나타낼 수 있다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

수평 도달 거리도 같은 방식으로 계산할 수 있다. 거리 S = 속도 × 시간이다.​

수평 운동은 등속 직선운동이라고 가정하였으므로 속도 V = Vo cos θ [m/s]가 된다.

그러므로 거리 S = V · t 로 나타낼 수 있다.​

가속도, 속력, 높이와 관련된 식을 정리하면 다음과 같다.​

2. 등가속도 직선 운동

등가속도 운동은 시간이 변화함에도 가속도는 일정한 운동을 말한다.

등가속도 직선운동을 통하여 가속도와 속도 그리고 시간과의 관계에 대해 알아보자.

위 그림 (a)에서 보는 바와 같이 등가속도 직선운동은 시간에 관계없이 가속도가 일정한 운동의 상태를 말한다. 그림 (b)에서는 시간과 속도와의 관계를 보여준다. 등가속도 직선운동의 경우에 시간의 변화에 대해 속도의 변화도 일정한 경우에 해당한다. 따라서 속도의 변화율 즉, 속도변화 직선의 기울기가 가속도가 된다. 그림 (c)에서는 시간과 거리와의 관계를 나타내는데 등가속도 직선운동에서는 시간의 변화에 따라 이동 거리는 기하급수적으로 변화함을 보여 주고 있다. 그림 (b)에서 속도 변화를 식으로 나타내면 다음과 같다.

그림 (b)에서 이동 거리는 직선 아래의 면적으로 나타내는데 그 면적은 □ 면적과 △ 면적의 합이 된다.​

이 공식은 시간이 주어지지 않았을 때 이동 거리를 구할 때 사용하는 공식이다.

이 식의 유도과정을 알아 보면 다음과 같다.​

이는 뉴톤의 운동방정식으로도 유도할 수 있다.

위 그림은 어떤 물체에 F라는 힘을 가하여 S 만큼 이동하였고 속도는 당초 V1에서 V2로 변화한 것을 보여 주고 있다. 이를 통하여 위 식을 유도해 보자.

위 그림에서 행하여 진 일의 양은 W = F · S가 되며 다음과 같이 유도된다.

【 등가속도 직선운동】

다음의 그래프를 이용하여 등가속도 직선운동 관련식으로 위 식을 유도해 보자.

앞서 등가속도 직선운동에서 다음 식이 성립함을 보았다.​

또한 가속도 정의에 의하여 다음 식이 성립함을 알 수 있다.​

위 그래프이 기울기는 가속도를 의미하는데, 기울기 = Y/X = 속도/시간 = 가속도이고

직선 아래의 면적은 이동거리를 나타내는데

면적 = X × Y = 속도 × 시간 = 변위 (이동거리)

직선 아래 면적을 구해 보면​

위와같은 식이 성립된다.

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#등가속도 #운동법칙 #유도식 #뉴톤 #가속도 #시간 #속도 #변위 #포물선 #중력

   ※ 위 식에서 힘(F)은 물질에 작용하는 모든 힘의 합력, 알짜 힘을 말한다.

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  위 식은 관성의 변화량인 가속도는 관성을 변화시키려는 요인인 힘에 비례하고 관성을 유지하려고 하는 속성인 질량에

   반비례한다는 것을 보여 준다.

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 ▣ 모든 물질은 원래 상태를 유지하려고 하는 관성을 가지고 있는데 외부에서 가해지는 힘에 의해서 관성이 변화하게 되는

      데 관성이 변화하는 양상은 크게 3가지로 나타난다.

   ① 운동하는 방향과 작용하는 힘의 방향이 같으면 속력이 증가한다.

   ② 운동방향과 작용하는 힘이 반대반향이면 속력이 감소한다. 마찰력이나 저항력이 발생할 때의 상황이다.

   ③ 운동방향과 작용하는 힘이 수직이면 운동방향이 변하게 된다. 대표적인 예가 원운동, 회전운동을 들 수 있다.

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 ▣ 뉴턴의 제3운동 법칙은 물질이 원래 상태를 유지하려고 하는 관성을 변화시키려고 하는 힘 (Force)을 정의한 것이다.          우리가 작용 · 반작용의 법칙이라고 부르는 법칙이다.

  ⊙ 뉴턴은 힘(Force)을 다음과 같이 정의한다.

     ① 힘은 항상 가해지는 물체와 받는 물체간의 상호작용이다.

     ② 힘은 짝으로 존재한다.

  결과적으로 힘은 짝으로 존재하기 때문에 A가 B를 밀면 B도 A를 반드시 밀게 된다.

  따라서 A를 작용이라고 하면 B는 반작용이라고 한다. 반대로 A가 B를 당기면 B도 A를 당기게 된다.

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[힘의 종류]

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뉴톤(Newton)이 말하는 관성을 변화시키려고 하는 요인인 힘(Force)의 종류에 대하여 알아 보자.

  ① 중력이 있다. 중력은 무게라고도 하는데 뉴턴의 힘은 미는 힘과 당기는 힘, 이 두가지 힘으로 표현된다. 뉴턴의 표현

       대로 중력을 말하면 중력은 지구가 물체를 당기는 힘이라고 할 수 있다. 그런데 이러한 작용하는 힘이 있다면 그 짝인

       반작용도 있어야 한다. 물체가 지구를 당기는 힘이 중력의 반작용이라 할 수 있다.

  ② 천장에 줄로 매달려 있는 물체가 있다고 가정해 보자.

     정지해 있다는 것은 가속도가 a = 0이고 알짜힘이 "0"인 상태이다. 그런데 물체는 지구가 mg의 힘으로 당기고 있는데

     정지해 있다는 것은 지구가 당기는 힘에 상응하는 힘이 반대로 작용하고 있다는 것이다. 즉, 바닥이 무체를 미는 (받치

     는) 힘이 작용하고 있는 것이다.

      이에 대한 반작용은 물체가 바닥을 누르는 (미는) 힘이다.

   ※ 물체가 바닥을 누르는 힘은 마찰력과 관련이 있다.

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#뉴톤 #Newton #운동법칙 #질량 #가속도 #힘 #중력 #작용 #반작용 #만유인력