아낌없이 주는 나무

  ◎ 상태공간법 : 현재의 회로를 바탕으로 미래를 예측하는 것

  ◎ 상태방정식 : 계통방정식이 n차 미분방정식일 때, 이것을 n개의 1차 미분방정식으로

                            바꾸어서 행렬을 이용하여 표현한 것

  ※ 미분방정식 ⇒ 3개의 1차 미분방정식 (행렬) ⇒ 상태천이방정식(상태천이행렬)

     (3차방정식)                        (상태방정식)

                       * 답 찾는 방법 정도만 다룸

​

1. 상태 방정식 

    ※ 시스템행렬과 제어행렬로 나타 내는데 시스템 행렬이 더 중요함

​◎ 상태천이방정식 : 입력 r(t)="0"이고 초기 조건만 주어졌을 때, (초기시간 이후에는

                                 어떤 현상이 나타나는가?) 초기시간 이후에 나타나는 계통의

                                 시간적 변화상태를 나타내는 행렬식

  ※ 상태천이 방정식 안에 상태천이 행렬이 있음

       상태방정식의 일반식

   ※  상태천이행렬의 성질

3. Z변환

 ※ "L" 라플라스변환 : 연속인 선형적 시스템, 규칙적 시스템

    "Z" 변환 : 불연속인 비선형 시스템, 불규칙 이산 시스템

​

① Z변환과 라플라스 변환

③ Z변화의 중요정리​

4. 가제어, 가관측

   : 제어의 기능과 불가능, 관측의 가능과 불가능을 판별한다.

1. 근궤적

S^2+3S+K = 0 이라고 할 때

  상수 K 값이 변함에 따라 근이 변하게 되는데

  근이 변함에 따라 안정 · 불안정을 판별할 수 있다.

​

   ⊙ 근 : 특성방정식의 근 - 안정과 불안정을 판별해 줌

   ⊙ S평면 상에서 개루프 전달함수(G(s)·H(s))의 이득상수 K를 "0"에서 ∞까지

       변화시킬 때 근이 그리는 궤적

       ⇒ 근궤적을 통해서 안정, 불안정을 판별할 수 있다.

​

ex) 이득상수 K의 변화에 따라 계의 특성방정식의 특성근이 어떻게 변화하는가?​

[근궤적 및 안정도]

  ① k = 0, s = -2 or 0

  ② 0 < k < 1, s = 서로 다른 음의 실근

  ③ k = 1, s = -1 (중근)

  ④ k > 1, s = 음의 공액 복소수

  ⑤ k < 0, s = 양의 실수, 음의 실근, 불안정 가능

2. 근궤적 작성 ​

 ① 근궤적의 출발 : 극점

 ② 근궤적의 도착 : 영점

 ③ 근궤적의 갯수 = 극점과 영점 중 많은 것의 갯수, 특성방정식의 최고 차수​

④ 근궤적의 대칭 : 실수축 대칭

⑤ 실수축 상의 근궤적의 범위 :

   ⊙ 극점과 영점의 총 개수가 홀수 구간에만 존재 ( - ∞ 에서 부터 시작)​

⑥ 근궤적 점근선의 각도

  ⊙ 1각도 실수축과의 내각

  ⊙ 2각도 실수축과의 외각

  ⊙ 3각도 180˚

⑧ 허수축과의 교차점 ⇒ 임계 안정 (루스표로 판별) 조건으로 계산

⑨ 이탈점, 분지점 : 특성방정식의 중근이 되는 경우

​

  ⊙ 근궤적이 나뉘어 지는 점​​

연습문제 1

문 2) G(s) = s, G(jω) = jω 의 곡선은 ?

문 3) 그림과 같은 곡선이 나오는 주파수응답은?

문 10)

       1. 모든 차수의 계수가 존재할 것

       2. 모든 차수의 부호가 같을 것 (0차는 예외적으로 봄)

       3. 루스표 1열의 부호가 같을 것

           (루스표 1열의 부호 변화 수 만큼 근이 우반평면에 존재)

  ※ 루스표 만드는 방법​

   ※ 위상의 여유와 이득의 여유

  ◎ 이득여유는 벡터궤적이 음의 실수축과 만나는 점과 판별점(-1, j0) 과 간격(차이)

  ◎ 이득 주파수 : 이득곡선과 단위 원과 만나는 점의 주파수

  ◎ 위상여유 Θ = 180˚ - α

      - 단위 원과 만나는 점과 실수축과의 각도

  ◎ 위상의 여유와 이득의 여유가 크면 클 수록 안정하다는 것

​

   ※ 이득의 여유 구하는 방법

     : G(s) · H(s)의 허수부가 0(jω=0)인 순간의 여유

예제2)​

③ 보드 선도에 의한 안정도 판별법

  ◎ 이득 교차점에서 위상이 -180˚ 보다 크고,

      위상 곡선과 -180˚선 교차점에서 이득이 음수이면 "안정"

​

※ 안정도 문제

​

문제 6) S4+2S3+S2+4S+2=0 일 때 안정도는 ?

             계수의 부호가 2번 바뀌었으므로 불안정, 우반평면에 근 2개

             ※ 차수에 "0"이 나오면 임계안정

​

문제10) 다음 전달함수일 때 안정을 위한 K의 조건은?

   G(s) = 2K / S(S+1)(S+2)

   풀이 : 1+G(s) · H(s) ⇒ H(s)=1, 단위 되먹임 함수

             특성방정식 = 개루프 전달함수의 분모 + 분자 = 0

             S(S+1)(S+2)+2K=0

            S(S2+3S+2)=0, S3+3S2+2S+2K=0​

2. 주파수 전달함수가 주어졌을 때 이득과 위상을 구하는 방법

      위상계산시 전달함수가 분모에 있을 때 위상각은 앞에 "(-)"가 붙는다.

      jb 형태시 각도는 j=90˚, -1=180˚, -j = 270˚

​

3. 벡터 궤적

  ⊙ 벡터궤적 : 주파수 전달함수 G(jω)를 복소평면상에 벡터로 나타낸 크기로서

                        G(jω)와 각도(Θ)에서 각주파수 G(jω)를 0 ~ ∞ 까지 변화시킬 때 그려진 궤적

​

                       G(jω) 에서 ω 가 0 ~ ∞로 변할 때

                      ◎ 비례요소 : k ⇒ k

                      ◎ 비분요소 : k · s ⇒ k · jω

                      ◎ 적분요소 : k / s ⇒ k / jω

                      ◎ 1차 지연 요소

                      ◎ 2차 지연 요소

                      ◎ 부동작 등

​

  ① 비례요소

      G(jω) = K​

③ 적분요소

    G(s) = k / s ⇒ G(s) = k / jω

④ 비례미분요소

    G(s) = 1+Ts ⇒ G(s) = 1+jωT

⑤ 1차 지연

4. 형에 따른 벡터 궤적 그리는 방법

※ 보드 선도에는 이득, 위상 곡선이 있음​

[이득]​

     ⊙ 절점 주파수 : 굴곡점이 발생하는 주파수

                               전달함수에서 실수부 = 허수부일 때의 주파수

     ⊙ 분자는 출발점

​

ex) 1차 지연요소 보도 선도를 예를 들면

6. 주파수 특성에 관한 상수 (용어 정리)​

   ① 영주파수의 이득 M0

        : 정상값 ⇒ 최종값의 정리

​

    ⊙ 영주파수의 이득 Mo (정상값) : 최종값 정리에 의하여 단위 계단 입력에 대한

         정상응답은 폐회로 전달함수에서 "S = 0"으로 놓았을 때 얻을 수 있는 정상값

  ② 대역폭 (BW : Bandwidth)

시간영역해석 - 과도영역(응답) - 안정

                      - 불안정

                      - 정상영역(응답) : 오차(편차), 감도

​

(1) 정상응답 (출력)

   ※ 정상응답 - 오차 (편차)

                      - 감도

(3) 최종편차 e​ss

​   ⊙ 회로이론 최종값 정리​

① 정상위치편차 ( R(s)=1/s r(t)= u(t))

④ 정 리

(4) 감도 (Sensitivity)

  ⊙ 계를 구성하는 한 요소의 특성변화가 계 전체 특성의 변화에 미치는 영향의 정도

※ 라플라스 전환

  o 시간함수(t)는 해석은 쉽지만 계산이 어렵기 때문에 라플라스 변환하여 계산한 후

     다시 역 라플라스 변환을 하여 전체를 해석하게 된다.

라플라스함수는 계산은 쉽지만 해석이 불가능

반대로 시간함수는 해석은 쉽지만 계산이 어려움​​

가. 단위계단 응답(인디셜 응답)

​

  ⊙ 입력으로 단위 계단 입력 (u(t)=1/s)을 넣었을 때의 출력

     ⇒ R (t) = u (t) = 1 / s

    ※ 단위 계단 응답(인디셜 응답)이란 ? : 입력으로 [u(t) → 1/s]을 입력시 출력을 말함

라. 2차 지연계(R-L-C 과도응답)에서 인디셜 응답​​

2. 제동비, 감쇠비 ζ

3. 특성방정식 - 2차 지연

​ ※ 특성방정식 : 전체 전달함수의 분모가 "0"이 되는 방정식​

① 특성방정식을 이용한 회로의 안정·불안정 해석

<1차 지연 제어계의 과도 응답>

⇒ 인디셜 응답

<특성방정식의 근의 위치별 과도 응답>​

(4) 영점과 극점 (제6강)

① 영점 (Zero)은 분자가 "0"이고 단락상태

   ⊙ Z(s) 임피던스는 분자가 "0"이 되는 "S"를 영점이라 하며 회로의 단락상태를 말한다

   ⊙ M(s)=0 ⇒ 분자 = 0 좌표상 표시 O

​

② 극점(Pole)은 분모가 "0"이 되는 개방상태

   ⊙ Z(s) 임피던스는 분모가 "0"이 되는 "S"를 극점이라 하며 회로의 개방상태를 말한다.

   ⊙ M(s) = ∞ ⇒ 분모 = 0 좌표상 표시 X

​

5. 과도 응답의 시간 특성 - 2차 지연요소의 인디셜 응답

  ※ 3장 전체중 시험에 제일 잘 나옴

⊙ 오버슈트 : 응답중에 발생하는 입력과 출력 사이의 최대 편차량으로서 제어계의 안정도의 척도가 된다.

⊙ 지연시간(Delay) : 시작부터 목표값의 50%에 이르는 데 걸리는 시간

⊙ 상승시간(Rising) : 10%에서 90%에 도달하는데 걸리는 시간

⊙ 세팅(정정)시간 : 정상값의 ±5%에 들어 오기까지 걸리는 시간

​

1. 최대오버슈트(Maxium overshoot)

​ ① 최대오버슈트

  ⊙ 최대 오버슈트는 제어량이 목표값을 초과하여 최대로 나타나는 최대편차량으로

       계단응답의 최종값의 백율율로 자주 사용된다

③ 최대 오버슈트는 제어계통의 상대적인 안정도를 측정하는데 자주 이용된다

    오버슈트가 큰 제동은 항상 바람직하지 못하다.

    설계시 최대 오버슈트는 시간영역 정격으로 흔히 주어진다.

​

2. 지연시간(Delay time)

  ⊙ 지연시간 td 는 계단응압이 최종값의 50[%]에 도달하는데 필요한 시간으로 정의한다.

​

3. 상승시간(Rise time)

  ⊙ 상승시간 tr 은 계단응답이 최종값의 10[%] ~ 90[%]에 도달하는데 필요한 시간

    ▶ 응답이 최종값의 50[%]인 순간 계단응답 기울기의 상승시간을 나타내기도 한다.

​

4. 임펄스응답

  ⊙ 입력이 임펄스 함수로 주어진 경우에 해당하는 출력함수를 임펄스 응답이라고 하며

      임펄스 응답의 라플라스 변환을 전달함수라 한다.

​

5. 단위계단응답

  ⊙ 입력이 단위계단함수로 주어진 경우에 해당하는 출력함수로 단위계단응답이라 한다

​

6. 2차 계통의 과도응답

​

  ⊙ 2차 계통의 전달함수 G(s)는

  ② 안정도와의 관계

    ▶ 0 < ζ < 1 : 부족제동, 감쇄진동, 안정

    ▶ ζ = 1 : 임계제동, 임계진동, 안정

    ▶ ζ > 1 : 과제동, 비진동, 안정

    ▶ ζ = 0 : 무제동, 진동, 임계 안정