아낌없이 주는 나무

1. 운동량 (Momentum)

운동량은 영어로 Momentum 이라고 한다.

운동량은 선형 운동량과 각 운동량으로 나뉘는데 선형 운동량은 Linear momentum이라 하고 각 운동량은 Angluar momentum이라고 한다.

여기서는 선형 운동량에 대해서만 다룬다.

선형 운동량은 물체의 속도와 질량의 곱으로 나타낸다. 이 때 운동량은 벡터량이다.

위 식에서 속도가 벡터량이기 때문에 질량과 속도의 곱인 운동량도 벡터가 된다.

선형 운동량은 단순하다.

질량 10 ㎏의 물체가 5 [m/s]의 속도로 날아 가고 있다면 10 ㎏ × 5 m/s = 50 [㎏·m/s]의

운동량을 갖게 된다. 운동량은 벡터량 이기 때문에 방향이 중요하다. 오른쪽 방향으로의 운동량을 (+)로 잡으면 왼쪽 방향으로의 운동량은 (-)로 표시하게 된다.

​

2. 충격량 (Impulse)

​

충격량은 영어로 Impulse라고 한다.

충격량은 물체에 얼마 만큼의 힘이 얼마나 오랫동안 가해졌는가를 나타내는 벡터량이다.​

충격량은 기호로 I 를 쓰고 벡터량이다. 충격량은 힘을 시간에 대하여 적분한 것이다.

충격량의 단위는 힘 [N]과 시간 [sec]의 곱으로 나타낸다.

위 그래프에서 힘과 시간의 곡선 아래의 면적이 충격량, 역적(力積)이라고 한다.

여기서 역적은 힘의 적분을 말한다.

​

3. 운동량과 충격량

​

운동량과 충격량의 관계는 "물체에 가해진 충격량 만큼 물체의 운동량이 변한다"라고

할 수 있다.

위 그림에서 왼쪽 그림은 벽면이 물체에 가한 충격량은 10 ㎏의 물체가 5 m/s 로 움직이다 멈추었기에 50 ㎏·m/s 가 되고 오른쪽 그림은 5 m/s로 부딪히고 다시 5 m/s로 튕겨져 나갔으므로 벽면이 물체에 가한 충격량은 50 + 50 = 100 ㎏·m/s 로 나타나고 충격량의 단위는 [N/s]로 나타낸다.

​

4. 운동량과 충격량의 관계

​

운동량과 충격량은 벡터값이기 때문에 다음 그림과 같이 2차원상에서 알아 보자.

P1의 운동량을 가지고 이동하는 물체가 이동을 하고 있는데 어느 순간 충격을 받아서 P2의 운동량을 갖게 되는 경우, 운동량과 충격량의 관계를 이용하여 충격량을 구할 수 있다.

물체가 받은 충격량 만큼 운동량이 충격량이 되므로 운동량의 변화량이 곧 충격량이 된다.

즉, 운동량의 차이를 이용하여 운동량을 변화시킨 충격량을 구할 수 있게 된다.

위 그림은 운동량과 충격량의 관계를 나타내 주는데 똑같은 높이에서 달걀을 떨어 뜨렸는데 스펀지에 떨어진 계란은 깨지지 않고 딱딱한 물체에 떨어진 계란은 깨지는 것을 보여준다. 왜 그럴까 ? 계란이 떨어지면 운동량이 "0"이 되는데 운동량이 모두 충격량으로 변하게 되는데 이 때 충격량으로 변하는 시간이 다르기 때문에 스펀지에 떨어진 경우 충격이 가해지는 시간이 길어 물체에 가해지는 힘의 크기가 작아지기 때문이다.

야구에서 공을 짧게 끊어 치면 충격량이 가해지는 시간이 짧아져 운동량에 변화를 많이 줄 수가 없어 공이 멀리가지 않고 밀어치게 되면 충격량이 많아져서 운동량 변화를 많이 줄 수가 있어 공이 멀리가게 되는 원리를 설명해 주고 있다.​

물체가 어떤 충격량을 받게 되면 그 받은 충격량 만큼 운동량이 변하게 된다고 할 수 있다.

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#운동량 #충격량 #모멘텀 #임펄스 #momentum #Impulse #벡터 #적분

1. 운동량 (Momentum)

운동량은 영어로 Momentum 이라고 한다.

운동량은 선형 운동량과 각 운동량으로 나뉘는데 선형 운동량은 Linear momentum이라 하고

각 운동량은 Angluar momentum이라고 한다.

여기서는 선형 운동량에 대해서만 다룬다.

선형 운동량은 물체의 속도와 질량의 곱으로 나타낸다. 이 때 운동량은 벡터량이다.​

위 식에서 속도가 벡터량이기 때문에 질량과 속도의 곱인 운동량도 벡터가 된다.

선형 운동량은 단순하다.

질량 10 ㎏의 물체가 5 [m/s]의 속도로 날아 가고 있으며 10 ㎏ × 5 m/s = 50 [㎏·m/s]의

운동량을 갖게 된다. 운동량은 벡터량 이기 때문에 방향이 중요하다. 오른쪽 방향을 (+)로

잡으면 왼쪽 방향은 (-)로 표시하게 된다.

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2. 충격량 (Impulse)

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충격량은 영어로 Impulse라고 한다.

충격량은 물체에 얼마 만큼의 힘이 얼마나 오랫동안 가해졌는가를 나타내는 벡터량이다.​

충격량은 기호로 I 를 쓰고 벡터량이다. 충격량은 힘을 시간에 대하여 적분한 것이다.

충격량의 단위는 힘 [N]과 시간 [sec]의 곱으로 나타낸다.

위 그래프에서 힘과 시간의 곡선 아래의 면적이 충격량, 역적이라고 한다.

여기서 역적은 힘의 적분을 말한다.

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3. 운동량과 충격량

​

운동량과 충격량의 관계는 "물체에 가해진 충격량 만큼 물체의 운동량이 변한다"라고

할 수 있다.

위 그림에서 왼쪽 그림은 벽면이 물체게 가한 충격량은 10 ㎏의 물체가 5 m/s 로 움직이다 멈춰 섰기에 50 ㎏·m/s 가 되고 오른쪽 그림은 5 m/s로 부딪히고 다시 5 m/s로 튕겨져 나갔으므로 벽면이 물체에 가한 충격량은 50 + 50 = 100 ㎏·m/s 로 나타나고 충격량의 단위는 [N/s]로 나타낸다.

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4. 운동량과 충격량의 관계

​

운동량과 충격량은 벡터값이기 때문에 다음 그림과 같이 2차원상에서 알아 보자.

P1의 운동량을 가지고 이동하는 물체가 이동을 하고 있는데 어느 순간 충격을 받아서 P2의 운동량을 갖게 되는 경우,

운동량과 충격량의 관계를 이용하여 충격량을 구할 수 있다.

물체가 받은 충격량 만큼 운동량이 충격량이 되므로 운동량의 변화량이 곧 충격량이 된다.

즉, 운동량의 차이를 이용하여 운동량을 변화시킨 충격량을 구할 수 있게 된다.

위 그림은 운동량과 충격량의 관계를 나타내 주는데 똑같은 높이에서 달걀을 떨어 뜨렸는데 스펀지에 떨어진 계란은 깨지지 않고 딱딱한 물체에 떨어진 계란은 깨지는 것을 보여준다. 왜 그럴까 ? 계란이 떨어지면 운동량이 "0"이 되는데 운동량이 모두 충격량으로 변하게 되는데 이 때 충격량으로 변하는 시간이 다르기 때문에 스펀지에 떨어진 경우 충격이 가해지는 시간이 길어 물체에 가해지는 힘의 크기가 작아지기 때문이다.

야구에서 공을 짧에 끊어 치면 충격량을 가해지는 시간이 짧아져 운동량에 변화를 많이 줄 수가 없어 공이 멀리가지 않고 밀어치게 되면 충격량이 많아져서 운동량 변화를 많이 줄 수가 있어 공이 멀리가게 되는 원리를 설명해 주고 있다.​

물체가 어떤 충격량을 받게 되면 그 받은 충격량 만큼 운동량이 변하게 된다고 할 수 있다.

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#운동량 #충격량 #모멘텀 #임펄스 #momentum #Impulse #벡터 #적분

▣ 어떤 용기에 담겨있는 물의 압력이나 고인 물의 압력을 계산하는데는 정수압에 대한 관련식이 필요하다.

물에 의한 압력이 작용하는 사례는 우리 주변에 매우 많다. 위 그림은 미국 콜로라도의 후버댐과 우리나라 소양강댐의

사진이다. 이들 댐을 설계할 때는 정수압의 계산이 필요하다.

즉, 정수력, 유체의 수심에 따라 선형적으로 변동하는 유체의 압력 계산이 필요하다.

그런데 위 그림에서 소양강댐은 댐체가 직선이고 후버댐은 곡선이다. 따라서 수압이 소양강

댐은 평면에 작용하고 후버댐은 곡면에 작용한다. 평면과 곡면에 작용하는 수압을 측정하는 방법에 대하여 알아 보자.

수압의 영향을 받는 구조물은 댐 뿐만 아니라 하천에 설치하는 교각, 가물막이 막, 방파제,

교각설치를 위한 케이슨 등 다양하다.

​

먼저, 평면에 가해지는 정수력에 대해 알아 보자.

대표적인 형태로 소양강댐에 대해 살펴보자. 위 그림의 왼쪽 그림은 소양강댐 전경사진이고

오른쪽 그림은 개념적으로 댐의 단면을 보여주고 있다. 그림에서 댐체의 단면중 공기와 닿

는 부분을 제외한 수중 부분을 보면 댐체와 물을 평면으로 닿고 있음을 알 수 있다.

그런데 평면이냐 곡면이냐에 따라 수압이 댐체에 미치는 영향이 달라진다.

​

정수력은 어떤 면에 수직적으로 작용하는 단위 면적당 힘인데 이 때 입력은 위치에 따라

달라질 수 있기 때문에 수학적으로는 dF/dA에 대하여 극한값을 취하게 된다. 그렇다면

거꾸로 어떤 면에 작용하는 힘은 어떤 면에 작용하는 압력의 미분값을 적분하면 얻을 수

있다. 그런데 어떤 면에 압력이 균일하게 작용한다면 압력 P가 상수가 될 것이다.

이런 경우 작용하는 힘은 압력상수에 면적 곱하여 산정된다.

즉 F = PA로 나타낼 수 있다.

​

앞에서 어떤 면에서 균일하게 압력이 작용한다면 그 면에 작용하는 힘은 압력 × 면적으로

산정할 수 있다고 하였다. 그런데 힘은 벡터이므로 벡터적 관계에서 살펴보자.

위 그림의 왼쪽 그림을 보면 압력이 균일하게 작용한다고 하였으므로 압력 P는 상수가 되고

작용하는 힘은 P × A 가 되는데 힘은 벡터인데 P와 A는 스칼라값이므로 물의 압력에 대응

하는 힘을 산정하려면 압력과 반대방향으로 단위 벡터 n벡터를 추가해야 한다.

오른쪽 아래 그림을 보면 비어있는 십자원은 압력중심이고 유체의 하중을 받는 압력의 중심

을 말한다. 반면 센트로이드는 도심을 의미한다. 위쪽 압력은 균일하므로 압력중심과 도심

의 위치가 같다.

​

이번에는 균일한 압력이 평면이 아닌 곡면에 작용하는 경우를 알아 보자. 위 그림을 보면

비정형인 파란색의 물체가 있다고 하자. 위와같은 물체가 대기중에 있다고 하면 물체의 상

부 쪽 빨간색 화살표 쪽으로 대기압이 작용하게 된다. 물론 위치에 따라 대기압이 다르지만

물체가 크지 않다고 한다면 모든 위치에서 대기압이 같다고 하여도 무방하다. 그러면 이 물

체에 작용하는 힘을 구한다고 한다면 힘은 -nPdA를 적분하면 된다.

그런데 n벡터는 위치에 따라 방향이 바뀌게 되므로 적분할 때 상수로 취급할 수 없게 된다.

따라서 힘을 구하기 위해서는 적분을 해서 구해야 하는데 dA =rdθ 이고 n 벡터는

icosθ + jsinθ 가 된다. 이를 적분을 하면 합이 "0"이 된다.

​

위 그림 왼쪽을 보면 풍선의 내부압력은 풍선이 커지거나 작아지지 않으므로 대기압력과

평행을 이루고 있다고 할 수 있다. 즉 대기압과 같다고 할 수 있으므로 내부 압력은 계기압

력 "0"이 된다. 또한 오른 쪽 그림은 풍선에 작용하는 힘은 풍선에 수직방향으로 균일하게

작용하게 되므로 압력 P에 풍선의 단면적을 곱한 값이 될 것이다. 풍선의 단면적은 πr2이다.

아래 그림에서 물방울의 경우 대기압력과 물방울의 표면장력과 같은 경우와 같은 예라고

할 수 있다.

​

이제 본격적으로 평면에 작용하는 정수력의 크기를 산정하는 방법에 대해 알아 보자.

위 그림의 오른쪽은 소양강댐 사진이고 왼쪽 그림은 댐을 내부에서 바라본 것이라고 가정을

하면 댐체는 수직으로 서 있지 아니하고 경사면을 띠게 된다. 댐체의 면을 Y축이라고 하고

Y축과 수면이 만나는 점을 "O", 수면에서 하늘 쪽 수직방향이 "Z"이라고 하자. 또한 수면과

댐체면이 이루는 각도를 "α"라고 하자.

Y방향으로 작용하는 정수압은 위치에 따라 선형적으로 작용한다는 것을 알 수 있다.

깊이가 깊어지면 압력이 높아진다. 압력을 식으로 나타내면 압력 P = γysinθ라고 할 수 있

다. 여기서 γ 는 물의 단위 중량, 비중량이고 수심은 ysinα 가 된다. 댐체의 어떤 미소면적을

dA라고 하자. 미소면적에 작용하는 힘은 dF =PdA가 된다. 아주 작은 미소면적이므로

압력은 위치에 따라 변하지 않는다고 할 수 있으므로 압력 P'를 상수취급해도 된다.

이 때 P'를 기준으로 하중을 구하자. P'는 도심에 작용하는 압력이다. 작용하는 힘을 구하려

면 적분을 y 즉 도심까지 거리로 적분을 해야 하는데 도심에서의 압력으로 구할 수 있다.

즉, F = P'A로 구할 수 있다.

위 그림의 오른쪽 그림을 보면 노란색 선이 보이는데 이 노란색 단면이 우리가 구하고자 하

는 압력의 단면이다. 미소면적 dA이고 도심까지의 거리가 y, 도심의 압력을 P'라고 하자.

작용하는 힘은 압력 × dA를 적분하면 된다. 그런데 압력 P =γysinα라고 하였으므로

위의 식으로 정리할 수 있다. γsin θ 는 상수이므로 적분식에서 밖으로 나올 수 있으므로

결국 정리하면 F = P'A 가 된다.

​

#압력 #정수압 #벡터 #곡면 #평면 #방정식 #수압 #적분 #미분 #균일압력 #선형적

#소양강댐 #후버댐 #극한값 #상수

교류 기전력은 #발전기 의 터빈이나 프로펠러에 의하여 발생하는데 프로펠러의 한바퀴 회

전에 따라 전류의 변화와 전압의 변화량을 그리면 정현파로 나타난다.

아래 그림에서 보듯이 프로펠러의 원운동에 따라 기전력의 변화량을 y축에 나타 내었다.

왼쪽 그림과 같이 P는 일정한 속도로 원 위로 회전한다고 할 때 P점과 원점 x축 사이의 각

∠POx를 θ라고 하면 θ의 변화량에 대한 P점의 y좌표 값을 이어서 그리면 오른쪽 그래프가

나타난다.

오른 쪽 파란색 그래프를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

    f (θ) = sin θ

이는 삼각함수 형태이다. f(θ)는 각 θ의 변화와 P점의 위치 변화의 관계를 나타내는 함수이다. 이 식에서 P점의 위치가

변하는 속도, 즉 회전속도를 적용해 보면 시간 t에 대한 함수로 변환이 가능하다.

   f (t) = sin t

sin 함수의 변수는 각도이고 0° ~ 360°이거나 0 ~ 2π 사이의 값을 갖는다.

sin 함수는 2π를 주기로 반복하게 되고 시간 t가 1~2, 2~3 등 모든 구간에서 위식이 만족함을 알 수 있다.

즉 sin(2πt)는 1초 마다 한번씩 반복되는 sin 함수이다.

여기서 반복되는 주기 f가 추가하게 된다.

  다. #위상 : 전기자 도체에 사인파 진행이 시작되는 각​

4. 교류의 크기 표시

가. #순시값 (instantaneous value)

  ▣ 시간에 따라 변화하는 전압, 전류값(시간에 따라 순간적으로 변화), 소문자로 표기​

  정현파 교류에서 실효값은 다음과 같다.​

다. #최대값

라. #평균값

  ▣ 순시값에 대한 반주기 동안의 평균적인 값, 파형의 면적을 반주기로 나눈값​

5. 교류의 #벡터 표시법

 가. 복소수의 여러가지 표현

  ① 직각 #좌표법 ( #복소수 )

  ② 극좌표법

  ③ 삼각함수법

    Z = a +jb = ㅣZl (cosθ + jsinθ) = Z cosθ (실수) + Z sinθ (허수)

​

나. 복소수의 연산

    X = a + jb, Y = c + jd 라고 할 때

  ① 덧셈 : X + Y = (a+jb) + (c+jd) = (a+c)+j(b+d)

  ② 뺄셈 : X - Y = (a+jb) - (c+jd) = (a-c) + j(b-d)

  ③ 곱셈 : X × Y =(a+jb) × (c+jd) = ac+jad+jbc+j2bd =(ac-bd)+j(ad+bc)​

2. 220 [V], 60 [W] 가정용 전구의 전압 평균값은 약 몇 [V]인가 ? ④

   ① 110 [V]           ② 141 [V]                    ③ 173[V]                    ④ 198[V]

[해설] 평균값​

8. 두 벡터 A1= 3+j2, A2=2+j3 이 있다. A = A1 × A2 라고 할 때 A는 ? ③

   ① 13 ∠0°              ② 13 ∠45°                ③ 13∠90°               ④ 13∠135°

[해설] 복소수 계산 (극좌표법)​