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【 가우스 정리】

▣ 대칭 전하 분포에 의한 전계의 세기를 구할 때 사용한다.

   가우스의 법칙하면 전계의 세기와 연관하면 된다.

▣ 정의 : 임의의 폐곡면(S)을 통해 나오는 전기력선의 총수는 그 폐곡면 안에 있는

             전하 (Q)의 1/εo 배와 같다.

 ※ 가우스의 법칙은 어느 공간에 구형태의 공간을 가정한 다음에 그 공간 구의 체적에서

    발산하는 자기력선과 구의 표면에서 나오는 자기력선은 같다는 정리로 부터 자기력선의

    밀도 즉 전계의 세기를 구하는데 사용된다.

    구의 체적에서 전기력선의 발산을 구한다든지, 구의 표면에서 면의 단위면적당 전기력선의

    밀도를 구한 다음 이를 적분하여 전계의 세기를 구하게 된다.

 ※ 구의 체적에서 전기력선의 발산을 구한다든지 구 표면의 전기력선을 밀도를 통해 전계의 세기를

    구할 때 면적분과 체적적분을 사용하기 때문에 이를 이를 가우스법칙의 적분형이라 한다.

※ 또한 전계의 세기는 거리의 제곱에 반비례하고 어느 공간상에서 Q[C]이 있을 때 이로 부터

   r[m] 떨어진 곳의 +1[C]이 받는 힘인 전계의 세기는 Q[C]를 거리의 제곱으로 나누어 주게 되고

   유전율이란 1[m]에 1[V]의 전위차를 발생시키기 위한 전하량이라고 정의할 수 있으므로

   전계의 세기는 다시 유전율로 나눠주면 된다. 따라서 아래와 같이 전기력선의 밀도를 구할 수

   있는데 이를 가우스 법칙의 미분형이라 부른다.

① 가우스 법칙의 적분형

  ▣ 전기력선의 총수

  ⊙ 특정 지점에서 구의 표면에서의 단위 면적당 전기력선의 밀도를 적분을 하게 되면 전체 전기력선의

     총수를 구할 수 있다. 이 전기력선의 수는 전체 전하량을 유전율로 나눈 값과 같게 되는데

     양변을 유전율로 나누어 주게 되면 유전율 × 전계의 세기란 좌변의 식을 구할 수 있다.

     이는 전속밀도와 같게 되므로 구 표면의 전속밀도를 적분하게 되면 결국 총 전하량이 된다.

② 가우스 법칙의 미분형

  ▣ 전기력선의 총수 N

  적분기호를 제거하게 되면 가우스의 미분형을 취할 수 있다.

【 포아송과 라플라스 방정식】

 ① 가우스 법칙의 미분형

   ▣ 가우스법칙 미분형에서 전계의 발산은 특정 공간에서 체적전하 밀도를 유전율로 나눈 값과 같게되고

       양변에 유전율을 곱해 주면 체적전하밀도는 전계의 발산에 유전율을 곱해주는 값이 된다.

 ② 전계의 세기 : E = - grad V = - ▽·V

⊙ 체적전하밀도 (ρv)가 공간적으로 분포되어 있을 때 그 내부 임의의 점에서

     전위(V)를 구하는 식이다.

⊙ 전위함수(V)가 주어지고 체적전하밀도 (ρv)를 계산할 때 사용한다.

​

  ※ ▽2 라플라시안이라고 함

※ 즉 (x, y, z) 축 방향에 대해 편미분을 2번 하라는 명령어다.

​

【포아송 방정식 예제】

예제 1. 전위함수 V = x2 + y2 [V]를 형성하는 전위분포에서 1[㎥]안의 전하밀도

    [C/㎥]를 구하면 ?

예제 2. 포아송의 방정식에서 전하가 분포되어 있지 않은 곳에서 라플라시안 ▽2=0이다.

  ※ 전위경도는 전위의 기울기를 말하는 것으로 전위를 편미분하라는 의미이다.

     편미분의 결과는 벡터로 표시되며 전위를 x, y, z 축에 대하여 편미분하면 된다.

2. 전계의 세기

 ※ 전계의 세기는 전위 경도에 - 이다. 여기서 - 는 방향이 반대라는 의미이다.

    전계의 세기는 전위와는 반대방향으로 나타난다는 의미이다.

    즉 전계의 세기는 전위를 편미분하여 - 부호를 붙이면 된다.

3. 발산정리 (면적분 ↔ 체적적분)

4. 전계의 세기와 전속 밀도 : D = εo · E

​  ※ 전계의 세기에 유전율을 곱하게 되면 전속밀도가 된다. 전계의 세기는 결국 특정 지점에서

     유전율로 나눈 값이 되므로 결국 전속밀도는 전계의 세기에 유전율을 곱한 값이 된다. 

5. 가우스 법칙 : 전계의 세기를 산정하는 식

① 가우스법칙 적분형

  ▣ 전기력선의 수는 구의 표면의 단위 면적당 전하밀도를 적분한 값이 되며

     결국 전속밀도의 적분값이 총 전하의 값과 같게 된다.

② 가우스법칙 미분형

 ▣ 포아송의 방정식은 전위를 x, y, z 축에 대하여 2번 편미분하라는 의미이다.

7. 라플라스방정식

​ ※ 어떤 공간내에서 전하량이 존재하지 않는 곳에서의 전위를 두번 편미분하게 되면

    "0"이 된다는 의미있다.

【벡터의 적분】 ⇒ 적분은 더한다는 의미 : ∫ : Sum의 의미

 ① 적분기호 : ∫ : sum의 S 기호화한 것이다. 즉 적분은 더하라는 의미를 기호화 한 것이다.

 ② 선적분 : 선의 길이를 구할 때 사용, 기호 : ∫l, ∫c, ∮, ∮c

 ③ 면적분 : 면적을 계산할 때 사용 : ∫s : S : square. 면적분의 S는 면적을 의미한다.

 ④ 체적적분 : 체적(부피)을 구할 때 사용 : ∫v : v : volume 체적적분의 v는 부피를 의미한다.

​

【전하 밀도】

 ▣ 일정한 길이(선)나 넓이(면) 또는 부피(체적)에 존재하는 전하(Q)의 총량을 말한다.

   ※ 단위 길이, 넓이, 부피 당 전하량을 의미한다. 밀도를 구하는 것은 전체 중 일부분에 대한

      단위당 밀도를 구해서 전체의 양을 구하기 위해 산정하게 된다.

​

1. 선전하 밀도

 ① 기호 : ρl, = λ : 단위 길이당 전하량

※ 적분식의 의미는 ① ds : 단위 면적에 대한 면전하밀도 ρs를 ② 전체 면적 s가 될 때까지 ③ ∫ : 더하라

   라는 의미이다. 따라서 위의 식은 면전하밀도에 전체 면적을 곱한 값과 같게 된다.

3. 체적전하 밀도

 ① 기호 : ρv, : 단위 체적당 전하량

※ 적분식의 의미는 ① dv : 단위 체적에 대한 체적전하밀도 ρv를 ② 전체 체적 v가 될 때까지 ③ ∫ : 더하라

   라는 의미이다. 따라서 위의 식 체적전하밀도에 전체 체적을 곱한 값과 같게 된다.

[종합 총 전하량]​

▣ 진공중에 전하 Q[C]의 전하가 있다고 할 때 이 전하로 부터 전기력선이 발산을 하게

    된다. 이 전하에서는 N [개]의 전기력선이 발산하게 되고 특정 지점에서의 전기력선은

    dN [개]가 된다. 특정 지점의 단위면적당 전기력선의 개수 즉 전기력선의 밀도가 그 점

    에서의 전계의 세기가 된다.

【 발산 정리 】

가. 면적분과 체적적분의 변환에 관계를 나타낸다.

나. 임의의 폐곡면의 표면을 뚫고 나오는 전기력선의 총수는 이 폐곡면에 둘러 쌓여진

     체적속에서 빠져 나오는 전기력선의 총수와 같다.

※ 단위 체적당 전기력선의 수를 면당 1개로 가정한다면 단위 체적 내부에서는 상호

    전기력선이 상쇄되고 바깥면에서만 전기력선이 나오게 된다.

    따라서 구의 내부에서는 전기력선이 발생하지 않게 되며 이로 인해서

    구의 체적내에서 나오는 전기력선의 수와 구의 바깥면에서 나오는 전기력선의 수는

    같게 된다.

​

【 발산의 수식 정리 】

① 면에서 빠져 나가는 전기력선의 총수

② 체적에서 빠져 나가는 전기력선의 총수

[발산의 정리 : 수식유도]​

▣ 전기력선의 수는 유전율에 의하여 결정되므로 매질에 따라 유전율이 달라지므로

   전기력선의 수도 매질에 따라 달라지므로 전계를 분석하는데 어려움을 겪을 수 있다.

▣ 따라서 전계분석을 용이하게 하기 위하여 매질에 관계없이 Q[C]의 전하에서는

   일정한 전기력선수가 나온다고 가정하는 전속(선)의 개념을 도입하게 된다.

  ※ 매질에 상관없이 전기력선의 수가 변하지 않는 선의 개념을 도입 ⇒ 전속선, 전속

​

1. 전속, 전속선

  ① (매질에 상관없이) Q[C]의 전하에서 Q[개}의 전속선이 나온다고 가정한다.

      전속과 전속선은 1[C]의 전하량을 하나의 단위로 삼은 것이다.

     1[C] ⇒ 1[개] 전속선 / 5[C] ⇒ 5 [개]

     1[C] 전하량에서는 전속과 전속선이 1이고 5[C] 전하량에서는 전속과 전속선이 5이다. 

  ② 전속선의 수와 전하량 Q [C]가 같다.

  ③ 단위도 전하량과 같은 [C]을 사용한다.

​

2. 전속밀도 [D]

  ▣ 공기중에서 반지름이 r[m]인 구 내부에 Q[C]의 전하가 있다.

 ▣ 공간에서 중심에서 표면까지의 거리가 r[m]인 구의 표면적은 4πr^2으로 나타낼 수 있다.

     이 때 표면적을 통해 나오는 전기력선의 개수는 전체 전하량을 유전율로 나눈 숫자가 될 것이다.

     그러나 전속(전속선)의 숫자는 전하량 Q와 같게 된다.

가. 전계의 세기 (전기력선의 밀도)

▣ 전계의 세기는 단위 면적당 전기력선의 수와 같다.

  ⊙ 전계의 세기는 구 표면에서 나오는 전기력선의 밀도와 같으므로

      전체 전기력선을 구의 표면적으로 나누어 산정하게 된다.

나. 전속밀도 : D

▣ 전속밀도는 1[C]의 전하에서 나오는 전속을 1전속으로 규정하고 단위면적당

    전속수를 구하는 것으로 단위 면적당 몇 쿨룽[C]의 전하에 해당하는 전속이

    나오는지를 구하는 것이다.

예제 : 공기중에 전하(Q)가 25π [C] 이 있을 때 이 전하로 부터 거리가 5 [m] 떨어진 곳에ㅅ서

       나오는 전속, 전기력선의 수 (N), 전속밀도 (D), 전계의 세기 (E)를 구하시오.

① 전속선수 = 전하량 Q = 25π = 78.5 [C]

  ▣ 전속선은 1[C]의 전하량을 1 전속으로 정의하므로 Q[C]의 전하에서는 Q개의 전속선이

     25π의 전하량에서의 전속이나 전속선은 25π가 된다.

② 전기력선수

 ▣ 전기력선의 수는 전기력선은 1[m]의 1[V]의 전위량을 나타내는 전하량인 유전율로 전체 전하량을

    나누어 산정하게 된다. 전기력선의 수는 1[m]에 1[V]의 전위차를 발생시킬 수 있는 전하량의 묶음이

    얼마나 많이 있는가를 나타내는 것으로 보면 된다.

③ 전속밀도

  ▣ 전속밀도는 단위 면적당 몇 [C]의 전하가 분포하는가를 나타내는 수치이다.

      전속의 의미가 [C] 단위의 전하가 몇 묶음이 있는가를 나타내는 것이므로

      단위 면적에 몇 [C]의 전하가 있는가를 나타내는 수치이다.

④ 전계의 세기 (전기력선의 밀도)

▣ 전계의 세기는 단위 면적당 전기력선의 수를 나타낸다.

⑤ 전속밀도 D

  ▣ 전속밀도는 단위 면적당 전속이 얼마나 있는가를 구하는 것이다.

     전속이 1[C]에 해당하는 전하량이므로 전속밀도란 단위 면적당

     몇 [C]의 전하가 있는지를 나타내는 값이라고 할 수 있다.

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​

​

​

전계의 세기는 영향을 미치는 전하 Q로 부터 r[m] 떨어진 곳의 전계의 세기이므로 쿨룽의 법칙

에서 두전하량의 곱 Q × 1이므로 전하량은 Q가 되며 전하량은 거리 제곱에 반비례하게 되며

점전하 이므로 구의 표면적 4π로 나누어 산정하게 되며 여기에서 유전율 ε으로 나눠준다.

여기서 전계의 세기 E는 Q[C]의 점전하로 부터 r[m] 떨어진 점에 +1[C]의 양전하를 놓았을 때

이 단위 양전하에 영향을 미치는 전하량으로도 표현할 수도 있다.

위 식을 세분하여 보면 전계의 세기 E에 영향을 미치는 요인은 두가지로 나누어 볼 수 있다.

먼저는 전하 Q로 부터의 거리이다. 거리 r이 얼마만큼 떨어져 있느냐에 따라서

해당 등전위면의 구의 표면적은 결정된다. 구의 표면적에 따라 전계의 세기에 영향을 주는

전계의 발산량이 결정되게 된다. 또하나는 유전율에 따라 영향을 받게 된다.

유전율은 1[m] 거리에 1[V]의 전위차를 발생시키기 위해 필요한 전하량으로 생각하면 쉽다.

전계의 세기는 단위 면적당 전위경도를 의미하므로 전계의 세기를 계산하기 위해서는

전체 전하량을 유전율로 나눠주게 된다.

Q[C]의 점전하를 원점으로 하는 반지름 r[m]의 구체표면으로 나눈 양과 같으므로

이 된다

​

이때, 이 전하가 놓여 있는 매질의 유전율이 ε [F/m]라 함은

그 매질 1[m]당 1[V] 의 전위차를 발생시키는데 ε[C]의 전하량을

필요로 한다는 의미이다

​

따라서 유전율이 ε[F/m]인 매질내에 놓여 있는 Q[c]의 점전하로 부터

r[m] 떨어진 지점에 도달한 전하들이 해당 지점에 영향을 미치는 힘의 세기인

전계의 세기는 해당 지점에 영향을 미치는 전하 즉