아낌없이 주는 나무

1. 미분

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독립변수 x가 연속적으로 변함에 따라 종속변수 y도 연속적으로 변할 때 어느 한 점에서 종속변수 변화량 Δx와 독립변수 변화량 Δy의 비율의 극한을 그 점에서의 ‘미분계수’ 또는 ‘순간변화율’이라고 합니다.

이에 비해 단순히 종속변수 변화량 Δx 와 독립변수 변화량 Δy의 비율을 평균변화율이라 하죠.

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1-1. 평균변화율

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x가 a로부터 a+Δx인 b로 변화될 때 함수 f(x)의 평균 변화율은 다음과 같습니다.

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아래 [그림 1]에서 파랑색 직선의 기울기가 평균변화율을 뜻합니다.

1-2. 순간변화율 (미분계수)

(1)식에서 Δx→0일 때의 극한값이 순간변화율입니다. 수학적으로 표현하면 아래 식과 같습니다.​​

[그림 1]에서 주황색 직선의 기울기가 a인 지점에서의 순간변화율을 뜻합니다.

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[예제1] 순간변화율​

[풀이] 아래와 같이 미분계수는 1/2이 나옵니다. 한편 풀이에서 빨강색 부분은 같은 양을 나누고 곱해주었음을 뜻합니다.​

[예제2] 도함수

[풀이] 도함수는 아래와 같이 구해집니다.​

한편, x=1에서의 미분계수를 구한고자 한다면 위의 도함수에서 x대신에 1을 대입하면 됩니다.

그러면 (E-1)식과 같이 1/2이 동일하게 구해지는 것을 알 수 있습니다.

결국 도함수를 구해 놓으면 어느 지점에서건 미분계수를 쉽게 구할 수 있게 됩니다.

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1-4. 상미분

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위에서 도함수를 구하는 과정을 미분이라고 했는데요. 이때 원래 함수의 독립변수가 하나인 경우 이 함수를 미분하는 것을 상미분이라고 합니다.

통상적인 미분이라는 뜻이에요.

상미분 개념은 예를 들어 어떤 기계장치의 온도가 기계로 들어가는 교류신호의 실효값에만 의존하는 경우 실효전압의 크기가 증가함에 따라 온도가 어떠한 기울기로 증가하는 지를 알고자 할 때 적용할 수 있습니다.

구체적인 예로는 위 [예제2]가 바로 상미분에 해당합니다. 예제에서 x를 교류 실효값의 크기라 생각하고 f(x)를 온도라고 생각하면 됩니다.

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1-5. 편미분

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상미분은 변수가 하나인 경우의 미분이라면 편미분은 변수가 2개 이상인 경우의 미분법을 말합니다.

편미분은 하나의 변수에 대해 미분할 때 다른 변수는 상수로 취급합니다.

편미분 개념은 어떤 기계 장치의 온도가 기계로 들어가는 교류 실효값뿐만 아니라 압력에도 의존한다고 생각해봐요. 그러면 실효값과 압력이 달라지면 온도가 달라지는거에요.

이때 압력을 고정하고, 즉 압력을 상수로 취급하고 실효값에 따른 온도의 기울기를 구하는 방법이 편미분입니다. 물론 실효값을 상수로서 고정하고 압력에 따른 온도의 기울기를 구하는 것도 편미분입니다.

편미분의 기호는 다음과 같습니다. 예를 들어 변수가 여러개인 함수 f를 x로 편미분하고자 한다면 아래와 같이 쓰면 됩니다.​

[예제3] 편미분​

이 함수를 x와 y에 관해 각각 편미분하여라.

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[풀이]

먼저 x에 관해 편미분부터 하면, y를 상수로 취급하면 됩니다.

이때 상수를 미분하면 0이 되는 것을 상기하세요.​

다음에는 y에 관해 편미분하면 x를 상수로 취급하면 됩니다.

2. 미분방정식 (Differential equation)

​미분방정식이란 ‘하나 또는 그 이상의 독립변수에 관하여 하나 또는 그 이상의 종속변수의 도함수 또는 미분을 포함하는 방정식’을 말합니다.

특히 독립변수가 하나인 경우 상미분방정식(상미방, ODE, Ordinary Differential Equation), 두개 이

상인 경우 편미분방정식(편미방, PDE, Partial Differential Equation)이라고 부릅니다.

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2-1. 상미분방정식

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상미분방정식의 예시는 다음과 같습니다.​

(6)식을 보시면 y를 x로 미분하는 dy/dx항이 수식에 포함된 것을 볼 수 있어요.

이렇게 주어진 미분방정식을 푼다는 말은 독립변수가 x이고 종속변수가 y인 함수 y=f(x)를 구한다

는 의미로 보시면 됩니다.

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2-2. 편미분방정식

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편미분방정식의 예시는 다음과 같습니다.

(7)식을 보시면 u를 t로 편미분, u를 x로 편미분, u를 y로 편미분하는 내용이 포함된 방정식임을 알 수 있어요. 이렇게 주어진 편미분방정식을 푼다는 말은 독립변수가 x, y, t이고 종속변수가 u인

함수 u=f(x,y,t)를 구한다는 의미로 보시면 됩니다.

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3. 미분방정식 구분

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미분방정식은 다양한 모양을 가질 수가 있어요. 미분을 2번하는 방정식, 3번하는 방정식도 있을 수 있고 상미분과 편미분으로 구성된 방정식도 있을 수 있어요.

그래서 미분방정식을 구분하기 위한 이름이 있어야 합니다. 이때 사용되는 것이 미분방정식의 ‘계수’와 ‘차수’, ‘선형’과 ‘비선형’입니다.

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3-1. 계수와 차수, 선형과 비선형

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계수란 미분방정식에 포함되는 최고계 도함수의 계수를 말합니다.

미분이 한번인 dy/dx는 1계, d2y/dx2 는 2계가 됩니다. 미분방정식에서 주어지는 도함수의 가장

큰 계수를 기준으로 이름이 붙습니다.

또한 차수란 미분방정식에 포함되어 있는 최고계 도함수의 지수를 말합니다.

예를 들어 (y′′′)3 은 지수가 3이므로 3차가 됩니다.

선형 미분방정식은 종속변수와 그 도함수가 1차이고 각 계수가 독립변수에만 의존하는 것을 말합니다.

이에 비해 비선형 미분방정식은 종속변수와 그 도함수가 지수를 갖거나 계수가 종속변수를 포함하거나, 비선형 함수 등을 포함하는 경우를 말합니다.

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3-2. 미분방정식 구분의 예​

(10)식에서 3계 도함수가 3제곱이므로 3차 미분방정식이 되며, 또한 이 때문에 도함수가 1차가 아니므로 비선형이 됩니다. 차수는 최고계 도함수를 기준으로 결정된다는 것을 기억하세요.​

(12)식에서 종속변수인 u가 제곱(즉, 2차)의 형태여서 1차가 아니므로 비선형 방정식이 됩니다.​

(13)식은 계수 (1−y)가 종속변수를 포함하여 독립변수만으로 구성되어 있지 않으므로 비선형이 됩니다.​

(14)식은 종속변수가 비선형함수로서 1차가 아니므로 비선형이 됩니다.

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#미분 #방정식 #미분방정식 #편미분 #비선형함수 #선형함수 #독립변수 #종속변수 #계수 #차수

#도함수 #함수 #실효값 #상수 #변화율 #순간변화율 #접선 #기울기

1. 소거법과 피벗 (Pivot)

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피벗을 한마디로 정의하기는 어렵습니다. 피벗의 정의를 무작정 들으면 이해하기 어려우므로 우선 아래 연립방정식의 해를 구하는 과정을 살펴 보면서 알아 보도록 하자.

이 방정식을 소거법으로 푼다고 하면 소거법은 여러가지 방법이 있을 것이다. 위의 식에 3을 곱해서 아래식을 빼서 x를 소거할 수도 있고 위에 식에 -3을 곱해서 아래 식을 더할 수도 있고 아래식에 1/3을 곱해서 위의 식에서 아래식을 뺄 수도 있고 아래식에 -1/3을 곱해서 위 아래식을 더할 수도 있다. 결국 미지수 앞의 계수의 절대값을 맞추어 주면 두 식을 더하거나 빼서 소거할 수 있게 된다.

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그런데 앞으로, 소거법을 적용하여 연립방정식을 풀 때 피벗(Pivot)을 사용할 때는 이렇게 다양한 방법으로 하지를 않고 정하진 숫자를 곱해 더하거나 빼는 규칙에 따라 하게 된다. 이렇게 하는 이유는 랭크(Rank)와 가역성, 다각화, LU분해 등 여러가지가 연관되어 있어서 이다. 그럼 먼저 피벗을 정의를 알아 보자.

기본행연산과 행사다리꼴(REF)에 다음에 알아 보기로 하자.

첫번째 Pivot 의 정의에 주목을 하자. 내용이 이해하기 어려운데 차근차근 알아보자.

먼저 한 행에서 일차방정식의 첫번째 미지수 앞의 계수라고 했다.

에서 1행의 첫번째 미지수의 계수는 1이고 2행의 첫번째 미지수 계수는 3이니 pivot은 1,3 아닌가 생각할 수 있는데 그렇지 않다. ②를 보면 미지수 하나에 대한 Pivot은 1개라고 했다. 결론 부터 말하자면1행에 대해서 미지수 x에 대한 Pivot은 1이 맞다. 그런데 Pivot의 정의에 의하면 이 형태에서는 y의 Pivot을 찾을 수 없고 x의 Pivot만 2개 인 것 처럼 보인다. 이러한 모순은 ①을 해석하면 되는데, y의 Pivot을 구하려면 소거를 한번 해야 한다.

연립방정식을 보면 그대로 (1)식+(2)식을 해서 x값을 구할 수도 있지만 지금 방정식의 해를 찾는 것이 아니라 Pivot을 찾는 것이니 Pivot의 법칙에 따라야 한다.

(1)식에 3을 곱하고 (2)식에서 (1)식을 뺀 것으로 (2)식을 대체해 보자.

3x + 2y = 11 에서 3x - 6y = 3 을 빼면 8y = 8 이니

으로 연립방정식의 형태가 바뀐다. 즉 (2)식이 (3)식으로 대체되고 미지수 x가 소거되어 y만 남게 되고 이렇게 하여 두번째 Pivot을 말할 수 있게 되었다. 2행의 y에 대한 Pivot은

8이 된다.

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이 과정을 보면 생소하고 까다롭게 느껴질 것이다. 첫번째 Pivot은 그냥 1행에서 x의 계수를 읽으면 되지만 두번째 Pivot을 구하는 과정은 낯설다. 익숙해지기 위해서는 우선적으로 필요한 것은 소거를 어떻게 해야 하는지 명확한 기준을 세우는 것이다. 앞으로 Pivot을 구하기 위한 소거는 다음과 같은 방법으로 한다.

①에서 말하는 미지수를 소거할 방정식은 식 (2)를 말하는 것으로 식(3)으로 만들어 x를 소거시키겠다는 뜻이다. 그 다음 ②에서, 소거할 미지수의 계수는 3이기 때문에 위 방정식 (1)의 Pivot = 1 로 나눈다. 이 값 3/1 = 3 이 승수(multiplier)이다. 마지막으로 ③의 내용은 승수에 음의 기호를 붙인 -3을 (1)식의 양변에 곱한 뒤 (2)식과 더해 (3)식을 만들라는 것이다. 그러면 Pivot을 구하는 과정이 완성된다.

x항이 소거된 식 (3)에서 등장하는 첫 미지수 y의 계수는 8이다. 이 8이 두번째 피벗(Pivot)이다. 이 형태의 연립방정식을 이제 행렬로 바꿔 보면 특징이 나타나게 된다.

바로 #계수행렬 A가 상삼각행렬 U로 바뀐다.

이 예시 뿐만 아니라 일반적으로 한 쌍의 해를 가지는 연립방정식의 행렬표현에서 소거법(Elimination)을 진행하면 n행 n열, 즉 대각성분의 위치에 Pivot 들이 놓이며 대각 성분들 아래는 모두 0으로 채워진 상삼각행렬이 만들어 진다.

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Elimination makes Ax = b ⇒ Ux = b'

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2. 0은 피벗이 될 수 없다.

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가. 해가 존재하지 않는 경우 (불능)

종종 연립방정식의 한쌍에 해가 없는 경우가 있다.

이 연립방정식의 해는 없다고 한다. 행관점에서 보았을 때 두 직선은 평행하고 y절편이 달라 만나는 점이 하나도 없기 때문이다. 이것을 행렬로 바꾸면 이 방정식에 대한 소거법을 적용하면 Pivot을 구할 수 없게 된다. 소거법을 적용하면 승수는 3/1=3이고 승수의 음수값

-3을 (4)식에 곱한 뒤 (5)식에 더해 아래와 같이 (6)식을 만든다.

이를 만족하는 해는 당연히 존재하지 않으며 (6)식에서 y의 계수는 0이다. 그러나 Pivot은 "0"이 될 수 없다고 정의했으므로 이 행렬은 Pivot이 1개 밖에 존재하지 않는다.

이 경우 해가 존재하지 않게 된다.

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나. 무수히 많은 해를 가지는 경우 (부정)

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반면 두 직선이 y #절편 과 #기울기 가 모두 같다면 두 직선이 일치하는 관계를 가지게 되고 이 경우 연립방정식의 해는 무수히 많게 된다.

위 식에 소거법을 적용하면 해는 무수히 많지만 y의 계수는 "0"이니 두번째 Pivot은 값을 찾을 수가 없게 된다. 이 때도 Pivot 의 개수는 1개가 된다.

3. 여러가지 사각행렬에 대한 Pivot

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위에서 설명한 방법은 정사각행렬이 아닌 행렬의 Pivot을 구할 때 난관을 맞게 된다. 열백터나 행벡터 같은 하나의 행, 열을 가진 행렬이나 정사각행렬이 아닌 사각행렬에 대한 Pivot 및 Pivot의 개수는 어떻게 구할까 ? 정사각 행렬이 아니라는 뜻은 연립방정식의 개수(=행의 개수=m)이 미지수의 개수(열의 개수=n)보다 작은 m<n과 같은 뜻이다. 이 때 부터는 결론적으로 말하면 행렬의 랭크와 기본행연산, #사다리꼴 행렬에 대한 기초 지식을 쌓은 다음 진행하는 것이 좋다. 간단히 몇가지 특징만 알아 보자.

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가. #행벡터, #열벡터 즉 1개의 행이나 열로 이루어진 행렬의 Pivot은 1개이다. 1행의

      첫 성분이 Pivot에 해당한다.

나. #성분 이 1개 뿐인 행렬도 Pivot은 1개로 취급하고 그 성분이 Pivot이다.

다. m × n 행렬의 경우, 최대 n개의 Pivot을 가질 수 있고 Pivot을 구하려면 행사다리꼴 형

     태로 바꾸는 #소거법 을 진행하는 것이 좋다. 최대 n개라고 했지 항상 n개를 가지는 것

     은 아니어서 Pivot의 개수는 직접 구하기 보다 행렬의 랭크와 같으므로 랭크(Rank)를

     먼저 구하는 것이 Pivot을 구하는데도 수월하게 된다.

이제 Pivot에 대해 어느 정도 감을 잡았을 것이다. 그런데 연립방정식을 푸는 방법을 아는데 왜 굳이 Pivot을 배우는 걸까 ? 연립방정식의 방정식 계수 m과 #미지수 개수 n을 확장하였을 때는 소거법의 계산 횟수가 급증하기 때문이다. #이원연립방정식 까지는 소거법으로 푸는 속도가 월등히 빠른데 3 × 3 계수 #행렬 을 포함한 #연립방정식 만 되더라도 기존의 연립방정식 풀이법이 복잡해 지기 시작한다. 사실 #Pivot 을 포함한 #상삼각행렬 로 바꾸어 소거하는 방법을 ' #가우스 #소거법 ( #Gaussian #Elimination )'이라 하고 #행사다리꼴 과 같은 다른 행렬 주제와 연결된다.

#선형대수학은 엄밀한 논리와 추상적인 전개가 주 대상이며 #행렬식, 행렬연산, 행렬의 대각화, 고유값 문제, 선형독립/종속, #선형결합, 선형변환 등이 대상이다.

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선형 #대수학 은 #벡터 와 #스칼라 가 무엇인지로 시작하여 #벡터공간 이 무엇인지를 공지8가지로 정의하고 여러 논리를 펼쳐가는 것이 가장 정석적인 선형대수학과정이다.

일반적으로 벡터를 역학에서 기하학적 의미로 정의하여 '크기와 방향이 있는 물리량으로 정의하는데 선형 대수학에서 벡터는 벡터공간의 공리를 만족시키면 그 어떤 대상도 벡터가 될 수 있다.

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벡터공간에 대한 개념을 이해하기 위해서는 대수학에서 군, 환, 체가 무엇인지 이해할 필요가 있다. 대수학에서 군, 환, 체의 뼈대를 세우는 일이 매우 중요한 일이지만 개념 자체는 어렵지 않기 때문에 가볍게 터치해 보자.

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1. 이항 연산 (Binary operation)

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먼저 #연산 (Operation)이 무엇인지 정의해 보자. 4칙연산을 보함하여 적분도 연산의 일종이다. 단지 어떤 대상을 연결시켜 조합을 만들어 내는 행위를 연산의 일종이라고 볼 수 있다. 연산의 정의는 다음과 같다.

쉽게 말하자면 어떤 집합의 두 원소를 뽑아 내서 둘을 연산시켰을 때, 그 연산의 결과물도 집합 X내에 포함된다면 이 연산이 집합에 대해 닫혀 있다(closed)고 말할 수 있다는 것이다.

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예를 들어 자연수는 #덧셈 과 #곱셈 에 대해 닫혀 있다. 임의의 #자연수 를 뽑아 덧셈기나 곱셈을 해도 여러번 할지라도 여전히 자연수이기 때문이다. 반면 뺄셈에 대해서는 닫혀있지 않다. 3-5=-2는 자연수가 아니고 5-5=0도 자연수가 아니다.

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위 개념은 정의를 기억하고 나서 자연수, #정수 , #유리수 , #무리수 , #실수 에 대해 사칙연산의 닫혀 있는지에 대한 여부 정도로만 확인하고 넘어가도 충분하다.

2. 군 (群, Group)

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군, 환, 체 중 연산의 기초 중 기초적인 성질이 성립하는 집합을 가리키는 것이 군으로 정의는 다음과 같다.

항등원이란 연산해서 자기 자신을 만드는 어떤 집합의 원소라 볼 수 있다. 함수에서 항등원의 개념은 항등함수이고, 행렬에서는 항등행렬이다. 임의의 행렬에 항등행렬을 무한히 곱해도 여전히 원래 행렬 그대로의 형태가 남기 때문이다. 역원은 항등원의 결과가 나오게 하는 원소로 함수에서 역함수, 행렬에서 역행렬의 역할을 한다.

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3. 환 (環, Ring)

#환 은 덧셈 아벨군의 조건을 만족하면서 곱셈에 대한 결합법칙, 분배법칙까지 성립하는 것이고 추가적으로 교환법칙이 성립하면 가환환이라 한다. 정수 전체의 집합 Z와 유리수 전체의 집합 Q, 실수 전체의 집합 R, 복소수의 집합 C가 모두 가환환이다. 곱셈과 덧셈에 대하여 교환법칙이 성립한다.

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선형대수학에서 매우 자주 등장하는 행렬은, 행렬의 곱셈의 경우 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다는 것을 기억하자. MN(R)-n차 정사각행렬, 성분이 환의 원소임을 뜻함-은 가환환이 아닌 환으로 간단히 비가환환이라고 한다.

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이렇게 군 > 환 > 체 순서로 어떤 집합의 범위를 좁혀 나가는 것은 연산을 얼만큼 자유자재로 할 수 있는지 적당한 집합을 찾는 것이 목적이기 때문이다. 대수학에서는 사칙연산을 할 수 있는 대상을 찾는 것에 관심이 있기 때문이다. 가장 간단한 덧셈부터 복잡한 나눗셈까지 기본적인 연산법칙들이 성립하는 집합을 찾아 할 수 있다.

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4. 체 (Field)

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#체 는 가장 중요하고 빈번히 등장하는 연산이 잘 정의되는 집합이다. 체는 사칙연산(나눗셈까지)이 모두 별다른 문제없이 잘 수행되는 대상을 모은 집합이다.

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체를 정의하기 전에 곱셈에 대한 역원을 정의해야 한다. R에서 하나 임의로 뽑은 원소에 대해 곱해서 항등원이 되게 하는 원소가 존재할 때, 뽑은 원소를 가역원, 곱해서 항등원을 만드는 원소를 역원이라 한다. 이는 조금만 자세히 들여다 보면 나눗셈을 하겠다는 의도가 깔려 있는 것으로 파악할 수 있다.

체의 정의는 다음과 같다.

유리수 집합 Q, 실수 집합 R, 복소수 집합 C는 모두 체이다. 1에서 설명한 표를 참고하면 좋을 듯 하다. 나눗셈과 정수는 체의 조건을 만족시키지 못한다. 이외에도 체가 되는 집합은 셀수 없이 많은데, 몇가지만 다루어 보도록 합시다.

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예제1) 2로 나누었을 때 나머지를 모은 집합 Z2가 Field인지를 검증하여라.

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2로 나눈 나머지는 0,1 뿐이므로 Z2의 원소는 이 두개이다.

그럼 0과 1에 대해 각각 ㉡을 만족하는지 확인해 보면 된다. 일단 덧셈과 곱셈을 확인한다.

여기서 왜 1+1이 2가 아니라 0이 되는지 궁금해 할 수 있다. Z2에서 덧셈을 한다는 것은 단순히 더한다는 것이 아니라 더한 숫자를 다시 2로 나누었을 때 나머지가 무엇인지를 확인하는 것이다. 1+1=2를 다시 2로 나누면 나머지가 0이니, Z2에서 1+1은 0이다. 같은 원리로 1+0=1을 다시 2로 나누면 나머지가 1이다. 곱셈 역시 마찬가지다. 그러면 표에서 확인할 수 있듯이 반드시 연산결과가 0 또는 1만 나오게 된다. 이 표를 통해 체의 조건 ㉡이 모두 만족함을 알 수 있다. 예를들어, 1의 덧셈에 대한 항등원은 0이고, 역원은 1이다.

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예제2) 다음 집합이 Field임을 보여라.

곱셈에 대한 역원이 존재할까? 역원은 여기서 역수에 해당하는데

계산해 보면 존재함을 알 수 있다.

이 집합은 Field임을 알 수 있다.

PID 제어 (비례, 적분, 미분 제어)란?

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자동제어는 감지기 및 센서로 부터의 신호를 읽고 목표치와 비교하면서

설비기기의 운전 및 정지 등 "조작량"을 제어하고 목표값에 가깝게 하는 명령입니다.

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여기서 "조작량"을 목표값과 현재 위치의 차이에 비례한 크기로 생각하고

조금씩 조절하는 방법이 "비례 제어"라고 합니다.

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비례제어의 일반적인 제어방식으로는 "PID"가 있습니다.

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P 동작 : Proportional 동작 (비례 동작)

I 동작 : Integral 동작 (적분 동작)

D 동작 : Differential 동작 (미분 동작)

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1. 비례제어 방식

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ON-OFF 제어 보다 제어 결과의 정확도를 높일 수 있는 자동제어 방식으로

비례제어 방식이 있습니다.

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범위의 MV(조작량)가 제어 대상 PV(측정값)의 변화에 따라 0~100[%] 사이를

연속적으로 변화시키는 것을 생각한 제어방식입니다.

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일반적으로 SV(설정값)은 비례대역의 중심에 놓습니다.

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ON-OFF 제어에 비해 헌팅이 작고 부드러운 제어 가능합니다.

"자동차 운전"을 예로 들면, 목표값과 현재값의 차이가 크면 악셀을 더 밟아 속도를

더해가고 목표치에 가까워지면 악셀을 서서히 줄이는 것처럼 속도를 제어합니다.

​

이렇게 하면 비례제어로 잘 제어할 수 있다고 생각할 수 있지만

비례제어는 목표치에 도달하면 문제가 발생합니다.

​

목표치에 근접하게 되면 목표치와 편차가 적어, 조작량이 너무 작게 되고

더 이상 세밀하게 제어할 수 없는 상태가 되어 버려, 조작이 멈춰 버리게 되고

안정화 되어 버리는 현상이 일어나게 됩니다.

​

사람이 조작하는 경우에는 목표치에 딱 맞추는 것이 가능하지만

조절기 등을 사용하여 전기적으로 제어하는 경우에는

목표값과의 차이(편차)가 너무 작아 측정 오차 범위에 들어가 버리면

통제, 제어가 불가능한 상태가 되어 버립니다.

비례제어(P 제어)는 ON-OFF 제어에 비해 잘 제어할 수 있는 것을 생각할 수 있지만

실제로는 측정값이 설정값(목표값)에 근접하게 되면 문제가 일어 납니다.

따라서 이러한 문제를 해결하기 위해 고안한 것이

PI 제어 (비례·적분 제어) 입니다.

​

2. PI 제어 (비례·적분 제어)

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P 제어 (비례 제어)에 있어서의 문제점은 측정값이 설정값에 도달하면 조작량이 너무 작아

제어할 수 없는 상태가 되어 버린다는 것입니다.

​

그 결과, 설정값에 매우 근접한 상태에서 더이상 조작되지 않고 안정화 되어 버려

언제까지 가더라도 "측정값 = 설정값"이 되지는 않게 됩니다.

​

여기서 P 제어(비례 제어)의 측정값과 설정값의 차이를 "e (편차)"라고 합니다.

비례제어는 목표값에 접근할 수 있지만,

목표값과의 오차(편차)는 "0"이 될 수 없는 특성을 가지고 있습니다.

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이 편차를 없애기 위해 생각한 것이 '적분 동작(I)'입니다.

적분동작(I)은 편차를 시간적으로 축적하고 축적된 양을 설정량과 비교하여

편차를 재설정하고 편차를 없애는 방식으로 작동시킵니다.

​

이렇게 비례 동작에 적분동작을 추가한 제어를 PI 제어 (비례·적분 제어)라고 합니다.

PI 제어 (비례·적분 제어)는 P 제어( 비례 제어) 보다 잘 제어할 수 있다고 생각할 수 있지만

목표치에 맞추기 위해 편차를 축적하는 시간이 추가적으로 필요하다는 특성이 있습니다.

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자동차 운전 제어처럼 가파른 길과 강한 역풍(맞바람) 등으로 차량 속도를 크게 방해하는

외란이 발생한 경우, PI 제어 (비례·적분 제어)는 편차를 축적하기 위해 어느 정도 시간이

소요되므로 불편한 경우가 생기게 됩니다.

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따라서 이러한 문제를 해결하기 위해서 고안한 것이 PID (비례·적분·미분 제어)입니다.

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3. PID (비례·적분·미분 제어)

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PI 제어 (비례·적분)에서 개선해야 할 사항은 바로 응답시간입니다.

PI (비례·적분 제어)는 "측정값 = 설정값(목표값)"으로 제어할 수 있지만

일정한 시간이 소요됩니다.

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예를 들어 "외란"이 있을 때, 곧 바로 반응하지 않고,

제어가 듣지 않는 상태에 빠질 수 있습니다.

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이러한 문제를 해결하기 위해 생각한 것이 바로 "D 동작 (미분 동작)" 입니다.

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미분 동작은 측정 시점 편차와 바로 전 측점시점간의 편차를 비교하여 그 차이로 제어하는

것으로 이를 "미분 동작"이라고 합니다.

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이렇게 비례 동작에 적분 동작과 미분 동작을 추가한 것을 PID (비례·적분·미분 제어)라고 합니다.

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PID (비례·적분·미분 제어)는 조작량에 민첩하고 빠르게 조작량에 반응하여

"측정값 = 설정값"이 되게 제어하는 방식이라 할 수 있습니다.​

1. 시퀀스 제어

   : 정해진 순서에 따라 차례대로 동작 (개루프 제어)

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① 사용기구 : 입력기구, 출력기구, 보조기구

② 접 점 : 회로를 열고 닫아 회로의 상태를 결정하는 기능을 갖는 기구

  ⊙ C 접점 : a,b 변환 접점

    ◎ 유접점 : 일반적인 시퀀스 (실제 작동)

    ◎ 무접점 : 논리 작동 ( ex.. 반도체 → 논리회로 )

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③ 수동 스위치 : 사람이 직접 누른다.

  ⊙ 회로의 개폐, 또는 접속 변경 등의 작업 명령 등의 입력 기구

      ※ BS, PB (Push Button Switch)

    ◎ 복귀형 : 누를 때 붙었다 떼면 떨어지는 것

    ◎ 유지형 : 한번 누르면 계속 유지되는 스위치

                     (보통 시퀀스 회로에서는 복귀형을 많이 쓴다)

    ◎ 검출스위치 : 온도, 열, 과전류 등을 검출하는 스위치

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2. 논리회로

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① AND gate

  ⊙ 입력 A, B가 동시에 있을 때 출력 X가 생기는 회로

② OR gate

  ⊙ 입력 A, B 둘 중에 하나가 있을 때 출력 X가 생기는 회로

③ NOT gate

⊙ 입력과 출력의 상태가 반대로 되는 상태의 반전 회로

④ NAND = NOT AND gate

⑤ NOR = NOT OR gate

⑥ EOR(XOR) : Exclusive OR gate

  ⊙ 입력이 서로 다를 때 출력이 나오는 회로

3. 논리 변환과 논리 연산

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[배분법칙]

  ① A + (B · C) = (A + B) · (A + C)

  ② A · (B + C) = AB + AC

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    (A + B) · (A + C)

      = A × A + A × C + A × B + B × C

      = A + AC + AB + BC

      = A × (1 + C + B) + BC

      = A × ( 1 ) + BC

      = A + (B · C)

    ∴ A + (B · C) = (A + B) · (A + C)

      - AB + AC = A (B + C)

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4. 2진수의 특성

​   0 = OFF

  1 = ON

  1+1 = 1 = ON

5. 드모르간의 정리

    모든 것을 거꾸로 하면 된다.