아낌없이 주는 나무

1. 포물선 운동

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포물선 운동에 대하여 알아 보자.

포물선 운동을 분석하기 위해서는 먼저 벡터운동의 합성에 대해 알아야 한다.

벡터는 수평성분 cos 성분과 수직성분 sin 성분으로 구성되어 있다.

포물선 운동에서도 이들 벡터성분을 구분하여 합성을 하면 이해하기 쉽다.

다음 그림을 보면서 포물선 운동에 대하여 알아 보자.

어떤 물체를 지면에서 30°의 방향으로 40m/s의 속도로 던졌다고 하고 이 때 공기저항은 없다고 가정을 해 보자. 공기저항이 없기 때문에 이 물체는 오로지 중력의 영향만 받는다.

초기 속도 Vo = 40 m/s 이다. 이는 벡터 성분이므로 높이 방향으로 움직이는 연직 상향 운동 성분과 거리, 시간 방향인 등속직선운동 성분으로 구분할 수 있다.

수직 운동 성분인 연직 상향 운동 성분은 초기 속도에 sin θ 를 곱해 주어 Vo sinθ 로 나타낼 수 있고 40 sin 30° = 20 m/s가 된다. 마찬가지로 수평 운동 성분인 등속직선운동은 초기 속도에 cos θ를 곱해 주어 Vo cos θ 로 나타낼 수 있고 40 cos 30° = 20 √3 m/s가 된다.

포물선 운동을 분석할 때는 최고점 높이에 도달하는 시간을 먼저 구하면 다른 것 들을 쉽게 구할 수 있게 된다. 최고점 높이에 도달하는 시간을 구해 보면 다음과 같다.​

또한 물체가 공중에 체공하는 시간은 최고점에 도달하는 시간의 2배이므로

다음은 최고점 도달 높이에 대하여 알아 보자. 도달 높이는 평균속도 × 시간으로 구할 수 있다. 그런데 초기 속도를 V 라고 한다면 마지막 속도는 "0"이 된다. 따라서 평균속도는 V/2로 나타낼 수 있다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

수평 도달 거리도 같은 방식으로 계산할 수 있다. 거리 S = 속도 × 시간이다.​

수평 운동은 등속 직선운동이라고 가정하였으므로 속도 V = Vo cos θ [m/s]가 된다.

그러므로 거리 S = V · t 로 나타낼 수 있다.​

가속도, 속력, 높이와 관련된 식을 정리하면 다음과 같다.

2. 등가속도 직선 운동

등가속도 운동은 시간이 변화함에도 가속도는 일정한 운동을 말한다.

등가속도 직선운동을 통하여 가속도와 속도 그리고 시간과의 관계에 대해 알아보자.

위 그림 (a)에서 보는 바와 같이 등가속도 직선운동은 시간에 관계없이 가속도가 일정한 운동의 상태를 말한다. 그림 (b)에서는 시간과 속도와의 관계를 보여준다. 등가속도 직선운동의 경우에 시간의 변화에 대해 속도의 변화도 일정한 경우에 해당한다. 따라서 속도의 변화율 즉, 속도변화 직선의 기울기가 가속도가 된다. 그림 (c)에서는 시간과 거리와의 관계를 나타내는데 등가속도 직선운동에서는 시간의 변화에 따라 이동 거리는 기하급수적으로 변화함을 보여 주고 있다. 그림 (b)에서 속도 변화를 식으로 나타내면 다음과 같다.​

그림 (b)에서 이동 거리는 직선 아래의 면적으로 나타내는데 그 면적은 □ 면적과 △ 면적의 합이 된다.​

이 공식은 시간이 주어지지 않았을 때 이동 거리를 구할 때 사용하는 공식이다.

이 식의 유도과정을 알아 보면 다음과 같다.​

이는 뉴톤의 운동방정식으로도 유도할 수 있다.

위 그림은 어떤 물체에 F라는 힘을 가하여 S 만큼 이동하였고 속도는 당초 V1에서 V2로 변화한 것을 보여 주고 있다. 이를 통하여 위 식을 유도해 보자.

위 그림에서 행하여 진 일의 양은 W = FS가 되며 다음과 같이 유도된다.​

【 등가속도 직선운동】

다음의 그래프를 이용하여 등가속도 직선운동 관련식으로 위 식을 유도해 보자.

앞서 등가속도 직선운동에서 다음 식이 성립함을 보았다.​

또한 가속도 정의에 의하여 다음 식이 성립함을 알 수 있다.​

위 그래프이 기울기는 가속도를 의미하는데, 기울기 = Y/X = 속도/시간 = 가속도이고

직선 아래의 면적은 이동거리를 나타내는데

면적 = X × Y = 속도 × 시간 = 변위 (이동거리)

직선 아래 면적을 구해 보면​

위와같은 식이 성립된다.

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#등가속도 #운동법칙 #유도식 #뉴톤 #가속도 #시간 #속도 #변위 #포물선 #중력

#중력가속도 #벡터

※ 위 식에서 힘(F)은 물질에 작용하는 모든 힘의 합력, 알짜 힘을 말한다.

    위 식은 관성의 변화량인 가속도는 관성을 변화시키려는 요인인 힘에 비례하고 관성을 유지하려고 하는 속성인 질량에

    반비례한다는 것을 보여 준다.

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▣ 모든 물질은 원래 상태를 유지하려고 하는 관성을 가지고 있는데 외부에서 가해지는 힘에 의해서 관성이 변화하게 되는

      데 관성이 변화하는 양상은 크게 3가지로 나타난다.

  ① 운동하는 방향과 작용하는 힘의 방향이 같으면 속력이 증가한다.

  ② 운동방향과 작용하는 힘이 반대반향이면 속력이 감소한다. 마찰력이나 저항력이 발생할 때의 상황이다.

  ③ 운동방향과 작용하는 힘이 수직이면 운동방향이 변하게 된다. 대표적인 예가 원운동, 회전운동을 들 수 있다.

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▣ 뉴턴의 제3운동 법칙은 물질이 원래 상태를 유지하려고 하는 관성을 변화시키려고 하는 힘 (Force)을 정의한 것이다.

     우리가 작용 · 반작용의 법칙이라고 부르는 법칙이다.

 ⊙ 뉴턴은 힘(Force)을 다음과 같이 정의한다.

    ① 힘은 항상 가해지는 물체와 받는 물체간의 상호작용이다.

    ② 힘은 짝으로 존재한다.

결과적으로 힘은 짝으로 존재하기 때문에 A가 B를 밀면 B도 A를 반드시 밀게 된다.

따라서 A를 작용이라고 하면 B는 반작용이라고 한다. 반대로 A가 B를 당기면 B도 A를 당기게 된다.

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[힘의 종류]

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뉴톤(Newton)이 말하는 관성을 변화시키려고 하는 요인인 힘(Force)의 종류에 대하여 알아 보자.

① 중력이 있다. 중력은 무게하고도 하는데 뉴턴의 힘은 미는 힘과 당기는 힘 이 2가지로 표현된다.

     뉴턴의 표현으로 중력을 말하면 중력은 지구가 물체를 당기는 힘이라고 할 수 있다.

      그런데 이러한 작용하는 힘이 있다면 반작용도 있어야 한다. 물체가 지구를 당기는 힘이 중력의 반작용이라 할 수 있다.

  ② 천장에 줄로 매달려 있는 물체가 있다고 가정해 보자.

매달려 있는 물체가 정지해 있다고 가정을 하면 정지 상태라는 것은 관성을 변화시키려는 성질인 가속도가 "0"인 상태이다.

정지해 있는 경우 가속도 a = 0, ∑ F = 0 이다.

즉, 알짜힘이 "0"인 상태인 경우이다. 가속도가 "0"인 상태는 정지상태인 경우와 등속 직선운동을 하는 상태 2가지가 있다.

③ 어떤 평면 위에 물체가 놓여 있는 상태를 가정해 보자.

정지해 있다는 것은 가속도가 a=0이고 알짜힘이 "0"인 상태이다. 그런데 물체는 지구가 mg의 힘으로 당기고 있는데 정지해 있다는 것은 지구가 당기는 힘에 상응하는 힘이 반대로 작용하고 있다는 것이다. 즉, 바닥이 무체를 미는 (받치는) 힘이 작용하고 있는 것이다.

이에 대한 반작용은 물체가 바닥을 누르는 (미는) 힘이다.

※ 물체가 바닥을 누르는 힘은 마찰력과 관련이 있다.

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#뉴톤 #Newton #운동법칙 #질량 #가속도 #힘 #중력 #작용 #반작용 #만유인력

피토관(Pitot tube)

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유체에는 3가지 압력을 이야기한다. 정압은 유체가 정지해 있는 때 작용하는 유체 고유의 압력으로 정압은 유체에 대하여 모든 방향으로 작용을 한다. 동압은 유체에 움직임에 의한 압력으로 유체의 속도에 상응하는 압력이며 이는 흐르는 속도가 "0"이 되었을 때의 압력으로 나타낸다. 전압은 유체의 정압과 동압을 합한 압력을 말하며 피토관에서는 정체압으로도 표현된다. 피토관은 이러한 유체의 정압, 동압, 전압(정체압)을 이용하여 관속에서 흐르는 유체의 속도와 유량을 측정하는 장치이다. 아래 그림과 같은 피토관을 이용하여 유속을 측정하는 원리에 대하여 알아 보자.

위 그림에서 오른쪽 그림관 같은 피토관이 관 내부에 설치되어 있고 관의 유체는 1에서 2 방향으로 흐르고 있다. 피토관은 유체의 흐름에 수직으로 세워져 있고 2의 위치에서는 유체의 흐름방향으로 작은 구멍이 열려 있다. 1의 위치에서는 관에 수직으로 서는 있는 유체 기둥은 정압만 작용을 하고 2에서 시작된 피토관은 정압과 동압이 함께 작용하는 전압(정체압)이 작용하고 있다. 위 그림에서 정압을 수두로 나타내면 H1이 되고 정압과 동압의 합인 전압(정체압)은 H2가 된다. 동압은 전압 - 정압으로 H2 - H1이 된다. 이를 베르누이 연속방정식을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.​

위 식은 동압을 단위 부피당 운동에너지로 나타낸 것이므로 운동에너지는 다음과 같이 압력수두로 변환할 수 있다.​

위 식을 이용하여 피토관의 유체 높이차를 이용하여 유체의 속도를 구하는 식을 유도할 수 있다.

피토 정압관

피토정압관은 별도의 관을 이용하여 정압과 정체압을 측정하지 않고 하나의 장치에서 정압과 정체압을 동시에 측정하도록 고압된 장치로서 피토정압관 (Pipot-static tube)이 있고 이를 이용하여 측정하는 방법은 위에서 설명한 바와 같다.

U자형 피토정압관

아래 U자형 피토정압관에서 압력평형식을 이용하여 유속을 구하는 식을 유도해 보자.

위 그림에서 위쪽 큰 관에는 유체가 1에서 2방향으로 흐르고 있다. 큰 관의 무체의 비중량은 γ 이다. 유체가 흐르는 관에 유자형 피토관을 연결하고 연결된 부분의 피토관은 유체가 흐르는 관과 직각으로 연결되어 있고 피토관에는 비중량이 γo인 유체가 들어 있다. 큰 관에서 유체는 1에서 2방향으로 흐르고 있고 피토관의 입구인 2에서는 유체가 정지하게 되고 이곳에는 정체압이 작용을 한다. 위 그림에서 m, n은 같은 높이에 위치해 있다. 1과 2는 관의 중심선에 위치해 있어 높이가 같다. 따라서 m, n 에서의 압력은 서로 같게 된다.

Pm = Pn

또한 1, 2에서의 압력을 P1, Ps라고 한다면 Pm 과 Pn은 다음과 같이 나타낼 수 있다.​

위식을 P1과 Ps를 기준으로 정리하면 다음과 같다.​

위 그림에서 Ps는 정체압, 전압이고 P1은 정압이다. 따라서 동압은 전압 - 정압이므로

Ps - P1 = 동압이 된다.​

Ps - P1, 동압을 유체의 압력 수두로 표현하면 다음과 같다.

위 식에서 동압을 비중량 (γ)로 나누어 주면 다음과 같은 식이 된다.​

#피토관 #Pitot #피토정압관 #베르누이 #연속방정식 #전압 #정체압 #정압 #동압 #수두

#비중량 #밀도 #유속 #유량

유체역학은 크게 2가지 분야로 나뉜다.

유체가 정지하고 있을 때 유체가 가지고 있는 고유의 압력을 말하는 정압(Static Pressure)을 다루는 분야가 있고

움직이는 관에서 흐르고 있는 유체의 속도와 압력과의 관계를 다루는 동압 (Dynamic, Velocity Pressure)이 있다.

벤츄리미터는 흐르는 유체의 속도와 압력과의 관계를 이용하여 유체의 유속과 유량을 측정하는 계기이다.

벤츄리 미터는 베르누이의 연속방정식을 이용하는데 베르누이의 연속방정식은 어느 배관을 흐르는 유체가 하는 일 (압력 × 이동거리)과 운동에너지(속도) 그리고 위치에너지의 합은 항상 일정하다는 에너지지 보존의 법칙을 근거로 하고 있다.

또한 벤츄리 미터는 관내에 흐르는 유체는 비압축성이라서 특정시점에서 관의 어느 부분에서든지 유체가 흐르는 부피는

일정하다는 가정에서 출발하며 정상류 즉 동일 관경과 수평한 관내에 흐르는 유체의 압력은 동일하다는 가정을 전제로

한다.

위 그림은 일반적인 벤츄리미터를 보여 보여준다.

벤츄리 미터는 베르누이 연속방정식 즉, 에너지 보존법칙을 기초로 한다.

유체가 하는 일과 운동에너지 및 위치에너지의 합은 일정하다는 법칙에 근거한다.

위 벤츄리관에서 관경이 큰 부분이나 작은 부분에서의 에너지 총합은 같고 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.​

벤츄리 미터는 비압축성 유체라고 가정을 하므로 동일 시간내에 이동하는 유체의 어느 지점에서나 같게 된다.

위 식을 이동한 부피 (V)로 나누어도 항등식을 성립하게 된다.​

위 식을 위치수두로 변환하기 위하여 양변을 ρg로 나누면 다음과 같이 나타낼 수 있다.​

위 식에서 벤츄리관의 중심선을 기준으로 하면 Z1 = Z2가 되므로 이를 소거해도 된다.

Z1, Z2를 소거한 후 위식을 속도 v를 기준으로 정리하면 다음과 같다.​

위 식에서 벤츄리관에 흐르는 유체가 물이라고 가정하고 비중량을 γw로 나타냈다.

벤츄리관의 유체는 비압축이고 같은 시간에 흐른 유체는 어디서나 같다고 했으므로​

위식을 베르누이 연속방정식에 속도에 대입하여 정리하면 다음과 같다.​​​

위 식에서 오로지 수은주의 높이차로 유체의 속도를 측정하기 위하여 물과 수은과 비중량으로 수식을 나타냈으며

압력에서 비중량으로 변환은 다음에 따른다.​

위식에서 벤츄리관에서 중심선을 기준으로 위치에너지와 압력을 합한 것은 같다는 가정을

기준으로 압력차를 수은주의 높이차에 의한 수두로 변환한다.

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이제 실제 유체의 속도를 구하는 실례를 살펴보자.

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아래 그림과 같은 벤츄리관에서 유량 [㎥/s]을 구하시오.

[조건] D1 = 100㎜, D2 = 50 ㎜, h = 200 ㎜ 이다.

[문제풀이] Q = A1 · v1 = A2 · v2​

#베르누이 #연속방정식 #벤츄리미터 #정상류 #난류 #유체 #유체역학 #유량 #유속

#압력 #에너지보존법칙 #비압축성

압력의 종류

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◈ 정압 (Static Pressure) : Ps

◈ 동압 (Velocity/Dynamic Pressure) Pd

◈ 전압 (Total Pressure) Pt

정압 : Ps : Static Pressure

정압은 유체의 흐름에 평행인 물체의 표면에 유체가 수직으로 그 관벽을 미는 압력을 말하며 관표면에 수직 Hole을 통해 측정한다. 정압은 베르누이 방정식에서 일반적으로 말하는

압력을 지칭하는 것으로 전압, 동압과 구분하기 위해 부르는 압력을 말한다.​

동압 : Pd : Dynamic Pressure, Velocity Pressure

동압은 속도에너지를 압력에너지로 환산한 값을 말한다.

흐르는 유체가 어떤 물체에 부딛쳐 속도가 "0"이 되었을 때 속도에너지가 그 물체에 작용하는 압력(힘)을 말한다.

위 그림에서 동압은 전압에서 정압을 뺀 차압을 말한다.​

       여기서 Pd : 동압[Pa, N/㎡], ρ : 밀도[㎏/㎥], g : 중력가속도 [m/s2],

                    γ : 비중량 [㎏f/㎥]

전압 : Pt : Total Pressure

전압은 정압과 동압의 절대압의 합을 말한다.

   Pt = Ps + Pd

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#정압 #동압 #압력 #압력수두 #전압 #피토관 #절대압 #유속 #유체 #속도수두 #운동에너지 #위치에너지 #베르누이 #베르누이방정식

유체(액체와 기체)에서 일반적으로 적용되는 물리현상 분야가 유체역학이다.

유체역학은 유체가 가지고 있는 고유한 특성을 기반으로 하여 정지된 유체나 움직이는 유체의 압력, 속도, 높이 사이의 관계를 설명해 준다.

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유체역학에서 차지하는 중요한 부분 중 하나가 1738년 다니엘 베르누이가 완성한 '베르누이 방정식"이다.

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베르누이 방정식은 유체의 에너지는 압력, 속도, 위치(높이)에너지로 구성되는 이 3가지의 합은 언제나 일정하다고 한다. 이를 통해서 배관내의 유체의 속도를 알 수 있고 비행기가 양력으로 인해 부상하는 원리를 설명하기도 한다.

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베르누이 방정식 (Bernoulli equation)

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베르누이 방정식은 유체가 갖는 에너지 즉, 압력, 속도, 위치(높이)에너지는 항상 일정하다는 것에서 출발한다. 유체역학에서 적용되는 에너지 보존법칙을 말한다. 이 원리를 활용하여 베르누이의 법칙은 속도와 압력에 주안점을 두어 '유체의 정압력과 동압력의 합은 언제나 일정하다'는 원리를 이끌어 낸다. 이 때, 압력에 따라 유체의 밀도가 변화하기 안흔 '비압축성 유체'에서 적용되는 말이다.

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  * 정압 (Static pressure)은 정지상태에 있는 유체의 압력

  * 동압 (Dynamic pressure)은 유체가 흐르고 있는 등 움직일 때의 압력

  * 전압 (Total pressure)은 정압과 동압을 합한 유체의 압력

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높이에 따른 압력

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위 그림과 같이 원통안에 유체가 들어 있다고 할 때, 원통 밑 바닥이 받는 압력은 무게/면적 [㎏f/㎡]으로 나타낼 수 있다.

유체의 무게는 질량 × 중력가속도 [㎏g = ㎏f]로 나타낼 수 있다. 또한 밀도는 질량 / 부피 [㎏ / ㎥] 이고

질량은 밀도(ρ) × 부피(㎥)로 나타내며 유체의 부피는 단면적 × 높이 [㎡· m]로 나타낼 수 있다.

   * 질량은 중력과 상관없이 물질 기본적으로 가지는 속성의 하나이며

   * 무게는 물체가 중력에 의해 받는 힘(force)을 말하며 질량의 크기에 비례한다.

위의 내용을 정리하면 유체의 압력은 무게 / 면적이다. 이는 (질량 × 중력가속도) / 면적으로 다시 쓸 수 있고

이는 [(밀도 × 부피(면적 × 높이)) × 중력가속도)/면적)로 다시 쓸 수 있고 '밀도 × 높이 × 중력가속도' 로 나타낼 수 있다.

즉 압력 = 밀도 × 높이 × 중력가속도, P = ρ g h [Pa, N/㎡, ㎏f/㎡] 이다.

원통 속에 있는 유체의 높이가 높을 수록 바닥에 미치는 압력은 높아지고 높이가 낮아지면 압력도 낮아지게 된다.​

유체의 높이와 압력은 비례한다. 물기둥이 크면 그 만큼 무게가 더 나가므로 단위 면적당 무게를 의미하는 압력은 커지는 것은 당연하다. 그런데 유체 바닥에 미치는 압력은 유체의 무게에 의한 압력 뿐만 아니라고 유체에 작용하는 압력 즉, 대기압을 포함해야 한다. 이는 절대압력이라고 한다. 전체 압력은 유체만의 압력 + 대기압이 된다.

이를 수식으로 정리하면 다음과 같다.​

정상류 (Steady flow)

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'정상류'란 유체의 흐름이 시간에 따라 변하지 않는 것을 의미한다.

정상류는 유체의 흐름이 변화하지 않으므로 동일한 관을 흐를 때 유체의 유체의 위치에 상관없이 질량이 동일한다.

위 그림에서와 같이 왼쪽 그림에서 하단에서의 유체의 질량이나

상단에서의 유체의 질량이 같다. 이것은 유체가 정상류일 때를 가정한 것이다.

또한 질량(m)은 밀도 × 부피 (ρ × V)로 나타낼 수 있다. 부피(V)는 단면적 × 시간 (속도 × 시간) (A × v ×△t) 로 나타낼 수

있다. 따라서 질량 (m) = 밀도 × 부피 = 밀도 × 단면적 × 속도 × 시간, m = ρ · A · v · △t 로 나타낼 수 있다.

그런데 정상류에서는 어느 위치에든 질량(m)은 같게 되고, 시간(△t), 유체의 밀도(ρ)는 같게 되므로

A1 · v1 = A2 · v2 가 성립하게 된다. 결국 유체의 흐르는 관의 단면적이 크면 속도가 낮아지고 단면적이 작으면 속도가 빨라짐을 알 수 있다.

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베르누이 방정식 (Bernoulli equation)

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◈ 연속방정식

유체는 특이한 성질이 많다. 유체의 성질에 대한 법칙중에서 유체가 특정한 관을 끊이지 않고 연속하여 흐르고 관과 유체간에 마찰이 없다고 가정을 하면 다음과 같은 연속방정식이 성립하게 된다.

위와 같은 조건에서는 유체는 관 노선 전체에 대하여 같은 시간에 같은 부피만큼 흐른다.

관이 중간에 구경이 커지든, 작아지든 관계없이 같은 시간에는 같은 부피 만큼 흐르게 된다.

부피1 = 부피2, V1 = V2 이다.

흐르는 유체가 물이라고 하고 물의 온도가 일정하다고 가정하면 물의 밀도도 같게 된다.

밀도1 = 밀도 2, ρ1 = ρ2

그런데 밀도 = 질량 / 부피이므로 밀도와 부피가 같다면 질량도 같게 된다.​

이상의 내용을 정리하면 어떤 유체가 연속적으로 관을 따라 흐를 때 특정시간 동안 관을 따라 흐른 유체의 부피, 질량, 밀도는 관의 굵기 (관경)에 관계없이 어느 지점에서나 일정하다는 것을 알 수 있다.

위 식을 통해 동일 관에서 흐르는 유체의 속도는 관의 단면적에 반비례함을 알 수 있다.

위에서 말한 동일 관을 흐르는 유체는 관의 단면적에 관계없이 어느 지점에서나 동일 시간에 흐르는 부피, 밀도, 질량이 일정하고 유체의 흐르는 속도는 관의 단면적에 반비례한다는 것을 나타내는 식을 연속방정식이라고 한다.

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◈ 베르누이의 법칙

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앞서 특정한 관속의 흐르는 유체의 성질을 연속방정식을 통해 알아 보았다. 그런데 베르누이는 연속방정식으로 알아 본 유체와 성질과 열역학 제1법칙 즉 에너지 보존의 법칙을 이용하여 유체의 특성을 설명하고 있는데 이를 베르누이의 법칙이라고 한다. 베르누이의 법칙에 대하여 상세하게 알아 보자.

에너지보존의 법칙에 따르면 위 그림 ①에서와 와 ②에서의 유체가 갖은 에너지의 총 합은 같게 된다. 그런데 유체가 갖는 에너지는 유체가 하는 일과 속도에너지, 위치에너지로 구성된다. 여기서 일과 에너지는 같은 것이고 ①과 ②에서 유체는 동일한 압력하에서 부피가 변화는 것으로 보면 일을 했다고 본다. 이를 에너지 보존의 법칙식으로 나타내면 다음과 같다.​

위 식에 부피(V)로 양변을 나누게 되면 다음과 같은 식이 성립한다. 부피로 나누어 주는 것은 양변의 총 에너지가 같으므로 유체의 단위 부피당 에너지로 같게 될 것이므로 부피(V)로 나누어 주는 것이고 양변의 단위 체적당 에너지의 총합을 같게 된다.​

위 식에서 위치에너지가 일정 (관이 수평으로 평행)하다면 다음과 같은 식이 된다.

관이 수평으로 평행하면 관의 처음과 끝의 위치에너지는 동일하게 된다. 따라서 위치수도는

생략을 해도 등식이 성립한다.​

즉 관 내부의 압력과 유체의 속도는 반비례함을 알수 있다.

또한 앞 식을 ρg로 나누면 다음의 식이 성립한다. 여기서 ρg로 나누는 것은 일과 에너지(속도 · 위치 에너지)은 같은 물리량이고 상호 변환할 수 있다는 가정하에 각각의 일과 에너지를 수두로 변환하기 위함이다.​

위 식에서 일률(압력)과 단위 부피당 속도에너지를 수두로 변환하는 근거는 다음과 같다.

즉 압력 P은 특정 수두 ρgh와 같고 속도에너지도 특정 수두 ρgh와 같음에서 위식이 유도 된다.​

수력기울기 (수력구배)

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위에서 설명한 바와 같이 유체에 있어서는 에너지 일반식이 수두의 식으로 표현됨을 알 수 있다. 이러한 수두식은 아래 그래프와 같이 나타낼 수 있고 이를 통해 수력구배에 대하여 알아 보자.

위 그림에서 관내에 마찰이 없다고 하면 전수두는 에너지 보존의 법칙에 따라 일정하고 그림 처럼 수평이 될 것이다.

여기서 전수두란 압력수두, 속도수두, 위치수두를 합한 값이다.

그런데 압력수두와 위치수두의 합을 피에조미터 수두라고 하고 이는 전수두에서 속도수두의 값을 뺀 값이고

이것을 높이로 나타낸 값이 수력기울기선이다. 만약 유체의 진행방향으로 관의 지름이 점차 커진다면

유체의 진행 방향으로 속도가 작아지게 되고 따라서, 속도수두는 작아지는데 에너지선은 일정하므로,

일정한 에너지선에서 속도수두를 뺀 수력기울기선 (수력구배선)은 우상향하게 된다.

또한 속도구배선은 에너지선에서 속도수두를 뺀 것이기 때문에 항상 에너지선 아래에 위치하게 된다.

  ⊙ 압력수두(Pressure head) : P / ρg 를 압력수두라고 하며, 압력을 유체의 높이로 나타낸 것이다.

       압력수두를 접압수두(Static pressure head)라고도 한다.

  ⊙ 속도수두 (Velocity head) : v2 / 2g 을 속도수두라고 한다. 유체의 속도에너지를 유체의 높이로 나타낸 것이다.

  ⊙ 위치수두 (Elevation head) : Z 를 위치 수두라고 한다. 유체의 위치가 갖는 에너지를 말한다. Potential energy라고도

       한다.

  ⊙ 전수두 (Total head) : H를 전수두라고 하며, 압력수두, 속도수두, 위치수두의 합이다.

  ⊙ 피에조미터 수두 (Piezometric head) : P/ρg + Z 를 피에조미터 수두라고 한다. 압력수두와 위치수두의 합이다.

       유체가 흐르는 위치에 피에조미터를 설치했을 때 피에조미터에 액체가 올라가는 부분까지의 높이에 해당하는

       수두를 의미한다.

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토리첼리의 실험

17세기 이탈리아의 한 마을에서 우물을 찾는 사람들이 있었다. 그들은 우물을 찾기 위해 땅을 파기 시작했고12m의 땅을

판 끝에 물길을 찾을 수 있었다. 물길을 찾자 펌프의 관을 물속에 넣고 펌프질을 하였다. 그런데 물은 10.3m까지만 올라

갈 뿐 그 이상의 높이로는 올라가지 않았다.

사람들은 그 당시 위대한 과학자였던 갈릴레오 갈릴레이에게 이 현상을 의뢰했고 갈릴레이는 본 연구를 그의 조수였던

토리첼리에게 맡기고 세상을 떠난다.

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토리첼리 실험 : 기압과 진공의 발견

토리첼리는 실험을 위해 우물의 상황을 재연하기로 했다. 하지만 실험을 위해 12m의 유리관을 만들 수는 없기에 실험방법을 고심하게 된다. 이 때 그의 스승 갈릴레이의 생전 조언 덕에 수은이 같은 부피의 물에 비해 13.5배 무겁다는 점을 생각할 수 있었고 펌프가 물을 10.3m 끌어 올린다면 수은은 10.3m를 13.5로 나눈 약 760 ㎜ (76㎝)까지는 올릴 수 있을 것이란 판단을 내린다. 이러한 이유로 그는 1m의 유리관과 수은을 이용하여 계속하여 실험을 진행하였다.

토리첼리는 수은을 1m의 유리관에 가득 채우고 엄지손가락으로 그 위를 눌러 막은 다음 유리관을 거꾸로 하여 수은이 가득 찬 그릇에 담고 엄지손가락을 떼었다. 그러자 유리관 속의 수은은 점점 내려가더니 760 ㎜ 높이의 기둥을 이루었고 유리관이 막힌 맨 끝은 텅 빈 공간을 형성하는 것을 발견하게 된다.

수은이 가득 찬 유리관을 똑같은 수은이 가득찬 그릇에 넣었는데 수은이 내려가며 유리관 막힌 부분에 빈 공간이 형성되었다. 처음 수은이 가득찬 공간은 공기가 없었기에 소량의 수은 증기를 무시하면 이 공간은 진공이라 볼 수 있다.

아리스토텔레스의 말에 의하면 자연은 진공 상태를 싫어 해서 빈공간을 매질로 채우려고 한다. 이러한 이유로 빈 공간이 생기지 않기 위해 수은은 유리관 끝까지 끌어 올려져야 한다. 하지만 실제로 수은은 아래로 내려가며 빈 공간을 형성했다. 즉 수은이라는 매질이 빈 공간을 채우기 위해 위로 올라가지 않는 현상을 보여 준다.

이 현상에 대해 고민하던 토리첼리는 "공기에 무게가 있는 것은 아닐까?"라는 결론에 도달하게 된다. 실제로 공기에는 무게가 있고 이 공기가 그릇에 담긴 수은 표면을 누르고 있다.

이 공기가 누르는 무게와 수은이 내려가는 힘이 평형을 이루는 높이가 760 ㎜인 것이다.

(지구 표면에서 이 실험을 진행했기에 지구 표면 공기압력이 수은 기둥 760 ㎜를 형성한 것이다. 토리첼리의 실험을 통해 인류는 공기가 누르는 힘인 대기압과 진공상태를 발견하게 되었다. 공기가 무게를 가지고 있다는 사실 및 진공상태가 존재할 수 있다는 점을 실험으로 증명한 것이다. 인류는 이를 기념하기 위해 공기가 지표면을 누르는 대기압인 1atm = 수은주의 기둥인 760 ㎜Hg = 760 torr (torr는 토리첼리의 이름에서 따온 단위)로 명명했다.

1atm = 760 ㎜Hg = 760 torr

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토리첼리의 정리 (Torricelli's theorem)

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토리첼리의 정리 (Torricelli's theorem)란 질점 (Material point)이 중력의 작용으로 자유낙하할 때의 속도와 높이와의 관계를 나타내는 식을 말한다.

즉, 큰 탱크의 물이 측면에 작은 구멍으로 흘러 들어가는 속도는 수면에서 구멍까지의 높이와 중력 가속도에 의해 결정된다. 이러한 관계를 토리첼리의 정리 (Torricelli's theorem)하고 한다.

정압(靜壓, static equilibrium)과 동압 (動壓, dynamic equilibrium)

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정압(靜壓)과 동압(動壓)은 흐르고 있는 물체가 나타내는 총압(總壓) 가운데 유속의 흐름의 속도와 관계되는 압력을 말한다.

마찰손실이 없는 자유표면을 가진 수평배관을 흐르는 물에 직각으로 구부러진 개구부를 가진 세관을 물이 흐르는 방향에 직각으로 세운다면 관내의 물은 자유표면 보다 H 높이 까지 올라가서 정지하게 된다. H는 유속에 상당하는 수두에 해당한다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.​

전압, 정압, 동압의 상호관계

전압은 정압과 동압을 합한 값이다. 전압 = 정압 + 동압이다.

위 그림과 같이 배관 속에 유체(물)가 흐르고 있고 배관 내에 작은 구멍을 내고 직각으로 세관을 세우면

  ①의 세관에서는 세관의 개구부에 상당하는 높이 H까지 유체(물)가 상승하여 멈추게 된다.

  이를 흐르는 물의 정압 (靜壓, static equilibrium)이라고 한다.

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  ② 의 경우에는 흐르던 유체가 세관을 통하여 상승하여 유속이 "0"이 되어 정압보다 속도수두 v2/2g 에 상당하는 압력을

   더하여 정압 때 보다 더 높게 수면이 상승하게 된다.

   이와 같이 속도수두 v2/2g 에 상당하는 압력을 동압(動壓, dynamic equilibrium)이라고 한다. 위치수두로 환산하면

    '전압력 = 정압 + 동압' 이 된다.

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1. 벤츄리관 (Venturi Tube)은 무엇인가 ?

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벤투리관(Venturi Tube)은 유체 유량을 측정하는 데 일반적으로 사용되는 관형 장치다.

이는 벤츄리 효과(Venturi effect)라는 물리적 원리를 이용한다. 이 효과는 유체가 파이프의 좁은 부분을 통과할 때 속도가 증가하고 압력이 감소하는 현상을 말한다. 벤츄리 튜브의 디자인은 이 원리를 활용하여 입구가 점차 좁아지고 출구를 확장한다. 유체가 벤츄리의 좁은 부분으로 들어가면 가속되어 압력이 감소한다. 이러한 압력 변화는 파이프 벽의 압력 측정 지점으로 측정할 수 있으며 유체의 유량을 결정하기 위해 계산한다. 벤츄리 튜브는 흔히 사용되는 유량 측정 도구이다. 구조가 간단하고 안정성이 높으며 정확도가 높기 때문에 다양한 유체의 측정에 널리 사용된다.

2. 벤츄리 효과

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벤츄리 효과는 유체가 파이프의 좁은 부분을 통과할 때 속도가 증가하고 압력이 감소하는 현상을 말한다. 유체가 파이프의 좁은 부분으로 들어가면 유속이 증가하고 해당 압력이 감소한다. 이 효과는 이탈리아의 물리학자 Giovanni Battista Venturi가 발견하여 그의 이름이 붙여졌다. 이 효과는 베르누이 방정식으로 설명할 수 있다. 이 방정식은 유체 역학의 기본 법칙으로 점성이 없는 비압축성 유체에서 유선을 따라 흐르는 유체의 에너지는 보존됨을 보여 준다.​

         여기서, P는 유체의 압력

                      ρ는 유체의 밀도

                      v는 유체의 속도

                      g는 중력 가속도

                      h는 유체의 높이를 나타낸다.

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실무에서는 벤투리 효과를 통해 벤투리관을 사용하여 파이프 내 유체의 속도를 측정할 수 있다. 유체의 속도는 파이프의 압력 차이에 비례하는 것을 이용하여 측정한다. 벤추리 효과는 측정 도구뿐만 아니라 항공기 날개 설계, 굴뚝 기류 설계, 수중 배관 시스템 등 다양한 분야에서 널리 사용됩니다. 이는 유체 역학에서 매우 중요한 원리이며 공학 및 물리학의 여러 분야에 많은 영향을 끼쳤다.

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벤츄리관 작동원리

벤츄리 튜브는 다음 부품으로 구성된다.

① 입구 부분: 직경 D의 짧은 원통형 부분

② 수축 단면: 모양은 테이퍼형 튜브이고 원뿔 각도는 약 21°±2° 이다.

③ 스로트(Throat): 직경이 약 1/3~1/4D이고 길이가 파이프 직경과 동일한 짧은 직선 파이프 섹션

④ 확산 섹션: 원뿔 각도가 8°~15°인 원추형 튜브. 입구부 끝부분의 0.25~0.75D 지점에 압력 측정 링이 있고, 그 위에 최소

      4개의 압력 측정 구멍이 있으며, 압력링이 압력 게이지로 연결된다.

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또한 목구멍 중앙에는 압력 게이지로 이어지는 다채널 압력 측정 링도 있다. 입구 부분과 가장 작은 부분(즉, 목 부분) 사이의 압력 차이는 압력계 또는 자동 기록계의 눈금을 통해 측정할 수 있다. 입구 부분과 목 부분의 평균 속도, 평균 압력 및 단면적이 v1, p1, S1 및 v2, P2, S2라고 가정한다. 유체 밀도는 ρ 이다.

Bernoulli의 정리와 연속 방정식을 적용하고 평균 운동의 유선이 같은 높이라는 점에 주목하면 다음을 얻을 수 있다.​

유량 Q를 계산하는 공식은 다음과 같다.​

ρ, S1, S2를 알고 p1-p2를 측정한 후 위 공식에 따라 유량 Q를 얻을 수 있다.

벤츄리 튜브의 가장 큰 장점은 설치가 간편하다. 둘째, 확산 섹션으로 인해 유체가 점차 감속하여 난류를 줄인다(난류 참조). 따라서 압력 손실은 입구와 목 사이의 압력 차이의 10-20% 이하로 작다.

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벤투리관은 유량을 어떻게 측정하는가?

벤추리 효과를 사용하여 흐름을 측정하는 간단한 단계는 다음과 같다.

⊙ 벤츄리 설치: 먼저 유량을 측정할 파이프에 벤츄리를 설치한다.

⊙ 차압 센서를 연결한다.

⊙ 벤투리관의 넓은 쪽 끝과 좁은 쪽 끝에 압력 센서를 설치한다. 이 센서는 유체 속도와 직접적으로 관련된 두 끝 사이의

     압력 차이를 측정한다.

⊙ 압력차 읽기

     유체가 벤튜리를 통과할 때 좁은 부분에서 속도가 증가하여 압력이 감소한다. 차압 센서는 넓은 쪽과 좁은 쪽의 압력 값

     을 읽고 둘 사이의 압력 차이를 계산한다.

⊙ 유속 계산:

     베르누이 방정식과 연속 방정식을 사용하여 유체의 속도를 계산한다.

     v = sqrt(2(P1 – P2)/ρ). 여기서 P1은 넓은 쪽의 압력, P2는 좁은 쪽의 압력, ρ는 유체의 밀도다.

⊙ 유속을 결정한다.

⊙ 유량(Q)을 계산한다. 공식은 다음과 같다.

     Q = A2 × v. 여기서 A2는 벤투리관의 좁은 부분의 단면적이고 v는 이전 단계에서 계산된 유체 속도다.

⊙ 기록 및 모니터링: 압력 차이와 흐름을 지속적으로 모니터링하고 시스템 상태 분석 또는 모니터링을 위해 데이터를 기록

      한다.

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벤츄리관 유량계

벤츄리 유량계는 차압 유량계다. 벤츄리 유량계는 벤츄리 튜브, 차압 전송기 및 밸브 블록의 조합입니다. 종종 압력 파이프의 흐름을 측정하는 데 사용된다.

벤츄리 유량계는 종종 공기, 천연 가스, 석탄 가스 및 물과 같은 유체의 흐름을 측정하는 데 사용한다. 여기에는 "수축", "목" 및 "확산"의 세 부분이 포함됩니다. 유량을 측정해야 하는 배관에 설치한다.

벤츄리 유량계는 차세대 차압 흐름 측정기. 측정의 기본원리는 에너지 보존법칙인 베를리에 방정식과 흐름의 연속방정식에 기초한 유량측정법이다.

내부 벤츄리 튜브를 통해 흐르는 유체의 스로틀링 프로세스는 기본적으로 기존 벤튜리 튜브와 환형 오리피스 플레이트를 통해 흐르는 유체의 스로틀링 프로세스와 유사하다.

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1. 물의 밀도

   물의 밀도 ρ : 1,000 ㎏/㎥ = 1,000 N · s2 /m4

2. 물의 비중량

   γ = ρ · g

   여기서, γ : 물의 비중량 (9,800 N/㎥ = 9.8 KN · s2 /m4)

                ρ : 물의 밀도 (1,000 ㎏/㎥ = 1,000 N · s2 /m4)

                g : 중력 가속도 (9.8 m/s2)

3. 비체적 (밀도의 역수)​

          여기서, Vs : 비체적 [㎥/㎏]

                       m : 질량 [㎏]

                       V : 체적 [㎥]

4. 압력

      P = γ H = ρ g H

      여기서, P : 압력 [Pa = N/㎡]

                   γ : 물의 비중량 (9,800 N/㎥ = 9.8 KN · s2 /m4)

                   ρ : 물의 밀도 (1,000 ㎏/㎥ = 1,000 N · s2 /m4)

                   H : 높이 (수두) [m]

                   g : 중력가속도 (9.8 m/s2)

        P = γ1 · h1 = γ2 · h2 [Pa, N/㎡]

        여기서, γ1 : 수은의 비중량 (133,280 [N/㎥])

                      h1 : 수은주의 높이 [m]

                      γ2 : 물의 비중량 (9,800 [N/㎥])

                      h2 : 수주의 높이 [m]

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5. 이상기체상태방정식​

         여기서, P : 절대압력 [Pa = N/㎡]

                      V : 체적 [㎥]

                      n : 몰수

                      W : 질량 [㎏]

                      M : 분자량 (CO2 : 44, 할론 : 148.95)

                      R : 기체상수 (8,313.85 N·m/kmol · K),

                            압력단위가 atm일 경우 (0.082 atm·㎥/kmol ·K)

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6. 압력단위 환산

7. 유량

   ① 체적 유량 : Q = A1 · v1 = A2 · v2 [㎥/s] : [㎡] × [m/s]

   ② 질량 유량 : M = ρ · A1 · v1 = ρ · A2 · v2 = ρ · Q [㎏/s] : [㎏/㎥] ×[㎡]×[m/s]

   ③ 중량 유량 : M = γ · A1 · v1 = γ · A2 · v2 = γ · Q [N/s] : [N/㎥] ×[㎡]×[m/s]​

                         ρ : 물의 밀도 (1,000㎏/㎥ = 1,000 N·s/m4)

                         γ : 물의 비중량 (9,800 N/㎥ = 9.8 kN/㎥)

   ※ 유량계수가 주어지면 곱할 것

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8. 벤츄리미터 유량​​​

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      여기서, Q : 유량 [㎥/s], Cv : 속도계수, D1, D2 : 구경 [m], A : 배관 단면적 [π/4·D2[㎡])

                   g : 중력 가속도 (9.8 m/s2)

                   γs : 액주계 내 수은의 비중량 (13.6 × 9,800 N/㎥)

                   γw : 배관내 물의 비중량 (9,800 N/㎥)

                   △H : 높이 [m]

        ※ 벤츄리미터 유속 : 위 식에서 배관 단면적(A)만 제외하면 유속을 구하는 식이 된다.​​​

9. 피토정압관 유속​

   여기서, v : 유속 [m/s], C : 유량계수

                g : 중력가속도 (9.8 m/s2 (조건에 따라 9.81 등 달라질 수 있다.)

                S : 피토관 내 수은의 비중 (13.6), Sw : 배관내 물의 비중(1))

10. 유량​

          여기서, Q : 유량 [ℓ/min], d : 구경 [㎜], P : 방수압 [MPa]

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11. 다지관의 유량

        Q = Q1 + Q2

        여기서, Q =A · v : 전체 유량 [㎥/s]

                     Q1 = A1 · v1 : 병렬 배관 유량 [㎥/s]

                     Q2 = A2 · v2 : 병렬 배관 유량 [㎥/s]

   ※ 유량 단위 정리​​